专题02 全等三角形的8种常考模型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题02 全等三角形的8种常考模型（期末专项练习） 题型1 SAS证明三角形全等 题型5 倍长中线模型（重点） 题型2 AAS或ASA证明三角形全等 题型6 垂线模型（重点） 题型3 用SSS证明三角形全等 题型7 半角模型（重点） 题型4用HL证明三角形全等 题型8 手拉手模型（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 SAS证明三角形全等（共3小题） 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，， ，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． ∴． 2．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，交于点E，，．求证：． 【详解】证明：在和中， ， ． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，，求证：． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 题型二 AAS或ASA证明三角形全等（共3小题） 4．（24-25八年级上·广东湛江·期末）如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴． 5．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，与相交于点O，，若用“”来判定，则还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴用“”判定，要补充． 故选：D． 6．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，对角线，交于点O，，E是上一点，且，．求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 题型三 用SSS证明三角形全等（共3小题） 7．（25-26八年级上·湖南·期末）如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，理解尺规作图的依据是解题的关键．根据圆的半径相等，第一步到第三步的尺规作图可以得到三组对应线段相等，依据“边边边”可以判定，据此回答即可． 【详解】解：根据基本作图，由作图得，， 判定的依据是， 故选：A． 8．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据题意证明，得出，结合求得，根据，即可解题． 【详解】解：，， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·北京平谷·期末）在证明等腰三角形性质定理时，甲、乙、丙三位同学方法如下图所示： 等腰三角形的性质定理的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．已知：如图， 在中，，求证： 甲同学的方法： 过点作的平分线交于点， 乙同学的方法： 过点作于点， 丙同学的方法： 取的中点，连接， 请选择一种方法补全证明过程． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，甲同学：过点作的平分线交于点，利用判定定理“”证明即可求证；乙同学：过点作于点，利用判定定理“”证明即可求证；丙同学：取的中点，连接，利用判定定理“”证明即可求证；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】选甲同学的方法： 证明：过点作的平分线交于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴； 选乙同学的方法： 证明：过点作于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴； 选丙同学的方法： 证明：取的中点，连接， 则， 在和中， ， ∴， ∴． 题型四 用HL证明三角形全等（共3小题） 10．（24-25八年级下·山西太原·期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答． 根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 11．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，垂足分别为，．要根据“”判定，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法“”，根据直角三角形中一组直角边相等，只需要添加斜边相等即可，掌握判定方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要根据“”判定，则需要添加斜边， 故选：． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，，，垂足分别为，，点、在上，、交于点，已知，．求证：． 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由，，垂足分别为，，得，而，，即可根据证明，得，即可证明． 【详解】证明：，，垂足分别为，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型五 倍长中线模型（共3小题） 13．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）如图所示： （2） 是边上中线， ， 在和中， ， ． （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 【分析】此题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，掌握用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据倍长中线法将延长至，使，再证，根据三角形的三边关系即可求出的取值范围，从而求出的取值范围； （3）将延长至，使，连接，证明，即可得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ， 在中，， ； 故答案为：； （3）解：将延长至，使，连接，如图所示： 在和中， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究与发现】（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为______． A．           B．            C．            D． 【变式与应用】（2）如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据中线的性质证得，再由对顶角相等的性质证得，结合，利用全等三角形的判定方法证得； （2）延长至点，使，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，再根据三角形的三边关系证得，计算求解即可； （3）延长至，使，连接，根据中线的性质，可证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证得，由全等三角形的性质得到，进而证得即可． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图： 在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 题型六 垂线模型（共3小题） 16．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 18．（25-26八年级上·江西南昌·月考）（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 题型七 半角模型（共2小题） 19．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中：①；②；③平分；④平分；⑤．其中结论一定正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．③⑤ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据题意可直接判断①错误；根据全等三角形的判定可判断②错误；延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可判断③⑤正确；当平分时，，但、角度不固定，可判断④错误． 【详解】解：∵E、F分别是、上的点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点B，于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则，    ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， ∴平分，故③⑤正确； 当平分时，，而， ∴， 即只有当时，平分， 但E、F是动点，、角度不固定，故④错误． 故选C． 20．（25-26八年级上·北京·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形中，，，分别是直线，上的点． （1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________． （2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系． 数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系． 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明． （3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）如图2，， 理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）结论：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 题型八 手拉手模型（共3小题） 21．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，在和中，，，，，连接，，与相交于点，连接．有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①和③正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断④正确，由，不能证明不能得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，即①③正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，④正确； ∵，不能得出，则不成立故②不正确， 故答案为：①③④． 22．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，（其中和是一组对应点） (1)如图1，的对应点是________，的对应边是________，的对应角是________； (2)如图2，是的中点，连接并延长，恰好经过点，求证：； (3)如图3，、分别是、的中点，连接、、、，其中与交于点，求的值． 【分析】（1）根据全等对应边，对应用角即可求解； （2）过、分别作于点，于点，得，再证，即可求证； （3）在延长线上取点．令，连，证得，再证，即可求解. 【详解】（1）解：∵（其中和是一组对应点） ∴的对应点是：；的对应边是：；的对应角是： 故答案为：，，； （2）证明：如图：过、分别作于点，于点 ， 为中点 在和中 在和中 （3）解：在延长线上取点．令，连． 、为、中点． ，． ， ． 在和中 ， ， 在和中 23．（25-26八年级上·上海长宁·月考）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 【答案】（1），；（2）60度；（3）40 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形并证明是解题关键； （1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； 故答案为：． $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题02全等三角形的8种常考模型（期末专项练习） 题型归纳·内容导航 题型1SAS证明三角形全等 题型5倍长中线模型（重点） 题型2AAS或ASA证明三角形全等 题型6垂线模型（重点） 1题型3用SSS证明三角形全等 题型7半角模型（重点） 题型4用HL证明三角形全等 题型8手拉手模型（重点） 题型通关·靶向提分 题型一SAS证明三角形全等（共3小题） 1.(24-25八年级上·江苏南京·期末)已知：如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证：∠B=∠C. 2.(24-25八年级下·云南昭通·期末)如图，DF交AC于点E,DE=FE,AE=CE.求证：△ADE兰△CFE. 3.(24-25八年级上浙江台州期末)如图，点A,D,B,E在一条直线上，AC=DF,AD=BE,∠A=∠ EDF,求证：∠C=∠F. B 题型二AAS或ASA证明三角形全等（共3小题） 4.(24-25八年级上·广东湛江·期末)如图AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.求 证：AD=AE. 1/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 5,(24-25八年级上·宁夏吴忠期末)如图，AC与BD相交于点O,∠D=∠C,若用“AAS”来判定△ABD兰△ BAC,则还需要添加的一个条件是() 0 B A.AD=BC B.∠AOD=∠BOC C.OD=0C D.∠ABD=∠BAC 6.(24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AB=AC, E是BD上一点，且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC.求证：AE=AD. B 题型三用SSS证明三角形全等（共3小题） 7.(25-26八年级上湖南·期末)如图，已知∠A0B,用直尺和圆规按照以下步骤作图： B C-A 0'4 ①以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交0A、OB于点C、D: ②画射线0'A,以点0'为圆心，OC长为半径画弧，交0'A'于点C; ③以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'; ④过点D画射线0B; 2/9 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据以上操作，可以判定△OCD≌△O'CD,其判定的依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 8.(23-24八年级上·安徽毫州期末)如图，AB=AD,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=50, 则∠BAE的度数为 9.(23-24八年级上·北京平谷·期末)在证明等腰三角形性质定理1时，甲、乙、丙三位同学方法如下图所 示： 等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等 角”)·己知：如图， C在△ABC中，AB=AC,求证：∠B=LC 乙同学的方法 甲同学的方法： 过点A作AE⊥BC于点 丙同学的方法： 过点A作LBAC的平分线交BC于 E, 取BC的中点F,连接AF, 点D, B B B 请选择一种方法补全证明过程 题型四用HL证明三角形全等（共3小题） 10.(24-25八年级下山西太原·期末)在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图1)的卡片， 然后要求同学们画一个Rt△ABC',使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC,小宏同学先画出了∠MB'N=90°之后，后续画 图的主要过程如图所示，这种画图方法的依据是() 3/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N A ◇ B 图1 第一步 第二步 A.SAS B.AAS C.ASA D.HL 11.(24-25八年级下河南郑州·期末)如图，已知BELAD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,AE=DF.要根据 HL”判定Rt△ABE≌Rt△DCF,需要添加的条件是() A.AB=DC B.BE=CF C.∠A=∠D D.∠B=LC 12.(24-25八年级上陕西西安期末)如图，AC1CB,DB1CB,垂足分别为C,B,点E、F在BC上，AE、 DF交于点O,己知AC=DB,AE=DF.求证：CF=BE D B 题型五倍长中线模型（共3小题） 13.(25-26八年级上湖南衡阳·期中)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线. (I)按要求作图：延长AD到点E,使DE=AD;连接BE. (2)求证：△ACD≌△EBD (3)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. 14.(25-26八年级上湖北武汉·月考)(1)如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AD=DE.求证： △ADC兰△EDB; 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AC=4,AB=6,设AD=x,则x的取值范围为 (3)如图3，已知D为△ABC的边BC上一点，CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证：AC=2 AE D E A B 图1 图2 图3 15.(25-26八年级上广东广州期中)【探究与发现】(1)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延 长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得△ADC兰△EDB,其中判定两个三角形全等的依据为 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA D B B 图1 图2 图3 【变式与应用】(2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8,DE=6,求出EP的取值范围. 【感悟】解题时，条件中若出现“中点“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条 件和所求证的结论转化到同一个三角形中， 【问题拓展】(3)如图3,0A=OB,0C=OD,∠AOB+∠COD=180°，连接AC、BD,E是AC的中点，证 明：OE=BD, 题型六垂线模型（共3小题） 16.(25-26八年级上山东日照·月考)(1)如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥CA 于点C,DE⊥AE于点E.求证：BC=AE. (2)如图2，EA⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积. (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于点F,DE与AF交于点G,若 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC=21,AF=12,求△ADG的面积. B 图1 图2 图3 17.(25-26八年级上辽宁抚顺·月考)【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板、 如图：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB;在△DEF中，∠DEF=90°，∠EDF=30°，并提出了相应的问题. D D D B E B 图1 图2 图3 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF,垂足为 M,过点C作CNLDF,垂足为N. (1)图1中，AM=3,CN=8,求MN的长，请补充小明的过程. .∠ABC=90°， ∴.∠ABM+∠CBN=90°， .AM⊥DF,CN⊥DF, ∴.∠AMB=90°，∠CNB=90°， ∴.∠ABM+∠BAM=90°， .∠BAM=∠CBN, (②)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CPLDE, 垂足为P,猜想AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE=8,BE=2,连 接CE,请求出△ACE的面积. 18.(25-26八年级上·江西南昌·月考)(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A, 分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE; (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线经过点A,点D,E分别在直线上，如果∠CEA=LADB=LBAC, 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 猜想DE,BD,CE有何数量关系，并给予证明； (3)如图3，∠ACB=90°，CA=CB,点B的坐标为(1,3)，点C的坐标为(-1,0)，直接写出点A的坐标 ID A 图1 图2 图3 题型七半角模型（共2小题） 19.(23-24八年级上·浙江湖州期中)如图，AB=AD,∠BAD=140°，AB⊥CB于点B,AD1CD于点D, E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF=70°，下列结论中：①DF=BE;②△ADF=△ABE;③FA平分L DFE;④EF平分∠AEC;⑤BE+DF=EF,其中结论一定正确的是() E F B D A A.①② B.①②③ C.③⑤ D.④⑤ 20.(25-26八年级上·北京·期中)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以 根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问 题 某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习： 已知在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. (I)如图，若ABLCB,ADLCD,E,F分别在线段BC,CD上，且满足∠EAF=BAD,试探究线段EF, BE,DF之间的数量关系 7/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B F D 数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF.连接AG,先证△ABG与△ADF的全等，再证△ AEF与△AEG的全等，可得到EF,BE,DF之间的数量关系.经过以上分析，直接写出线段EF,BE,FD之间 的数量关系为 (2)如图，若∠ABC+LADC=180,点E,点F分别在线段CB,DC的延长线上，且满足∠EAF=∠BAD,试 探究线段EF,BE,DF之间的数量关系， 数学小组的同学们先猜想线段EF,BE,DF之间的数量关系，然后借助第(1)问中研究问题的思路和方法 进行探讨，发现有以下两种证明方法： 方法I:延长BE至点G,使得BG=DF,先证△ABG与△ADF的全等，再证△AEF与△AEG的 全等，可得到线段EF,BE,DF的之间的数量关系. 方法2：在DF上截取DG=BE,先证△ADG与△ABE的全等，再证△AEF与△AGF的全等， 可得到EF,BE,DF之间的数量关系. 请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明， (3)如图，若∠ABC+∠ADC=180不变，点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，若EF=BE+DF,请 直接写出LEAF与LBAD的数量关系， 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型八手拉手模型（共3小题） 21,(25-26八年级上河南南阳·期中)如图，在△0AB和△0CD中，0A=0B,0C=0D,0A>0C,∠A0B =∠COD=40°，连接AC,BD,AC与BD相交于点M,连接OM,有下列4个结论：①AC=BD;②CD=AB; ③∠0CM=∠0DM;④∠AMB=40°，其中正确的是·（填序号） M D 22.(25-26八年级上湖北武汉·期中)如图，△ABC兰△BED(其中C和D是一组对应点) 图1 ☒2 图3 (1)如图1，A的对应点是 ,AB的对应边是 ,∠ABC的对应角是 (2)如图2，F是AB的中点，连接CF并延长，恰好经过点D,求证：CF=DF; (③)如图3，F、G分别是AB、BE的中点，连接CR、DG、FG、CD,其中CD与FG交于点H,求需的值. 23.(25-26八年级上·上海长宁·月考)(1)如图1，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AB<AD,∠BAC =∠DAE=90°，连接BD,CE,构建“手拉手”模型，可证明BD= ；在此基础上，我们把如图2的画 斜线部分称为蝴蝶型”，可通过证明得到BD⊥ (2)如图3，△ABC和△ADE是等边三角形，AD<AB,连接BD,CE,BD的延长线与CE相交于点F.求L BFC的度数； (3)如图4，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,AD<AB,∠BAC=∠DAE=40°，连接BD,CE.则直 线BD与直线CE的夹角为 度 图1 图2 图3 图4 9/9