专题08 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题08 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（    ）    A．4 B．2+6 C．+3 D．6 【答案】A 【分析】以AB为边，在AB的左侧作等边ABF，连接EF，先根据“SAS”证明，从而得出FE=AD，然后根据，∠BAC=可证F，A，C在同一条直线上，根据“两点之间，线段最短”可得AD+CE的最小值为CF，即可求解． 【详解】解：以AB为边，在AB的左侧作等边ABF，连接EF，    ∵BED和ABF都是等边三角形， ∴，BE=BD，BF=AB=AF， ∴∠FBE=∠ABD， ∴（SAS）， ∴FE=AD， ∵，∠BAC=，   ∴ ∴F，A，C在同一条直线上， ∵FE=AD， ∴AD+CE=FE+CECF， 当C，E，F在同一直线上时，AD+CE取最小值，最小值为CF， ∵AB=AC=2，AB=AF， ∴AF=2， ∴CF=， 即AD+CE的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间，线段最短等知识，构造，从而把求AD+CE的最小值转化为EF+CE的最小值的解题的关键． 例2（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误． 【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠DAC， 又∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ， 又∵AC=BC， 在△CQB与△CPA中， ， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴CP=CQ， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC=∠DCE=60°， ∴PQ∥AE， 故C正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ， 故B正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴AD-AP=BE-BQ， 即DP=QE， ∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故D错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， 故A正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量． 例3（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】3.5/ 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图，以为边作等边三角形，过点作于，于，可证四边形是矩形，可证，由“”可证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点与点重合时，， 故答案为：． 例4（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，且，，则，，而，则，再证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则，所以． 【详解】解：四边形是正方形，对角线、相交于， ，，且，， ，， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积是8． 故答案为：8 例5如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质． ①由于和是等边三角形，可知，，，从而利用证出，可推知；②由得，，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②可得出，，即可证；④根据，，可知，，且，得出，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质得出，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确． 【详解】解：①∵正和正， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故①正确； ②又∵，，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 1．（25-26八年级上·内蒙古·期中）如图，三点共线，，则（    ） A． B． C． D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用. 求出，根据推出，根据全等三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是合理的利用全等三角形的性质；先判断三角形全等，根据三角形的全等判断A和B正确，再运用三角形的内角和定理可以判断出D正确，无法判断出C正确，故得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故A正确； 又∵，， ∴， ∴，， 故B正确； ∵， 又∵，， ∴， 故D正确； 无法判断，∴无法判断， 故无法判断出C； 故选∶C． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断； 设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断； 根据，得，由此可对结论进行判断； 过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断； 由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 设与交于点，与交于点，如图所示： 在中，， 在中，， ，，， ， ， 故结论正确； ， ， 在中，是边上的高， ， ， 故结论正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故结论正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是，共个， 故选：D． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角定理的应用，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：， ，故①正确 在和中， ，故②正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 6．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，已知：，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先证，进而证明，据此可判断①；由全等推出，，可判断③；由，推出，进而可得，可判断②；延长交于点F，可证，可判断④． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ， ，故②错误； 如图，延长交于点F， ，， ，故④正确； 综上可知，正确的有， 故答案为：①③④． 7．（25-26八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点．下列判断正确的有 ． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，则，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，则，从而可对进行判断． 本题考查全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ≌， ∴正确； ， ， ， ∴正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ， ∴错误； ≌， ， ， ， ， ， ∴正确． 故答案为：①②④． 8．（25-26八年级上·河北·阶段练习）新定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．如图，在和中，，，且，连接，交于点．当点，，在同一条直线上时， （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明．先证明，得到，，再根据三角形外角的性质得到，而，故可求． 【详解】解：， ，即， 又， ， 点，，在同一条直线上时， ， ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在和中，，，，．连接，交于点，与交于点E，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】由题意易证，即得出，，故②正确；结合，即可求出，故①正确；由角平分线的定义可知，从而可证，进而可证．即可利用“”证明故③正确；过点O作于点G，于点H，易证，即得出，说明平分，即．假设成立，得出，从而可求出，进而可证平分．因为不确定平分，不一定成立，故④错误． 【详解】解： ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵若平分， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，故③正确； 如图，过点O作于点G，于点H， 在和中， ， ∴，   ∴， ∴平分，即． 假设成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分． ∵不确定平分， ∴不一定成立，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 10．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 11．如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出． （1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，根据推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，代入求出即可． 【详解】（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 12．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 13．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)CE﹣CD＝AC．理由见解析 【分析】（1）结论：．连接．证明； （2）结论：，证明方法类似（1）． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：． 理由：连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，，理由见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，掌握“手拉手”的全等模型是解题关键； （1）由题意得且平分，即可求解； （2）证即可； （3）分类讨论①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，线段为边上的中线． ∴且平分； ∴； （2）证明：由题意得：， ∴，即； ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， 同理可得； ③当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 综上所述，是定值，； 15．（24-25七年级下·广东佛山·期中）先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），证明见解析；（2）成立，证明见解析；（2），证明见解析． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由： 如图1，延长到点，使，连接， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）结论仍成立，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 16．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． （3）解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析 (3)图见解析，或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得，，即可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论； （3）分两种情况：①当E在下方时，如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得出结论；②当E在上方时，如图4，得，证明，则有，，从而可得；在中，由勾股定理得三线段间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当E在下方时，如图3， 存在的数量关系为， 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ②当E在上方时，如图4， 存在的数量关系为， ∵，， ∴； 又∵，， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得, ∴． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【详解】证明：①、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 21．在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①见解析 ② (2)．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①利用定理证明即可； ②利用全等三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）利用定理证明，得到，从而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）①证明：因为， 所以，即． 在 和中，， 所以． ②解： 由 ①，可得． 所以． 所以． （2）解：． 理由：因为， 所以，即． 在 和中， ， 所以， 所以． 所以， 所以． 因为， 所以． 22．（2025·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 23．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图已知四边形和四边形都是正方形，且，连接，． (1)求证： (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质 （1）结合正方形的性质利用证明，进而可证明结论； （2）连接，通过证明可得为等边三角形，进而求解． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 在和中 ∴， ∴， ∵由（1）可知， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 24．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 25．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证； （2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ， 即， ≌； （2）解：≌， ， ， ； （3）证明：如图，作于点于点， ， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 26．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出； （2）由得：，再根据，，得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键． 27．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证出，由SAS证明即可； （2）由可得，由 和 均为等腰直角三角形可得，代入数值即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵ 和均为等腰直角三角形 ∴，，， ∴． 在和中， ， ∴（SAS）； （2）解：∵, ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质和判定，掌握旋转全等的对应关系是解题的关键． 28．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：FA平分∠BFE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据SAS证明结论即可； （2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N． 由△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE， ∵， ∴AM＝AN， ∴点A在∠BFE平分线上， ∴FA平分∠BFE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明． 29．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N． (1)求证：BD=CE． (2)求证：AP平分∠BPE． (3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)PE=AP+PD，见解析 【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE； （2）由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE； （3）由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解． 【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE， ∵△BAD≌△CAE， ∴S△BAD=S△CAE，BD=CE， ∴BD×AH=CE×AF， ∴AH=AF， 又∵AH⊥BD，AF⊥CE， ∴AP平分∠BPE； （3）解：PE=AP+PD，理由如下： 如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠BDA=∠CEA， 又∵OE=PD，AE=AD， ∴△AOE≌△APD（SAS）， ∴AP=AO， ∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE， ∴∠NPD=∠DAE=α=60°， ∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°， 又∵AP平分∠BPE， ∴∠APO=60°， 又∵AP=AO， ∴△APO是等边三角形， ∴AP=PO， ∵PE=PO+OE， ∴PE=AP+PD． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D为线段BC边上的动点，以BD为边向上作等边BED，连接CE、AD，则AD+CE的最小值为（    ）    A．4 B．2+6 C．+3 D．6 例2（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 例3（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 例4（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，则四边形的面积是 ． 例5如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 1．（25-26八年级上·内蒙古·期中）如图，三点共线，，则（    ） A． B． C． D．无法计算 2．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图， 已知，，， 点C， E， D， F共线． 下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，已知：，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 7．（25-26八年级上·河北承德·期中）如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点．下列判断正确的有 ． ①；②；③；④． 8．（25-26八年级上·河北·阶段练习）新定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．如图，在和中，，，且，连接，交于点．当点，，在同一条直线上时， （用含的代数式表示）． 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在和中，，，，．连接，交于点，与交于点E，连接．则在下列结论中：①，②，③若平分，则，④．正确的结论有 （填序号）． 10．（25-26七年级上·山东·阶段练习）如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 11．如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 13．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 14．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 15．（24-25七年级下·广东佛山·期中）先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 16．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 18．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接． (1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等） (2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由； (3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 21．在中，，点D是上一点（不与B，C重合），以为一边在 的右侧作，使，，连接 ． (1)如图1，若； ①说明：； ② 求 的度数． (2)设，，如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由． 22．（2025·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 23．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图已知四边形和四边形都是正方形，且，连接，． (1)求证： (2)连接，若，，求的度数． 24．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 25．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 26．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 27．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，若 和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 28．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)求证：FA平分∠BFE． 29．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N． (1)求证：BD=CE． (2)求证：AP平分∠BPE． (3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $