第五章 一次函数的单元测试 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第五章 一次函数的单元测试 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（2025秋•南海区期中）函数的定义核心：每一个x值都有且对应唯一的一个y值．下列选项中y不是x的函数的是（　　） x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 A． B． C． D． 2．（2025春•河西区校级月考）有下列函数：①y＝x，②，③y＝﹣2x﹣3，④y＝kx+b，⑤y＝x2﹣1，其中是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024秋•盐城月考）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．kb ( 第4题 ) ( 第3题 ) 4．（2025•东莞市校级一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（　　） A．（4，8） B．（3，8） C．（2，8） D．（8，4） 5．（2024秋•舒城县期末）一次函数y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A．；B． ；C．；D． 6．（2025秋•槐荫区期中）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d（a≠0，c≠0）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；②ad+bc＞0；③函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；④3（a﹣c）＝d﹣b；⑤x的值每增加1，y2﹣y1的值增加d﹣b．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ ( 第7题 ) ( 第6题 ) 7．（2025春•芦淞区期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数yx交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．（2024秋•响水县月考）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少． ( 第8题 )其中正确的说法共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（2025春•船营区校级期末）如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　 　 k2．（填“＞”“＜”或“＝”） ( 第10题 ) ( 第9题 ) 10．（2025春•文登区期末）如图，一相框长20cm，宽15cm．相框边（阴影部分）的宽为xcm，相框内的空白部分周长是ycm，则y与x之间的关系式为 　 　 ． 11．（2024秋•响水县月考）已知一次函数y＝（3﹣2m）x+1的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是 　 　 ． 12．（2025秋•福田区校级期中）若是正比例函数，则（a﹣b）2025的值是 　 　 ． 13．（2023春•硚口区期末）已知等腰三角形的周长是20cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数关系式为　 　 ，自变量x的取值范围是　 　 ． 14．（2025春•浑南区期末）新定义：关于x的一次函数y＝kx+b，我们称函数为一次函数y＝kx+b的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数y＝x+4的“3变函数”为． 关于x的一次函数y＝2x+2的“1变函数”为y1，关于x的一次函数的“m变函数”为y2，若函数y1和函数y2有且仅有两个交点，则m的取值范围是　 　 ． 15．（2025•济南模拟）如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 　 　 ． ( 第11题 ) 16．（2025秋•蜀山区校级期中）已知函数y＝mx+4（m为常数），当﹣3≤x≤2时，y的最大值为6，则m的值为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024秋•清镇市校级期中）y与x的函数关系式为y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n） （1）当m，n为何值时，y是关于x的一次函数？ （2）当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？ 18．（8分）（2025春•贵阳校级月考）已知函数y＝（1﹣2m）x+m+1，求当m为何值时． （1）y随x的增大而增大？ （2）图象经过第一、二、四象限？ （3）图象与y轴的交点在x轴的上方？ 19．（8分）（2025春•牟平区期中）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）①不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； ②不受原题意条件限制，若n≠1，则当m＝ 　 　 时，方程组无解； （3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由． 20．（8分）（2023秋•沈北新区期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x﹣1|﹣3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣1 ﹣2 a ﹣2 b 0 … 则a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）描点并画出该函数的图象． （3）①判断：函数y＝|x﹣1|﹣3的图象 　 　 （填“是”或“不是”）轴对称图形； ②观察函数图象，当﹣3≤y≤﹣1时，x的取值范围是 　 　 ； ③观察函数图象，试判断函数y＝|x﹣1|﹣3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 21．（9分）（2025秋•新津区校级期末）已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线DEF和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发 　 　 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 　 　 千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为 　 　 千米/时． （2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ （3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 22．（9分）（2024秋•盐城月考）如图，直角坐标系中，已知点D坐标为（﹣2，﹣1），点C坐标为（0，﹣2），直线CD与y轴交于点B，点A与点B关于y轴对称． （1）求直线BC的函数关系式； （2）求△ACD的面积； （3）在直线OD上是否存在一点P，使得S△CDP＝S△ACD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（10分）（2025秋•金水区校级期中）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是xcm，单层部分的长度是ycm，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度x（cm） 2 6 10 … 单层部分的长度y（cm） 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为2：3． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为53.5cm；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： （1）如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； （2）设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； （3）当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 24．（12分）1．（2024秋•淮阴区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点．如图所示P、Q两点即为垂距等点． （1）已知点A的坐标为（﹣2，3）．①在点M（1，4），N（7，﹣2），T（﹣5，0）中，为点A的垂距等点的是 　 　 ； ②若点B在y轴的负半轴上，且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为 　 　 ； （2）直线l：y＝x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D． ①当E为线段CD上一点时，若在直线x＝n上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的取值范围． ②已知正方形HPKQ的边长为2，（t，0）是对角线HK、PQ的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E、G两点为垂距等点，直接写出t的取值范围． 第五章 一次函数的单元测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C A B A B A 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（2025秋•南海区期中）函数的定义核心：每一个x值都有且对应唯一的一个y值．下列选项中y不是x的函数的是（　　） x 0 5 10 15 y 3 3.5 4 4.5 A. B． C． D． 解：选项A表格中每个x值都对应唯一的y值，符合函数定义，所以y是x的函数； 选项B，作垂直于x轴的直线，与图象只有一个交点，即每个x值都对应唯一的y值，符合函数定义，所以y是x的函数； 选项C，作垂直于x轴的直线，与图象只有一个交点，即每个x值都对应唯一的y值，符合函数定义，所以y是x的函数； 选项D，作垂直于x轴的直线，与椭圆有两个交点，即一个x值都对应两个y值，不符合函数定义，所以y不是x的函数． 2．（2025春•河西区校级月考）有下列函数：①y＝x，②，③y＝﹣2x﹣3，④y＝kx+b，⑤y＝x2﹣1，其中是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解：根据一次函数定义逐项分析判断如下： ①y＝x是一次函数； ②中x在分母位置，不是一次函数； ③y＝﹣2x﹣3是一次函数； ④当k＝0时不是一次函数； ⑤y＝x2﹣1中x的次数不是1，不是一次函数； 综上可知，一次函数有2个， 3．（2024秋•盐城月考）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　） A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．kb 解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限， ∴b≤0， 又∵函数图象经过点（2，0）， ∴图象经过第一、三、四象限， ∴k＞0，kb， ∴kb＜0， ∴k+bb＜0， ∴错误的是k+b＞0． 4．（2025•东莞市校级一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（　　） A．（4，8） B．（3，8） C．（2，8） D．（8，4） 解：∵二元一次方程组的解为， ∴把y＝8代入y＝x+4得x＝4， ∴m＝4， ∴二元一次方程组的解为， ∵二元一次方程组的解就是两个一次函数y＝kx+b和y＝x+4图象的交点坐标， ∴直线y＝kx+b与直线y＝x+4相交于点P的坐标为：（4，8）， 5．（2024秋•舒城县期末）一次函数y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：对选项中的y1，y2分别对应的a，b的值进行分析判断如下： A、y1＝ax﹣b：a＜0，b＜0；y2＝bx﹣a：a＜0，b＞0； 故此选项不符合题意； B、y1＝ax﹣b：a＞0，b＜0；y2＝bx﹣a：b＜0，a＞0； 故此选项符合题意； C、y1＝ax﹣b：a＞0，b＜0；y2＝bx﹣a：b＜0，a＜0； 故此选项不符合题意； D、y1＝ax﹣b：a＞0，b＞0；y2＝bx﹣a：b＜0，a＜0； 故此选项不符合题意； 6．（2025秋•槐荫区期中）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d（a≠0，c≠0）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小；②ad+bc＞0；③函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；④3（a﹣c）＝d﹣b；⑤x的值每增加1，y2﹣y1的值增加d﹣b．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 解：①由图象可知：函数y1＝ax+b中，y1随x的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，d＜0， ∴ad＞0，bc＞0， ∴ad+bc＞0，故②正确； ③由图象可知：a＜0，d＜0，故函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为3，3c+d＝3a+b，故3（a﹣c）＝d﹣b，故④正确； ⑤当x＝m时，y2﹣y1＝cm+d﹣（a+b）＝（c﹣a）m+b﹣d， 当x＝m+1时，y2﹣y1＝c（m+1）+d﹣[a（m+1）+b]＝（m+1）（c﹣a）+b﹣d， ∴（m+1）（c﹣a）+b﹣d﹣[m（c﹣a）+b﹣d]＝c﹣a， ∴x的值每增加1，y2﹣y1的值增加c﹣a，故⑤错误， 7．（2025春•芦淞区期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数yx交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：∵点C的横坐标为2， ∴当x＝2时，yx， ∴C（2，）， 把C（2，）代入y＝kx+2得，k， ∴yx+2， 当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3， ∴B（0，2），A（3，0）， ∴①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3，正确； ②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0，正确； ③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2，故③错误； ④∵C（2，）， ∴方程组的解为，正确； 8．（2024秋•响水县月考）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少． 其中正确的说法共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，①错； 从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了2﹣1.5＝0.5小时，②对； 汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为：240÷4.5千米/时，③错． 汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9．（2025春•船营区校级期末）如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　＜　 k2．（填“＞”“＜”或“＝”） 解：如图： 当x＝a时，y1＝k1a，y2＝k2a，y1＜y2， ∴k1＜k2， 10．（2025春•文登区期末）如图，一相框长20cm，宽15cm．相框边（阴影部分）的宽为xcm，相框内的空白部分周长是ycm，则y与x之间的关系式为 y＝70﹣8x（0＜x＜7.5）　 ． 解：y＝2[（20﹣2x）+（15﹣2x）]＝70﹣8x（0＜x＜7.5）， ∴y＝70﹣8x（0＜x＜7.5）． 11．（2024秋•响水县月考）已知一次函数y＝（3﹣2m）x+1的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＜y2，那么m的取值范围是 m　 ． 解：∵知一次函数y＝（3﹣2m）x+1的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，有y1＜y2， ∴此函数为减函数， ∴3﹣2m＜0，∴m． 12．（2025秋•福田区校级期中）若是正比例函数，则（a﹣b）2025的值是 　﹣1　 ． 解：∵是正比例函数， ， 解得， ∴（a﹣b）2025＝（1﹣2）2025＝﹣1， 13．（2023春•硚口区期末）已知等腰三角形的周长是20cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数关系式为y＝20﹣2x ，自变量x的取值范围是　5＜X＜10　 ． 解：∵2x+y＝20 ∴y＝20﹣2x，即x＜10， ∵两边之和大于第三边 ∴x＞5， 综上可得5＜x＜10． 