精品解析：辽宁省名校联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷

辽宁省名校联盟2025年高一12月份联合考试 数学 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，既常用函数图象来研究函数的基本性质，也常用函数的基本性质来研究函数图象的特征.则函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知函数的定义域为，且，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1 A. B. 0 C. 2 D. 4 10. 对于，，下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则________. 13. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为________. 14. 若实数，，满足，，则的最大值是______.（精确到0.001，参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 某精工企业利用AI技术做了某产品前期生产和市场模拟，得到结论：生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品能全部销售完. （1）求年利润万元与年产量万件的关系式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 17. 已知是二次函数，且，若函数是奇函数，是偶函数，定义域均为，且. （1）求的解析式； （2）求，的解析式； （3）求函数的值域. 18. 定义在上的函数满足，且当时，，求证： （1）是奇函数； （2）在上是增函数； （3），其中 19. 定义：对于函数，，若存在闭区间和常数，使得对，都有，且对，当时，恒成立，则称函数为区间上的“凹平函数”. （1）若函数， （i）证明：是上的“凹平函数”； （ii）对于，，且满足，若恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数是上的“凹平函数”，求实数，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高一12月份联合考试 数学 命题人：辽宁名校联盟试题研发中心 审题人：辽宁名校联盟试题研发中心 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 2. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，求出集合B，根据韦恩图，结合交集的概念与性质即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据真数大于零以及分母不为零求解. 【详解】由题意可得，解得且，所以定义域为. 故选：D. 4. 已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及充分、必要条件的判定方法可得结论. 【详解】因为由“”，不能得到“函数是偶函数”，由“函数是偶函数”可得“”， 所以“”是“函数是偶函数”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，既常用函数图象来研究函数的基本性质，也常用函数的基本性质来研究函数图象的特征.则函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除BC；根据时，排除D. 【详解】由得， 又函数的定义域为，则为奇函数，排除B，C项； 当时，恒成立，排除D项. 故选：A 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性，结合中间值比较大小即可. 【详解】易知， 又，在上单调递减，所以. 又，所以. 故选：A. 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可求得的值，将原不等式转换成，即可求解. 【详解】由题意可得，即，， 则，即， 解得或，即解集为或. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，且，，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法先判断为奇函数，结合对数的运算法则与条件计算即可. 【详解】令，代入，可得，所以， 故函数为奇函数，且， 所以， 因为，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1 A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图象，运用枚举法逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 10. 对于，，下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，令，，则， 当且仅当时取等号，所以不成立，所以A不符合题意； 对于B，因为，可得，，所以， 当且仅当时取等号，所以不等式成立，所以B符合题意； 对于C，由，当且仅当时取等号， 所以不等式成立，所以C符合题意； 对于D，由，当且仅当时取等号， 所以不等式成立，所以D符合题意. 故选：BCD. 11. 已知，，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用枚举法逐一判断即可. 【详解】当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，满足，所以； 当时，由，得，不满足. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求解函数值即可. 【详解】因为函数 所以可得， 则. 故答案为：1. 13. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数的图象关于对称，再利用复合函数单调性求出函数在上的单调性，再借助性质解不等式. 【详解】因为，所以的图象关于对称， 当时，，且单调递增，又在上单调递减. 由复合函数单调性知在上单调递减， 又因为的图象关于点对称，所以在上单调递减. 又，则， 所以由，可得， 即，所以，即， 解得，所以该不等式的解集为. 故答案为: 14. 若实数，，满足，，则的最大值是______.（精确到0.001，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】设，则利用基本不等式及一元二次不等式的解法求得，则，然后利用函数的单调性求得取得最大值，进而利用指数函数的单调性及对数运算求得的最大值. 【详解】可设，则，即，即， 由，可知， 又在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值， 即的最大值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合B，进而求出交集和并集；（2）根据是的充分不必要条件得到A是B的真子集，进而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ． 当时， 所以，； 【小问2详解】 是的充分不必要条件 ∴A是B的真子集，故 即 所以实数m的取值范围是. 16. 某精工企业利用AI技术做了某产品前期生产和市场模拟，得到结论：生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品能全部销售完. （1）求年利润万元与年产量万件的关系式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为50万件时，公司所获年利润最大，最大年利润为2200万元 【解析】 【分析】（1）根据题设函数结合题意求解即可； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意知 . 【小问2详解】 当，且时，， 当时，； 当，时，， 当且仅当，即时取“”，此时. 综上，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，最大年利润为2200万元. 17. 已知是二次函数，且，若函数是奇函数，是偶函数，定义域均为，且. （1）求的解析式； （2）求，的解析式； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据条件求出，，，然后得出的解析式； （2）根据函数是奇函数，是偶函数，利用奇偶性定义结合指数函数运算，然后将得出的等式与原式联立求解即可； （3）根据得出，根据指数函数的范围从而列不等式得函数的值域. 【小问1详解】 设， 则， 整理得， 比较上述等式两边对应项的系数， 可得解得 故. 【小问2详解】 因为是奇函数，所以， 因为是偶函数，所以， 因为， 所以， 得， 进而列方程组 两式相加可得，即， 两式相减可得，即； 综上，，. 【小问3详解】 因为，所以， 进而得到， 解得， 所以函数的值域为. 18. 定义在上的函数满足，且当时，，求证： （1）是奇函数； （2）在上是增函数； （3），其中 【答案】（1） 由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. （2） 设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. （3） 由， 所以 ， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，求得，令，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，结合题意，求得，即可证； （3）化简得到，得到原式，结合（1），得到，得到，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 定义：对于函数，，若存在闭区间和常数，使得对，都有，且对，当时，恒成立，则称函数为区间上的“凹平函数”. （1）若函数， （i）证明：是上的“凹平函数”； （ii）对于，，且满足，若恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数是上的“凹平函数”，求实数，的值. 【答案】（1） （i）函数， 当时，， 当时，， 当时，恒成立， 即存在闭区间和常数1，使得对，都有， 且对，当时，恒成立， 故是上的“凹平函数”. （ii）； （2），. 【解析】 【分析】（1）（i）结合分段函数性质，利用“凹平函数”证明即可；（ii）先利用基本不等式常数代换技巧求得，然后按照，和分别求解不等式，即可得解； （2）由题意恒成立，从而都有，然后结合指数函数的性质，根据“凹平函数”的概念求解即可. 【小问1详解】 （i）略 （ii）因为， 当且仅当，时取“”. 若，当时，，解得； 当时，，解得； 当时，. 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由题，当时，恒成立， 即， 所以恒成立， 即，解得或， 当时， 当时，，当时，恒成立， 此时是区间上的“凹平函数”. 当时，， 当时，，当时，， 此时不是区间上的“凹平函数”. 综上，，即为所求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $