专题01 函数与一次函数（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01 函数与一次函数（期末专项练习） 题型归纳·内容导航 题型1写出直角坐标系中点的坐标 题型12正比例函数的性质 题型2求点到坐标轴的距离 题型13一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型3判断点所在的象限 题型14一次函数的图像平移 题型4点的坐标的平移 题型15一次函数的增减性 题型5点坐标规律的探究（常考点） 题型16比较一次函数值的大小 题型6坐标系中的平移作图 题型17求一次函数的解析式 题型7函数图象的识别（难点） 题型18一次函数的实际应用（方案分配） 题型8从函数的图象获取信息（重点） 题型19一次函数的实际应用（最大利润） 题型15一次函数的图像平移 题型20两直线交点与二元一次方程组的解 题型9动点问题的函数图象 题型21直线围成的图形面积 题型10一次函数的识别（重点） 题型22一次函数与几何的综合 题型11根据一次函数的定义求参数 题型通关·靶向提分 题型一写出直角坐标系中点的坐标（共3小题） 1. (24-25八年级下·吉林长春·期末)如图，小手盖住的点的坐标可能为（) A.(-4,2) B.(0,3) C.(1,-2 D.(-2,0) 2.(24-25八年级上，河南郑州期末)“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先 在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容.小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示 意图（如图）·若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为（一1，-2），(1，一2)，则景点“蒙山 氧吧”的坐标为 1/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ---- 蒙山氧吧 --十--------0------ 开化寺蒙山晓月 3.(2425八年级上·安徽合肥·期末)平面直角坐标系中，我们把点P(&y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和 叫做点P(&y)的勾股值，记为：[P],[P]=+y,则点A(-1,3)的勾股值[A]为 题型二求点到坐标轴的距离（共3小题） 4. (24-25八年级上·河南郑州期末)己知点P(1-a,2)到两坐标轴的距离相等，则a的值为() A.-1 B.3 C.-3 D.-1或3 5.(24-25八年级下·湖南益阳·期末)在平面直角坐标系中的第三象限内有一点P,点P到x轴的距离为2， 到y轴的距离为3，则点P的坐标为() A.(2,-3) B.(-3,-2) C.(2,3) D.(3,2) 6.(24-25八年级上·安徽毫州期末)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2-a,2a),把点A到x轴 的距离记作m,到y轴的距离记作n. (1)若a=5,求mn的值； (2)若a>2,m+n=7,求点A的坐标. 题型三判断点所在的象限（共3小题） 7.(24-25八年级下·河北唐山期末)下列各点中，与其他三个点不在同一象限的点是() A.(3,-1) B.(2,-4) c.(-6,5) D.(4,-7) 8.(24-25八年级上江苏淮安·期末)在平面直角坐标系中，点A(-4,一2)所在的象限是() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.(24-25八年级上陕西·期末)若点A(n-2,3)在y轴上，则点B(n-3,n+1)在第 象限 题型四点的坐标的平移（共3小题） 10.(24-25八年级下·湖南岳阳期末)在平面直角坐标系内，点P(5,1)先向左平移3个单位，再向下平移 2个单位，则平移后的点坐标为() A.(2,-1)B.(3,4) C.(8,3) D.(8,-1) 11.(24-25八年级下·山西临汾期末)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-3,4)，将点A先向左平移 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点B,则点B的坐标为 12.(24-25八年级上江苏扬州期末)定义：在平面直角坐标系中，对于点M(y),若点N坐标为 (X十2a,-y-2a),我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量.例如：当a=0时，点 M(3,2)的等距平移点N为(3，-2)· (1)①当等距平移常量a=-3时，点M坐标为(4,3)，则它的等距平移点N的坐标为 ②若点M坐标为（一2,1），它的等距平移点N的坐标为(4，-7)，则等距平移常量a= (2)若点M在x轴上，且它的等距平移点N的坐标为(-2a+1,-9+4a),其中a为等距平移常量，0为坐标 原点，求△OMN的面积： 3)点N(y1)的等距平移点是N(x+2ay2),其中a为等距平移常量，若y1y2=2,且其中一个点到x轴 的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值 题型五点坐标规律的探究（共3小题） 13.(24-25八年级上安微合肥·期末)如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 (1,1),第2次运动到点(2,0)，第3次运动到点(3,2)，，按这样的运动规律，则第2025次运动到点 (). (3,2) (7,2) (11,2) (9,1)N 0(2,0(4,0)(6,0)(8,0(0,0)(12,0)六 A.(2024,0)B.(2025,1) C.(2025,2) D.(2026,0) 14.(24-25八年级下·黑龙江七台河·期末)在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移 1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1,1)；把A先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长 度，得到点A2z(-13)；把A2先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点A3(-4,0);把 A3先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点A(0,一4)，.，按此规律依次进行下去， 则点A2025的坐标为一 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.(24-25八年级下·湖南岳阳期末)如图，将点A1(1,1)向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得 到点A2;将点A2向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点A3;将点A3向上平移4个单位，再向右 平移8个单位，得到点A4按这个规律平移得到点A,则点A2025的横坐标为 A A 题型六坐标系中的平移作图（共3小题） 16.(24-25八年级下·广东河源·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A(2,-1),B(4,3),C(1,2),将△ABC先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到 △A1B1C1,点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1 -5-4-3-21,01345 2 -4 (I)请在图中画出△A1B1C; (2)请直接写出平移后的点A1,B1,C1的坐标. 17.(24-25八年级下·湖南怀化期末)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度. (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点B的坐标为（一1,1），点C的坐标为(4,1)，则点A的坐标为一； (2)将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的△AB'C': (3)在(1)，(2)的条件下，若线段AB上有一点P(m,n),则平移后的对应点p'的坐标为 4/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(24-25八年级下·四川达州期末)如图，在平面直角坐标系中，△AB0的顶点A,B的坐标分别为 (2,4),(4,1),将△AB0先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A1B101: 2 543210 45 (1)画出△A1B1O1,并写出点A1,B1,O1的坐标； (2)连接AA1和BB1,则线段AA1与BB1之间的位置关系和数量关系是_ (3)在坐标轴上是否存在一点P,使得S△A0P=S△40B·若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 题型七函数图象的识别（共3小题） 19.