专题03 轴对称图形与等腰三角形（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 轴对称图形与等腰三角形 题型归纳·内容导航 题型1轴对称图形识别 题型9角平分线的判定 题型2利用轴对称的性质进行求解 题型10等边对等角（重点） 题型3折叠问题（重点） 题型11三线合一（重点） 题型4坐标的轴对称性 题型12等角对等边证明等腰三角形 题型5轴对称中的最值问题（难点） 题型13等边三角形的性质（重点） 题型6画轴对称图形（重点） 题型14等边三角形的判定 题型1530°锐角所对的直角边是斜边的一半 题型7线段的垂直平分线 (常考点) 题型8角平分线的性质（重点） 题型通关·靶向提分 题型一轴对称图形识别（共3小题） 1.(25-26八年级上·新疆·期末)下列图形中，不是轴对称图形的是() 实 B 2. (25-26八年级上·吉林·期末)下列图形是轴对称图形的是( A. (25-26八年级上·北京，期末)下列图形中，是轴对称图形的是( 1/15 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二利用轴对称的性质进行求解（共3小题） 4.(25-26八年级上·河南周口·期中)如图，AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称， 点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是() A.AD⊥BCB.AC⊥PQ C.△ABO△CDOD.AC‖BD 5.(25-26八年级上·四川广安·期中)如图，△ABC与△DBC关于直线CB成轴对称，△DBC与△DBE 关于直线DB成轴对称，∠ACB=120°.若ABI DE,则∠A=( B A.35° B.40° C.25° D.30° 6.(25-26八年级上辽宁葫芦岛·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点O是△ABC内部一点，点 M,N,P分别是点O关于直线AB,AC,BC的对称点，给出下面三个结论： ①AM=AN;②∠MON=90°；③∠AMB+∠ANC+∠BPC=300°上述结论中正确结论的序号是 ( ). M A B A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 题型三折叠问题（共3小题） 7.(24-25八年级上·陕西西安·期末)如图，在平面直角坐标系中，将等腰Rt△ABO沿直角边OA翻折， 点B落在点C处，若点A坐标为4,3，则点C坐标为() 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 yB 0 A.6,-1B.6,-2 C.7,-1 D.(7,-2 8.(24-25八年级上·广东广州期末)如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，连接 BA'、CA,BA平分∠ABC,CA'平分∠ACB,若∠BAC=115°，则∠1+∠2的度数为 2 9.(24-25八年级下·辽宁抚顺·期末)折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展 出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手.如图，将一长方形纸条首 先沿着EF进行第一次折叠，使得C,D两点落在C1,D1的位置，再将纸条沿着GF折叠(GF与BC在同一 直线上)，使得C1,D1分别落在C2,D2的位置.若3∠EFB=∠EFC2,则∠GEF的度数为_。 题型四坐标的轴对称性（共3小题） 10.(24-25八年级上浙江台州期末)点Am,5与点B-m,5关于( ）对称 A.x轴 B.y轴 C.原点 D.直线x=5 11.(24-25八年级上江西上饶期末)已知点Am,4与点B3,n关于x轴对称，那么m+n221的值为 12.(24-25八年级上江苏扬州·期末)已知点Aa-1,-2与点B-5,b+5关于y轴对称，则a+b=一· 题型五轴对称中的最值问题（共3小题） 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(24-25八年级上·北京丰台·期末)如图，要在一条笔直的路边1上建一个燃气站，向路同侧的两个城 镇P,Q铺设燃气管道.在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形ABCD),燃气管道不能穿过该区域， 下列四种铺设管道路径的方案： D 生态 保护区 P D 生态 ,0 生态 保护区 D 保护☒ 生态 保护区 生态 H 保护区 E 方案1：过点P作 AI方案3：作点P关 AI方案4：作点Q关 方案2：连接QC并 PE⊥I于点E,连接 于I的对称点P,连 延长交于点F,连 于l的对称点Q,连 EC,CQ,则铺设 接PC交l于点G, 接PF,则铺设管道 接QP交l于点H, 管道路径是 连接PG,CQ,则 连接HC,CQ,则 路径是PF-FQ, PE-EC-CQ. 铺设管道路径是 铺设管道路径是 PG-GC-CQ. PH-HC-CQ. 其中铺设管道路径最短的方案是( A.方案1B.方案2 C.方案3 D.方案4 14.(24-25八年级上·福建福州·期末)如图，△ABC的面积为6，AB=5,AD平分∠BAC,若M,N 分别是AD,AC上的动点，则MN+CM的最小值为 15.(24-25八年级上·天津·期末)如图，∠AOB=25°，点M,N分别是边OA,OB上的定点，点P,Q 分别是边OB,OA上的动点，记∠MPQ=o,∠PQN=B,当MP+PQ+QN最小时，则C与β的数量关 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系为一· O A M P N B 题型六画轴对称图形（共3小题】 16.(24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A,C的坐标分别为 0,3,(1,1,按要求回答下列问题： ()在图中建立正确的平面直角坐标系；并根据所建立的坐标系，写出点B的坐标； (2)画出△ABC关于x轴对称的图形△ABC; (3)求△ABC的面积， 17.(24-25八年级上·甘肃武威期末)如图，在平面直角坐标系xOy中， A(-1,-2),B(-2,-4),C(-4,-1) 4 2 -5-4-3-2-11 012345x 3 (1)求出△ABC的面积： (2)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A,BC1: (3)写出点A1,B1,C1的坐标. 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(24-25八年级上·广东东莞·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一 个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)· B (1)作出△ABC关于直线1对称的△A1B,C1(要求A与A1,B与B1,C与C1相对应)； (2)求△ABC的面积 (3)在直线I上找一点P,使得PA+PB的和最小.（保留作图痕迹） 题型七线段的垂直平分线（共3小题） 19。(2425八年级下云南保山期术)图，在△ABC中，分别以点A和点B为题心，大于号AB的长为 半径画弧，两弧相交于点M,点N,过这两个点作直线MN,交BC于点D,连接AD.若BC=7,CD=3, 则AD的长为( B M 不 A.6 B.5 C.4 D.3 20.(24-25八年级上·重庆巫山·期末)如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且BE=5cm, △ACD的周长为13cm,则△ABC的周长为 cm. D B E 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(24-25八年级下·陕西西安·期末)如图，在△ABC中，EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E, 过点A作AD⊥BC,垂足为D,且BD=DE,连接AE B D E (I)求证：AB=EC· (2)若CD=8,AC=10,求△ABC的周长. 题型八角平分线的性质（共3小题） 22.(24-25八年级上·贵州黔东南·期末)如图，在四边形ABDC中，∠C=90°，AB=5,S△ABD=10,E是 图中尺规作图的痕迹的交点，A,D,E三点共线，则CD等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 23.(24-25八年级上·江苏南通·期末)如图，BD是△ABC的角平分线，AB=6,BC=4.过点D作 DE⊥AB,垂足为E,若DE=2,则△ABC的面积为 24.(25-26八年级上河北邢台·期末)如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证： SAABD:SAACD=AB:AC: 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D D ① ② (I)在图①中完成上面的证明过程， (2)在图②中，AD是△ABC的外角平分线，延长BC交AD于D,如果AB=10,AC=4,BC=7,求BD 的长 题型九角平分线的判定（共3小题） 25.(25-26八年级上·浙江·期末)两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M,则点M一定 在() B A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上 26.(24-25八年级下·陕西榆林·期末)如图，在△ABC中，其内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线BO, CO交于点O,过点O作OE‖BC,交BA的延长线于点E,连接AO,若∠ACO=65°，则∠AOB的度数 为 D B 27.(24-25八年级上·安徽毫州·期末)如图，在Rt△ABD和Rt△ACE中， AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°，连接CD,BE交于点F,连接AF. 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求∠BFD的度数： (2)求证：FA平分∠DFE. 题型土等边对等角（共3小题） 28.(24-25八年级上·贵州遵义·期末)如图，在△ABC中，将∠C沿DE折叠，使点C落在AB边上点C'处， 且C'B=CE,CA=CD.若∠B=55°，则∠C的度数为( C B A.65° B.62° C.60° D.55° 29.(25-26八年级上·湖南·期末)等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是 30.(24-25八年级上·重庆·期末)如图，△ABC中，AB=BC,点D在BC上，AD=DE, ∠ABC=∠ADE=90°，连接EC,求∠ACE的度数. 题型十一三线合一（共3小题） 31.(24-25八年级上河北邢台·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且 BD=BE,若∠ADE=15°，则∠C=() 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C D A.35°B.30° C.20° D.45° 32.(24-25八年级上·浙江台州期末)如图，△ABC中，AC=BC,BE⊥AC,E为垂足，点D在BC 上，且AB=AD,若CE=3CD,AE=2,则BC的长为 B 33.(24-25八年级上河北唐山期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线.以点B为 圆心，BD长为半径画弧，与AB交于点E,连接DE. E D (I)求证：△ABD≌△ACD: (2)若∠B=50°，求∠ADE的度数. 题型土二等角对等边证明等腰三角形（共3小题） 34.(24-25八年级下·陕西榆林·期末)如图，AB‖CD,若∠1=∠D,AC=3,则AD的长度为 B D A.3 B.4 C.5 D.6 35.(24-25八年级下·江西吉安·期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=7,把 10/15专题03 轴对称图形与等腰三角形 题型1 轴对称图形识别 题型9 角平分线的判定 题型2 利用轴对称的性质进行求解 题型10 等边对等角（重点） 题型3 折叠问题（重点） 题型11 三线合一（重点） 题型4坐标的轴对称性 题型12 等角对等边证明等腰三角形 题型5 轴对称中的最值问题（难点） 题型13 等边三角形的性质（重点） 题型6 画轴对称图形（重点） 题型14 等边三角形的判定 题型7 线段的垂直平分线 题型15 30°锐角所对的直角边是斜边的一半（常考点） 题型8 角平分线的性质（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形识别（共3小题） 1．（25-26八年级上·新疆·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形的定义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）下列图形是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路是根据“轴对称图形”的定义，逐一判断每个选项的图形是否存在一条对称轴，使对折后两侧完全重合．本题考查轴对称图形的识别，涉及的知识点是轴对称图形的定义．解题中用到的方法是“对折验证法”，通过想象或实际对折判断图形是否符合轴对称特征．解题关键是准确理解“完全重合”的含义，避免与旋转对称图形混淆．易错点是误将旋转对称图形当作轴对称图形． 【详解】选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D的图象图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3．（25-26八年级上·北京·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 题型二 利用轴对称的性质进行求解（共3小题） 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；因此此题可根据轴对称的性质进行排除选项即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，，， ∴， ∴不一定成立的是； 故选A． 5．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，由轴对称图形的性质和平行线的性质推出，，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，点是内部一点，点分别是点关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①；②；③上述结论中正确结论的序号是（   ）． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，得；由垂直平分线的性质得，由四边形内角和定理得；根据对称性得 ，，，可得． 【详解】解：连接，如图， 根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴， 又， ∴，故②正确； 根据对称性得 ，，， 又 ， ∴ ， ∴故③错误． ∴正确的结论是①②， 故选：A． 题型三 折叠问题（共3小题） 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 8．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质、与三角形内角和有关的角平分线问题等知识．根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质进一步求出 即可． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ，， ， 故答案为： 9．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着进行第一次折叠，使得，两点落在，的位置，再将纸条沿着折叠（与在同一直线上），使得，分别落在，的位置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．设，根据折叠的性质，长方形的性质，则，， ， ，根据折叠性质，矩形性质，得 ，根据 ，计算即可． 【详解】解：设， 四边形是长方形， ， ， 沿进行第一次折叠 ， ， ， ， 根据折叠性质，长方形的性质，得 ， 根据 ， ， 解得， 故答案为：． 题型四 坐标的轴对称性（共3小题） 10．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据两点纵坐标相等，横坐标相等，即可得出两点关于y轴对称． 【详解】解：点与点关于y轴对称， 故选B 11．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知点与点关于x轴对称，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形轴对称变换，乘方的运算，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得，，求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：． 题型五 轴对称中的最值问题（共3小题） 13．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案： 方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． AI 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置． 故选：C； 14．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短问题、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活利用轴对称的性质求最值成为解题的关键． 如图：过作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，再根据三角形的外角的性质和平角的定义求解即可． 【详解】解：如图：过作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， ，，， ， ， ． 故答案为：． 题型六 画轴对称图形（共3小题） 16．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，在正方形网格中，若点A，C的坐标分别为，，按要求回答下列问题： (1)在图中建立正确的平面直角坐标系；并根据所建立的坐标系，写出点B的坐标； (2)画出关于x轴对称的图形； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，和平面直角坐标系内点的坐标的确定，以及作关于x轴对称的轴对称图形，熟练掌握和灵活运用各知识点是解决此题的关键． （1）根据点的坐标为，即可建立正确的平面直角坐标系，再写出点B的坐标即可； （2）分别作点，，关于轴的对称点，，，连接，，，则即为所求； （3）用割补法求出的面积即可． 【详解】（1）解：所建立的平面直角坐标系，如图所示： 点B的坐标为：； （2）解：所作如下图所示： （3）解： ， 答：的面积为5． 17．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中， (1)求出的面积； (2)在图中作出关于轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，写出点的坐标； （1）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征找到点，，的坐标，然后描点连线画出； （3）由坐标系得到点，，的坐标； 【详解】（1）解： （2）解：如图，为所作； （3）根据坐标系可得： 18．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)作出关于直线对称的（要求A与与与相对应）； (2)求的面积 (3)在直线上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，依次连接即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）连接交直线l于点P，连接，则，故，根据两点之间线段最短可得此时最小，即点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求． 题型七 线段的垂直平分线（共3小题） 19．（24-25八年级下·云南保山·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． 故选：C． 20．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 21．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，进而证明； （2）根据题意求出，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）解：，， ， 的周长． 题型八 角平分线的性质（共3小题） 22．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在四边形中，，E是图中尺规作图的痕迹的交点，A，D，E三点共线，则等于 （           ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图痕迹可判断，是的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，求面积，以为底，则高与相等，可根据其面积即可求出答案．本题主要考查了角平分线的性质应用，牢固掌握其性质并找到平分线上点到边的距离是解题的关键． 【详解】由作图痕迹可得，是的角平分线，所以与的边上的高h相等， ∵． ∴ ∴ 故选：D 23．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，，，， ， ， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是它的角平分线，求证：； (1)在图中完成上面的证明过程． (2)在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积来解决问题． （1）过作于，于，由角平分线性质得到，由三角形面积公式即可证明； （2）过作于，于，由三角形面积公式可得到，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， ； （2）解：如图，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， 过作于， ， ，即． 解得． 题型九 角平分线的判定（共3小题） 25．（25-26八年级上·浙江·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 26．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的定义及性质得，，，，继而得到，，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在在的角平分线上，即平分， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 27．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则； （2）作于点H，于点J，由，，且，，得，则，所以点A在的平分线上，则平分． 【详解】（1）解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． （2）证明：作于点H，于点J， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分． 题型十 等边对等角（共3小题） 28．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，将沿折叠，使点落在边上点处，且．若，则的度数为（    ） A．65° B．62° C． D．55° 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角、折叠的性质、三角形内角和定理、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由等边对等角可得，，则；由折叠的性质可得，，再结合三角形内角和定理可得，根据平角的定义可得以及三角形内角和可得，最后解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上点处， ∴，， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴②， 把①代入②可得：，解得：． 故选C． 29．（25-26八年级上·湖南·期末）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 30．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，中，，点D在上，，，连接，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．过点E作于点F，证明，由全等三角形的性质得出，，证出，由等腰直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：过点E作于点F， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型十一 三线合一（共3小题） 31．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 32．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 33．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，为边上的中线．以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据中点的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，得到，求得，进而即可得解． 【详解】（1）证明： 为边上的中线 ， 在与中， ， ； （2）解：根据题意得， ， ，为边上的中线， ， ， ． 题型十二 等角对等边证明等腰三角形（共3小题） 34．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 35．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，，把向右平移4个单位至，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等角对等边． 根据等角对等边求出，根据平移的性质得到，，同理可得，根据图中阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵把向右平移4个单位至， ∴，， ∴， 同理可得， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 36．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 题型十三 等边三角形的性质（共3小题） 37．（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 38．（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 39．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，可得，再进一步证明即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四 等边三角形的判定（共3小题） 40．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 41．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E，F是线段上的两个点，与交于点M．已知． (1)请你添加一个条件： ，使；（只添一个即可） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法，全等三角形的判定方法：． （1）由，得到，添加即可证明； （2）由全等三角形的性质推出，得到，而，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：添加： 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 42．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】（1）如图1，在中，，BD是AC边上的高，点E为线段BC上一点，，连接DE，求证：为等边三角形； 【问题解决】 （2）2025年4月28日，党中央隆重召开全国劳动模范和先进工作者庆祝表彰大会．为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划在校内修建劳动实践基地，如图，四边形为基地平面示意图，、边靠墙，为一条通道，区域为果蔬栽培区，区域为花卉栽培区，根据规划要求，是等边三角形，，学校计划沿、修建栅栏，沿修建灌溉水渠，为了合理预算，需要知道、、之间的数量关系，请你帮助学校确定、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先得出，再根据得出是等边三角形； （2）延长到点，使得 ，连接，利用全等，得出，得出． 【详解】（1）证明：∵ 为等边三角形，， ∵是边上的高， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）理由如下： 如图，延长到点，使得．连接， ， ， 又 ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 题型十五 30°锐角所对的直角边是斜边的一半（共5小题） 43．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，，，于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 44．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，过点，点分别作，的垂线相交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质得，，可得，，根据含角的直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后由直角三角形的锐角互余得到，结合对顶角相等，即可根据等角对等边证得结论； （2）根据已知条件可知是等边三角形，进而得到，由30度角所对直角边等于斜边的一半得到，然后根据线段的和差运算即可求得的长，从而得到的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 46．（25-26八年级上·天津·期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，，与x轴正方向的夹角为． (1)________，为________三角形； (2)如图1，若，，点D为的中点，交于E，求证：； (3)如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交x轴于点P，问：与之间有何数量关系，试证明你的结论． 【答案】(1)；等边 (2)见解析 (3)，理由 【分析】（1）根据与x轴正半轴夹角为，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形； （2）在上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系可得，由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可证明； （3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用全等三角形的判定与性质及各角之间的等量关系可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可得出结论． 【详解】（1）解：∵OB与x轴正半轴夹角为150°， ∴， ∵， ∴为等边三角形； 故答案为：；等边； （2）解：如图所示：在上截取，可得，即， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴BD平分，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）解：，理由为： ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴， 在中，， 则． 47．（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． $