(24-25八年级下·广西南宁.期末)下列图象中，表示y不是x的函数的是() 20.(24-25八年级下·广东东莞·期末)下列哪幅图能最好地刻画小刚放学回家这段时间离家距离$与时间t之 间的关系() S B 21. (24-25八年级下·湖南长沙·期末)下列曲线中能表示y是x的函数的是( 题型八丛函数的图象获取信息（共3小题） 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22.(24-25八年级下·黑龙江牡丹江期末)将一个小圆柱形的空水杯固定在一个大圆柱形的空水杯中，看 作一个容器，对准小圆柱形的空水杯匀速注水，如图所示，在注水过程中，则容器的最高水位h(c)与 注水时间t(min)的函数图象大致为图中的() h/cm h/cm A x/min x/min h/cm h/cm C. /min D. x/min 23.(24-25八年级下·吉林长春·期末)端午假期，小林约琪琪开车出去游玩.小林从家出发后，加速行驶 了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶， 下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是() 本速度 个速度 0 A. 时间 B 时间 速度 ◆速度 0 C. 时间 0 D. 时间 24.(24-25八年级下·天津·期末)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400 米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出 发的时间t(分)之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟； ③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米.其中正确的结论有() 6/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y/米 240 4 16 分 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型九动点问题的函数图象（共3小题） 25.(24-25八年级下·陕西安康·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点P沿A→B→C→D→A 路线运动，设点P的运动路程为x,△ABP的面积为y,则能大致刻画y与x之间的关系图象的是() D 68 12 2 6 12 V C. 12 D.026812 26.(24-25八年级下·河北保定·期末)如图，小亮同学每天早晨都要在小区后面的一个广场上锻炼身体.某 天他绕着一个呈扇形轮廓的场地（如图）匀速跑步，下列函数图象能近似刻画小亮离出发点P的距离y与 时间x之间关系的是() B D 27.(24-25八年级下河北石家庄·期末)如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的速度沿路线G→C一D→E→F→H运动，到点H停止，相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s) 的函数图象如图2所示，若AB=6cm,则下列结论正确为( y/cm H B O24 7 12t/s 图1 图2 ①图1中BC长8cm; ②图1中DE的长是6cm: ③图2中点M表示4时y值为24cm2; ④图2中点N表示12s时y值为15cm2 A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 题型土一次函数的识别（共3小题） 28.(24-25八年级下·湖南长沙·期末)下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是() A.y=x2 B.y=3x+1 C.y=安 D.y=5x2-2x+3 29.(24-25八年级下·上海浦东新·期末)下列四个函数中属于一次函数的是() A.y=支(x≠0)B.y=+w C.y=x2+1 D.y=1 30.(24-25八年级上·贵州贵阳·期末)下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是() A.y=2x B.y=2x+1 C.y= D.y=x2 题型十一根据一次函数的定义求参数（共3小题） 31.(24-25八年级下·湖南长沙期末)若y=3xk-1+6是关于x的一次函数，则k= 32.(24-25八年级上·江西吉安·期末)当m= 时，函数y=(m+2)xm2-3是一次函数. 33. (24-25八年级下·黑龙江佳木斯期末)若一次函数y=+4的图像经过点(2,6)，则k=一 题型十二正比例函数的性质（共3小题） 34.(24-25八年级下·河北邢台·期末)己知正比例函数y=☒的图象经过第二、四象限，则k的值可以是() A.2 B.号 C.1 D.-1 35.(24-25八年级下·云南德宏期末)已知正比例函数y=x,下列结论正确的是（) A.图象是一条射线 B.y随x的增大而减小 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.图象必经过点(2,1) D.图象经过第二、三、四象限 36.(24-25八年级上宁夏银川期末)关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是() A.点(1,2)在这个图象上 B.函数值y随自变量x的增大而减小 C.当x增加1时，y增加2 D.图象经过一、三象限 题型十三一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 37.(24-25八年级下·云南普洱·期末)如图，一次函数y=号x-2的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B, 则△OAB的面积为、 38.(24-25八年级下山西朔州期末)一次函数y=3x-6的图象与y轴的交点坐标为() A.(2,0) B.(0,-6) C.(0,6) D.(-6,0) 39.(24-25八年级下·湖南长沙期末)在平面直角坐标系中，点A(-2,0),B(1,4). (I)求直线AB的解析式： (2)将直线AB向下平移4个单位后得到直线1，求直线1与坐标轴的交点坐标. 题型土四一次函数的图像平移（共3小题） 40.(24-25八年级下·四川绵阳期末)一次函数y=k☒+b的图象经过点M(2,-1),N(0,3),则将该图 象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为一· 41.(24-25八年级下·黑龙江牡丹江期末)已知一次函数y=k十b(k、b为常数)的图象与直线 y=-+1平行，且将其向下平移3个单位后，经过点(5,2)，那么此一次函数的解析式为」 42.(24-25八年级下·甘肃武威期末)一次函数y=-x+1的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的 解析式为· 题型土五一次函数的增减性（共3小题） 43.(24-25八年级下·河北承德·期末)下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是() A.y=2-xB.y=2x-1 C.y=x D.y=-1+3x 44.(24-25八年级下·广西南宁·期末)关于一次函数y=X+3,下列说法正确的是() A.图象经过(3,0) B.图象可由直线y=X向上平移3个单位长度得到 C.图象经过第一、二、四象限 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.y随自变量x的增大而减小 45.(24-25八年级上江苏淮安期末)直线y=(3m-1)x-m,函数y随x的增大而增大，且图象经过一， 三，四象限，则m的取值范围是 题型土六比较一次函数值的大小（共3小题） 46.(25-26八年级上江苏徐州期末)已知点(-2y1),(3y2)都在直线y=-x+b上，则y1y2(填 “>”或“<”)， 47.(24-25八年级下·云南普洱·期末)己知点(-1，m)和点(2，n)都在直线y=-x-2上，则m与n的大 小关系是() A.m>n B.m2n C.m<n D.m<n 48.(24-25八年级下·云南丽江期末)若点A(-2,y1),B(3,y2)都在一次函数y=-x+1的图像上，则 y与y的大小关系是() A.y y2 B.y1-y2 C.yy2 D.不能确定 题型十士求一次函数的解析式（共3小题） 49.(24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末)定义：如果函数图象经过点(m,n)，我们就称此函数作 “(m,n)族函数”.例：正比例函数y=2x的图象经过点(1,2)，则正比例函数y=2x是“(1,2)族函数”，己 知一次函数y=-k+1(k为常数，k≠0)是“(-2,7)族函数”，则k的值为一 50.(24-25八年级下·吉林白山期末)如图，己知直线y=x+b交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,直线 y=2x-4交x轴于点D,与直线AB相交于点C(m,2),求m的值与直线AB的解析式. 2X-4 y=kx+b 51.(24-25八年级下.甘肃平凉·期末)已知y是x的一次函数，当x=2时，y=-3;当x=-2时，y=1 ()求y与x之间的函数解析式： (2)当x为何值时，y=5? 题型土八一次函数的实际应用（方案分配）（共3小题） 52.(24-25八年级下·云南保山期末)“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新 活力，某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价 10/17专题01 函数与一次函数（期末专项练习） 题型1 写出直角坐标系中点的坐标 题型12 正比例函数的性质 题型2 求点到坐标轴的距离 题型13 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型3 判断点所在的象限 题型14 一次函数的图像平移 题型4点的坐标的平移 题型15 一次函数的增减性 题型5 点坐标规律的探究（常考点） 题型16 比较一次函数值的大小 题型6 坐标系中的平移作图 题型17 求一次函数的解析式 题型7 函数图象的识别（难点） 题型18 一次函数的实际应用（方案分配） 题型8 从函数的图象获取信息（重点） 题型19 一次函数的实际应用（最大利润） 题型15 一次函数的图像平移 题型20 两直线交点与二元一次方程组的解 题型9 动点问题的函数图象 题型21 直线围成的图形面积 题型10 一次函数的识别（重点） 题型22 一次函数与几何的综合 题型11 根据一次函数的定义求参数 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 写出直角坐标系中点的坐标（共3小题） 1．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正判断即可． 本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标系中各象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 【详解】解：手盖住的点在第二象限，所以点的坐标可能为， 故选：A 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图（如图）．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为，则景点“蒙山氧吧”的坐标为 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系，先根据已知两点坐标确定每个方格的距离，再根据点的位置确定坐标． 【详解】解：“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，两点横向上相距2个方格， 每个方格距离为1， 由图可知，开化寺向左移动1个方格，向上移动4个方格到达景点“蒙山氧吧”， 景点“蒙山氧吧”的坐标为，即， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，则点的勾股值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了关于平面直角坐标系中“勾股值”的新定义题型，解题关键是理解新定义并代入计算，将点的坐标代入“勾股值”进行计算，重点考查对新定义的接受与应用能力，解题时需准确把握定义，清晰计算绝对值再求和． 【详解】解：本题根据“勾股值”的定义，将点的横、纵坐标代入勾股值得， ， 点的勾股值为． 故答案为：4． 题型二 求点到坐标轴的距离（共3小题） 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知点到两坐标轴的距离相等，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到轴的距离是它的横坐标的绝对值．根据点到两坐标轴的距离相等列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：点到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得：或3， 故选：D． 5．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）在平面直角坐标系中的第三象限内有一点P，点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查点到坐标轴的距离，象限内点的坐标特点，根据第三象限内点的坐标特征及点到坐标轴的距离求解． 【详解】解： 点P在第三象限，因此横坐标和纵坐标均为负数， ∵点P到x轴的距离为2，即纵坐标的绝对值为2，∴纵坐标为， ∵点P到y轴的距离为3，即横坐标的绝对值为3，故横坐标为 ∴点P的坐标为， 故选B． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 【答案】(1)30； (2)． 【分析】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n， ． ， ． （2）解： ， ． ， ， ． 题型三 判断点所在的象限（共3小题） 7．（24-25八年级下·河北唐山·期末）下列各点中，与其他三个点不在同一象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了象限内点的坐标特点．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键； 四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，先判断各点所在的象限，再判断即可． 【详解】解：A、在第四象限， B、在第四象限， C、在第二象限， D、在第四象限， ∴只有C选项的点与其他三个点不在同一象限， 故选：C； 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内的点坐标的符号特征：在第三象限即可解答． 【详解】解： ，， 点所在的象限是第三象限， 故选：C． 9．（24-25八年级上·陕西·期末）若点在y轴上，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了点的坐标，直接利用y轴上点的坐标特点得出n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得， 则点为：，在第二象限． 故答案为：二． 题型四 点的坐标的平移（共3小题） 10．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 11．（24-25八年级下·山西临汾·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，将点A先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 题型五 点坐标规律的探究（共3小题） 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意找出规律，利用周期性进行计算即可． 【详解】解：根据题意有， 第1次点的坐标为， 第2次点的坐标为， 第3次点的坐标为， 第4次点的坐标为， 第5次点的坐标为， 第6次点的坐标为， 第7次点的坐标为， 第8次点的坐标为， ……， ∴第次，点的横坐标即为，纵坐标的值以1，0，2，0为一个周期， ∵， ∴第2025次运动后，动点的坐标是． 故选：B． 14．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可． 【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点； 把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点； 把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点； 把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， 第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点， 到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， 到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度， 到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度， 到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， 可以看作每四次坐标变换为一个循环， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移、规律型问题等知识，解题关键是学会套就规律的方法．先求出点，，，的横坐标，再从特殊到一般就出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】解：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， …， 按这个规律平移得到点点的横坐标为， 点的横坐标为， 故答案为：． 题型六 坐标系中的平移作图（共3小题） 16．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为点，，． (1)请在图中画出； (2)请直接写出平移后的点，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形平移的规律． （1）根据平移的性质作图，根据平移方式，先找出，，的对应点，再依次连接； （2）由（1）根据对应位置写出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）由图可得，，，． 17．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度． (1)建立适当的平面直角坐标系后，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为_____； (2)将向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出平移后的； (3)在（1），（2）的条件下，若线段上有一点，则平移后的对应点的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换，正确建立平面直角坐标系，熟练掌握平移性质是解答的关键． （1）根据点B、C坐标建立平面直角坐标系，进而写出点A坐标； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接格点即可画出平移后的图形； （3）根据坐标平移性质“左减右加，上加下减”可得结论． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，点A坐标为 ； （2）解：如图，即为所求作： （3）解：由平移性质得：平移后的对应点的坐标为． 18．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到． (1)画出，并写出点，，的坐标； (2)连接和，则线段与之间的位置关系和数量关系是 ； (3)在坐标轴上是否存在一点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，图见解析； (2)，； (3)存在，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （）根据平移的方式作图，即可得出答案； （）连接，，根据平移的性质即可解答； （）分点在轴上和轴上，根据三角形面积公式结合已知建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∴，，； （2）解：连接，， 由平移性质可得：且 故答案为：且； （3）解：存在，理由： ∵， ∴， 当点在轴上时， ， 解得； ∴点的坐标为或； 当点在轴上时， ， 解得， ∴点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或或． 题型七 函数图象的识别（共3小题） 19．（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列图象中，表示不是的函数的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的判断，根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应进行即可，正确理解函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，不符合题意； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数，符合题意； 故选：． 20．（24-25八年级下·广东东莞·期末）下列哪幅图能最好地刻画小刚放学回家这段时间离家距离与时间之间的关系（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象，首先要理解横纵坐标表示的含义，能够通过图象得到函数是随自变量的变化进行怎样的变化，分清函数值是增大还是减小．根据横轴表示时间，纵轴表示所剩路程，路程随时间的增大而减少判断即可． 【详解】解：小刚放学回家这段时间离家距离随时间的增大而减少，到家时距离为，故选项D符合题意．故选：D． 21．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列曲线中能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数． 根据函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数； B中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数； C中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数； D中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数． 故选：D． 题型八 从函数的图象获取信息（共3小题） 22．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）将一个小圆柱形的空水杯固定在一个大圆柱形的空水杯中，看作一个容器，对准小圆柱形的空水杯匀速注水，如图所示，在注水过程中，则容器的最高水位h（）与注水时间t（）的函数图象大致为图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数图象．根据用一注水管向空水杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（）与注水时间t（）的函数图象． 【详解】解：一注水管向小圆柱形的水杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大圆柱形的水杯内流，这时水位高度不变， 当两个水杯水面高度一致后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比变慢． 故选：C． 23．（24-25八年级下·吉林长春·期末）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得：刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加，然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加，过了一段时间到达琪琪家减速停车，则速度减少到0，琪琪上车后，小林开车加速行驶，速度从0开始增加，一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加， 能近似的刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是D选项． 故选：D． 24．（24-25八年级下·天津·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查从函数图象获取有用信息是解题的关键． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得：甲步行速度为（米/分）， 故①正确； 设乙速度为x米/分， 由题意得：， 解得：． ∴乙的速度为80米/分． ∴乙走完全程的时间为（分）， 故②正确； 由图可知，乙追上甲的时间为：（分）， 故③错误； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：（米）， 故④错误． 综上，正确的有①②共2个， 故选：B． 题型九 动点问题的函数图象（共3小题） 25．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形中，，，点P沿路线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能大致刻画y与x之间的关系图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点有关函数图象问题，矩形的性质，分析在不同边上的面积变化情况即可求解． 【详解】解：由题得：当点在上时，不存在， 当点在上时，的面积随的增大而增大， 当点在上时，的面积等于矩形的一半，固定不变， 当点在上时，的面积随的增大而减小， 综上所述，只有D符合题意， 故选：D． 26．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，小亮同学每天早晨都要在小区后面的一个广场上锻炼身体．某天他绕着一个呈扇形轮廓的场地（如图）匀速跑步，下列函数图象能近似刻画小亮离出发点P的距离y与时间x之间关系的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了函数随自变量的变化而变化的问题，能够结合图形正确分析距离y与时间x之间的大小变化关系，从而正确选择对应的图象． 当小亮在半径上运动时，离出发点距离越来越远；在弧上运动时，距离不变；在上运动时，越来越近． 【详解】解：如图所示： 当小亮在半径上运动时，离出发点距离越来越远； 在弧上运动时，距离不变； 在上运动时，越来越近． 故选：C． 27．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图1，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线G→C→D→E→F→H运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2所示，若，则下列结论正确为（　　） ①图1中长； ②图1中的长是； ③图2中点M表示4时y值为； ④图2中点N表示时y值为． A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．依据题意，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【详解】解：由图象可得：0～2秒，点P在上运动，则， ∵点G是中点， ∴，故①正确． 由图象可得：2﹣4秒，点P在上运动，则第4秒时，,故③正确． 由图象可得：4﹣7秒，点P在上运动，则，故②正确． 由图象可得：当第秒时，点P在H处， ∵， ∴， ∴． ∴．故④不正确． ∴结论正确为①②③． 故选：C． 题型十 一次函数的识别（共3小题） 28．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 29．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 30．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B．     C．    D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意． B．，含常数项1，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意． C．，不符合正比例函数的形式，不符合题意． D．，次数为2，不符合正比例函数的定义，不符合题意． 故选：A． 题型十一 根据一次函数的定义求参数（共3小题） 31．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若是关于x的一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：2． 32．（24-25八年级上·江西吉安·期末）当 时，函数 是一次函数． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系数不为0的条件． 根据一次函数要求且，联立解答． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 故答案为：2． 33．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）若一次函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， 故答案为：． 题型十二 正比例函数的性质（共3小题） 34．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数图象的性质，当比例系数时，图象经过第二、第四象限，解答即可． 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象是一条过原点的直线， 当时，图象经过第二、第四象限， ∴的值可以是， 故选：D． 35．（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，故本选项的结论错误； B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误； C、当时，， ∴图象必经过点，故本选项的说法正确； D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误． 故选：C 36．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）关于正比例函数的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点在这个图象上 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当增加1时，增加2 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握正比例函数中k的几何意义及函数的增减性、图象所在象限等知识点． 根据正比例函数的性质，依次分析各选项；将点代入函数验证是否在图象上，依据k的符号判断增减性和所在象限，通过计算自变量变化时函数值的变化量判断选项正误． 【详解】选项把代入得所以点在这个图象上，A正确． 选项在正比例函数中，根据正比例函数性质，函数值y随自变量x的增大而增大，而非减小，B错误． 选项当x增加1时，设原来的x为对应的y为变化后的x为对应的y为则即y增加2，C正确． 选项因为所以正比例函数的图象经过第一、三象限，D正确． 故选：B． 题型十三 一次函数图象与坐标轴的交点问题（共3小题） 37．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标是解题的关键． 先根据坐标轴上点的坐标特征求得A点和B点的坐标，易得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，则，即；当时，，则，即； ∴的面积为． 故答案为：3． 38．（24-25八年级下·山西朔州·期末）一次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出y值，进而可得出一次函数的图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 一次函数的图象与y轴的交点坐标为， 故选：B． 39．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，求直线l 与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得平移后的直线解析式，然后求出直线与坐标轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，                               ∴直线l解析式为，               令，得；令，得； 直线l与坐标轴的交点坐标是、． 题型十四 一次函数的图像平移（共3小题） 40．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 先将，两点的坐标代入,运用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据“左加右减、上加下减”的原则得出新的直线表达式． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ∴， 将图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为， 故答案为：． 41．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象与直线平行，且将其向下平移3个单位后，经过点，那么此一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移问题，待定系数法求一次函数解析式，由两直线平行可得，则向下平移3个单位后函数解析式为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数与直线平行， ∴， ∴将函数向下平移3个单位后的函数解析式为， ∵平移后的函数图象经过点， ∴，即， 解得， ∴此一次函数解析式为． 故答案为：． 42．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．根据一次函数图象的平移规律求解即可得． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得图象的解析式为，即为， 故答案为：． 题型十五 一次函数的增减性（共3小题） 43．（24-25八年级下·河北承德·期末）下列函数中，y的值随x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，判断k的属性解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A.中，，符合题意； B.中，，不符合题意； C.中，，不符合题意；     D.中，，不符合题意； 故选：A． 44．（24-25八年级下·广西南宁·期末）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过 B．图象可由直线向上平移个单位长度得到 C．图象经过第一、二、四象限 D．随自变量的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括图象经过的点、平移规律、象限分布及增减性，通过对一次函数的图象经过的点、图象的平移、图象经过的象限以及函数的增减性这几个方面进行分析是解题的关键． 【详解】解：选项A：将点代入，得，故图象不经过该点，A错误． 选项B：函数由向上平移3个单位长度得到（平移后解析式为），B正确． 选项C：，图象从左下向右上延伸，经过第一、三象限；，与y轴交于正半轴，故图象经过第一、二、三象限，C错误． 选项D：，故随的增大而增大，D错误． 45．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数增减性求参数，因为函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限，故，解出m的取值范围，即可作答． 【详解】解：∵直线，函数y随x的增大而增大，且图象经过一，三，四象限， ∴ 解得， 故答案为： 题型十六 比较一次函数值的大小（共3小题） 46．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）已知点，都在直线上，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于，函数值随增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，点，都在直线上， 由于， 则该直线经过二、四象限，函数值随增大而减小， 由于， 则 故答案为：． 47．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的增减性是解题关键． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点和点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 48．（24-25八年级下·云南丽江·期末）若点都在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随的增大而减增大，当时，随的增大而减小”是解此题的关键． 由利用一次函数的性质可得随的增大而减小，结合即可得出结论． 【详解】解：， ∴随的增大而减小， 又 故选：C． 题型十七 求一次函数的解析式（共3小题） 49．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：如果函数图象经过点，我们就称此函数作“族函数”．例：正比例函数的图象经过点，则正比例函数是“族函数”，已知一次函数（为常数，）是“族函数”，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查求函数解析式，根据“族函数”的定义，函数图象经过点 ，代入一次函数解析式 求解 的值． 【详解】解：将点 代入 ， 得 ，即 ， 整理得 ， 移项得 ， 解得 ， 故答案为 ． 50．（24-25八年级下·吉林白山·期末）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点，求m的值与直线的解析式． 【答案】m的值是3，直线的解析式为 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．把代入，求出，得到，再用待定系数法求一次函数的解析式即可． 【详解】解：把代入，得 ， ， ， 把，代入，得， 解得， 的值是3，直线的解析式为． 51．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）已知y是x的一次函数，当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当x为何值时，？ 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式：熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为，由条件可得： ，解得， ∴． （2）解：当时， ，解得：． 题型十八 一次函数的实际应用（方案分配）（共3小题） 52．（24-25八年级下·云南保山·期末）“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 【答案】(1)甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元 (2)应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数求最值的运用． （1）设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元，结合题意，列分式方程求解即可； （2）设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆，根据购买乙型房车的数量不少于8辆，列出一元一次不等式，得到a的取值范围，设总费用为w元，由题意列出w关于a的一次函数关系式，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元， ∵用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元； （2）解：设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆， ∵购买乙型房车的数量不少于8辆， ∴， 解得， 设总费用为w万元， 由题意可得：， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最小，此时，， 答：为使总费用最低，应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元． 53．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）“植树节”期间，我校组织八年级学生开展“共植一抹绿，一起上春山”活动．计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元． (1)求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元，根据购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需240元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需210元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗棵，根据购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设总费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一棵甲种树苗需要元，一棵乙种树苗需要元， 由题意：， 解得：， 答：购买一棵甲种树苗需要30元，一棵乙种树苗需要60元； （2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 由题意得：， 解得：， 设总费用为元， 由题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时，， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，才能使购买树苗的总费用最少． 54．（24-25八年级下·四川广安·期末）某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 【答案】(1)活动一：；活动二： (2)当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两种活动情况计算即可； （2）比较两个函数值的大小即可． 【详解】（1）解：活动一：y与x之间的函数关系数式为， 活动二：y与x之间的函数关系数式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠． 题型十九 一次函数的实际应用（最大利润）（共3小题） 55．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）为了更好的预防疫情，我校准备购买A、B两种型号的免手洗消毒液，已知购买8瓶A型和3瓶B型共需要950元；购买5瓶A型和6瓶B型共需要800元． (1)求A、B两种型号的免手洗消毒液的单价各是多少？ (2)现在学校需购买A、B两种型号的免手洗消毒液共100瓶，考虑到学校班级数和资金问题，购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元，则学校有几种购买方案？ (3)在（2）的前提下，求满足学校要求的最低费用． 【答案】(1)A种型号的免手洗消毒液的单价是100元，B种型号的免手洗消毒液的单价是50元 (2)学校有5种购买方案 (3)满足学校要求的最低费用为7550元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式． （1）设A型消毒液单价是x元，B型消毒液单价是y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型消毒液购买了m瓶，根据“购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元”列出不等式组，再求出m的取值范围即可； （3）设A型消毒液购买了m瓶，总费用为W元，由已知得，再根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设A型号的免手洗消毒液的单价是x元，B型号的免手洗消毒液的单价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：A种型号的免手洗消毒液的单价是100元，B种型号的免手洗消毒液的单价是50元； （2）解：设购买A型免手洗消毒液m瓶，则购买B型免手洗消毒液瓶， ∵购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元， 根据题意得：， 解得， ∵m为整数， ∴m可取51，52，53，54，55， ∴学校有5种购买方案； （3）解：设购买的费用是W元， 根据题意得：， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴时，W取最小值，最小值为（元）， 答：满足学校要求的最低费用为7550元． 56．（2024·河南驻马店·一模）年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)A种购买千克，B种购买千克；元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 57．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某商场计划购进两种商品进行销售，商品每件进价30元，原定售价48元，商品每件进价40元，原定售价60元，设购进商品件，商场总利润为元． (1)一月份计划购进两种商品共20件，商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元，有几种进货方案？ (2)若按（1）中方案进货，实际销售中由于某原因，决定降价销售，每件降价元，每件降价2a元，全部售完，可获得最大利润350元，求的值． 【答案】(1)三种；即：①商品10件，商品10件；②商品11件，商品9件；③商品12件，商品8件． (2)的值为1． 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用． （1）先求得，再根据“商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元”列出不等式组，求解即可； （2）设降价后的总利润为元，求得，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购进商品件，则购进商品件，由题意得 ， 商品的数量不低于商品的数量，且按预售价全部卖完后总利润不低于376元， ， 解得， 为整数， 或或， 故有三种进货方案， 即：①商品10件，商品10件；②商品11件，商品9件；③商品12件，商品8件； （2）解：设降价后的总利润为元，则 ， ，即时，此时随的增大而减小， ， 当时，，即， 解得．故的值为1． 题型二十 两直线的交点与二元一次方程组的解（共3小题） 58．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 59．（24-25八年级上·广东茂名·期末）如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 60．（22-23八年级上·广东佛山·月考）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 题型二十一 直线围成的图形面积（共3小题） 61．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 62．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2)4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 63．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、点B，函数的图象与x轴、y轴分别相交于点D、点C，直线，相交于点M． (1)请直接写出点M的坐标； (2)求的面积； (3)点N在直线上，使得，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或． 【分析】本题主要考查了求一次函数的交点坐标，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两条直线的表达式构造方程组，解答即可； （2）先求出点C和点B的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）连接，首先求出，然后求出，然后根据得到，求出或，进而求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴； （2）解：把代入得，， ∴点C的坐标为， 把代入得，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴的面积； （3）解：连接，如图所示： ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴或， 当时，，此时点N的坐标为， 当时，，此时点N的坐标为． 综上可知，或． 题型二十二 一次函数与几何的综合（共6小题） 64．（24-25八年级下·吉林·期末）如图1，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点P在的平分线上，求点P的坐标； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，坐标与图形的性质等知识，根据待定系数法求出一次函数解析式是解决本题的关键． （1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）设，根据角平分线的性质得到，解方程即可得到答案； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 则D的坐标是，即， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； （2）解：∵点P是线段上的一个动点． ∴设， 过点P作轴于点M，轴于点N，连接，如图， ∴，， ∵点P在平分线上，轴，轴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：设， 四边形面积， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为或． 65．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)点或 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， ∵，，， ∴， 过点E作交于F，则， ∴， ∴， 设， 由得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 由可设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 66．（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点若满足，则称点为点的友谊点．例如点的友谊点为． (1)点的友谊点坐标是_____；若点的友谊点为，则点的坐标是_____． (2)若点的友谊点在直线上，则的值为_____． (3)点在直线上，其横坐标为，点为点的友谊点．若点到轴的距离等于它到轴的距离的2倍，求的值． (4)正方形各顶点的坐标分别为，．点在直线上，点为点的友谊点，连接，当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“友谊点”的定义，并熟练加以运用，及一次函数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用． （1）根据“友谊点”的定义进行求解即可； （2）若点的友谊点为，即，由点在直线上，可得，解之可得； （3）先根据点Q为点P的友谊点．求得，再由点到轴的距离等于它到轴的距离的2倍，列出方程，求解即可； （4）先根据题意画出图形，再求得也在直线上，然后根据题意分类讨论求解即可． 【详解】（1）解∶根据题意可得：点的友谊点坐标是，即； 若点P的友谊点为，则，解得， 点P的坐标是， 故答案为：，； （2）解∶若点的友谊点为，即， 点在直线上， ， 解得： 所以的值为， 故答案为：； （3）解∶ 点P在直线上，其横坐标为， ， 点Q为点P的友谊点． ， 点到轴的距离等于它到轴的距离的2倍， ， 解得：或； （4）解∶ 如图， 将代入中，得，解得 则， 将代入中，得， 则， 在直线上， ， 点Q为点P的友谊点， ， 令，得， 也在直线上， 当线段与正方形的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论： 当点P在点F在下方（含点F），点Q在线段上时，符合题意， ，解得， 当点P在线段上，点Q在点E右上方（含点E）时，符合题意， ，解得， 当时，，，此时点与点重合，点与点重合，线段与正方形的边有两个交点，故不符题意，舍去， 综上m的取值范围是或． 67．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式： (2)点为直线上一动点，若，请求出点的坐标： (3)如图，将直线水平向下平移个单位得直线，直线与轴交于点，连接，若点为轴上一动点，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，的坐标为或 【分析】（）根据直线的解析式可得，进而由得，再利用待定系数法解答即可求解； （）过点作轴交于点，设，则，即得，再联立直线和直线得，可得，得到，进而由即可求解； （）由平移可得直线的解析式为，进而得，，由等腰直角三角形的性质得，即得，求出的值即可求解． 【详解】（1）解：∵把代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 设，则， ∴， 联立直线和直线，得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在． ∵将直线水平向下平移个单位得直线， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为或． 68．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图1，已知一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点，B，点E为y轴负半轴上一点，且． (1)求该一次函数的表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)如图2，直线交直线于点M，交直线于点N，当时，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的基本性质、一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数性质能够求出一次函数解析式是解题关键． （1）分别令与，即可求得A、B两点的坐标； （2）先通过的面积求出E点的坐标，再通过A、E两点坐标即可得到函数表达式； （3）先联立解析式求出M和N的坐标，再通过面积关系得到M、N两点之间的坐标关系，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴, ∵ ∴， ． 把代入，得， 解得, 该一次函数的表达式为． （2）解：由（1）知：，， ， ， 解得， 点E的坐标为． 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，解得， 直线的函数表达式为． （3）解：如图，过点M作轴于点C，过点N作轴于点D． 由（2）知，． ， 即 ． 在和中， ， ． 设点N的坐标为，则点M的坐标为． 将点M的坐标代入，得，解得， 点N的坐标为． 把点N的坐标代入得：， ∴． 69．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点A，且． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，点F在第一象限的直线上，过点F作轴，垂足为C，过点F作轴，垂足为E，点D在线段上（不与点O，E重合），连接，，，且，点F的横坐标为m，的面积为s，求s与m的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，点G在上，，连接，交于点H．若，过点B作垂直于直线，垂足为M，连接，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质及等面积法求边长，熟练掌握待定系数法求解析式矩形的判定与性质是解题的关键， （1）根据直线，整理后得，再因直线与直角坐标系交点A、B，令时，，即可得到，从而推出，最后利用待定系数法求得函数解析式； （2）作交CF于点Q，易证四边形是矩形，设，，由三角形内角关系可求得．由于，从而可求得，推出．进而求得． （3）设，由题可求得，取中点k，连接、，由于G是的中点，可得到，，从而易证四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，则在中K是中点，则，从而证得．作，则，截取，连接BP ，则，可得，设，可得到，利用勾股定理求得，从而得到，再根据，故，则，所以，进而推出，，在中，由勾股定理求出再利用等面积法，，，作，再人利用等面积法，求得，，即可得到．设，利用待定系数法即可得到过直线的解析式． 【详解】（1）解：直线与直角坐标系交点A、B， 整理得： 当时，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 设，分别代入，， ∴， ∴， ∴． （2）解：作交CF于点Q， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． （3）解：设， ∵，， ∴， 取中点k，连接、， ∵G是的中点， ∴，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，   ∴，   ∴， ∵四边形是矩形，   ∴， ∵在中K是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 作，则， 截取，连接BP ，则， ∴， ∴，，， 设， ∴， ∵，则 ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ∴，， 作，， ∴，， ∴， ∴． 设，过，， ∴， ∴ ， ∴． $