14．（2025春•浑南区期末）新定义：关于x的一次函数y＝kx+b，我们称函数为一次函数y＝kx+b的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数y＝x+4的“3变函数”为． 关于x的一次函数y＝2x+2的“1变函数”为y1，关于x的一次函数的“m变函数”为y2，若函数y1和函数y2有且仅有两个交点，则m的取值范围是　﹣2　 ． 解：由题意：，， ∴两个函数图象的交点分别为（﹣2，﹣2），． ∴观察图象可知：时，函数y1和函数y2有且仅有两个交点． 15．（2025•济南模拟）如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（﹣3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（﹣1，0）处，其反射光线BC交y轴于点，再被平面镜（y轴）反射得光线CD，则直线CD的函数表达式为 y＝﹣0.5x+0.5　 ． 解：由题意得：∠ABE＝∠CBO，∠BCO＝∠DCF，∠BOC＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣2∠CBO，∠DCB＝180°﹣2∠BCO， ∴∠ABC+∠DCB＝180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠BCO ＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO）＝360°﹣2×90°＝180°， ∴AB∥CD， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣0.5x﹣0.5， ∴设直线CD的解析式为：y＝﹣0.5x+m， ∵BC交y轴于点C（0，）， ∴m， ∴直线CD的解析式为：y＝﹣0.5x+0.5， 16．（2025秋•蜀山区校级期中）已知函数y＝mx+4（m为常数），当﹣3≤x≤2时，y的最大值为6，则m的值为　1或　 ． 解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大， ∴当x＝2时，y＝6， ∴6＝2m+4， 解得m＝1， 当m＜0时，一次函数y随x增大而减小， ∴当x＝﹣3时，y＝6， ∴6＝﹣3m+4， 解得m， 综上可知，m的值为1或． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024秋•清镇市校级期中）y与x的函数关系式为y＝（5m﹣3）x2﹣n+（m+n） （1）当m，n为何值时，y是关于x的一次函数？ （2）当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？ 解：（1）∵函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+m+n是y关于x的一次函数， ∴一次项系数不为0，x2﹣n的指数必须为1， ∴， 解得：， ∴当m且n＝1时，y是关于x的一次函数； （2）∵函数y＝（5m﹣3）x2﹣n+m+n是y关于x的正比例函数， ∴一次项系数不为0，x2﹣n的指数必须为1，常数项必须为0， ∴， 解得：， ∴当m＝﹣1且n＝1时，y是关于x的正比例函数． 18．（8分）（2025春•贵阳校级月考）已知函数y＝（1﹣2m）x+m+1，求当m为何值时． （1）y随x的增大而增大？ （2）图象经过第一、二、四象限？ （3）图象与y轴的交点在x轴的上方？ 解：（1）∵y随x的增大而增大， ∴1﹣2m＞0， 解得； （2）∵图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得； （3）∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴m+1＞0， 解得m＞﹣1． 19．（8分）（2025春•牟平区期中）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）． （1）求b的值； （2）①不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解； ②不受原题意条件限制，若n≠1，则当m＝ 　1　 时，方程组无解； （3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由． 解：（1）将P（1，b）代入y＝x+1，得b＝1+1＝2； （2）①由于P点坐标为（1，2）， 所以方程组的解是； ②当m＝1时，方程组无解， 故答案为：1； （3）直线l：y＝nx+m经过点P， 理由：将P（1，2）代入解析式 y＝mx+n 得，m+n＝2， 将 x＝1代入y＝mx+m得y＝m+n， 由于m+n＝2， 所以y＝2， 故P（1，2）也在直线y＝nx+m上． 20．（8分）（2023秋•沈北新区期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x﹣1|﹣3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 0 ﹣1 ﹣2 a ﹣2 b 0 … 则a＝　﹣3　 ，b＝　﹣1　 ． （2）描点并画出该函数的图象． （3）①判断：函数y＝|x﹣1|﹣3的图象 　是　 （填“是”或“不是”）轴对称图形； ②观察函数图象，当﹣3≤y≤﹣1时，x的取值范围是 　﹣1≤x≤3　 ； ③观察函数图象，试判断函数y＝|x﹣1|﹣3是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 解：（1）∵y＝|x﹣1|﹣3， 当x＝1时，y＝|1﹣1|﹣3＝﹣3，即a＝﹣3； 当x＝3时，y＝|3﹣1|﹣3＝﹣1，即b＝﹣1， 故答案为：﹣3；﹣1； （2）函数图象如下： （3）①由（2）图象可知，函数y＝|x﹣1|﹣3的图象是轴对称图形， 故答案为：是； ②观察图象可知满足条件的x的值为：﹣1≤x≤3． 故答案为：﹣1≤x≤3； ③存在，最小值为﹣3，证明如下： ∵|x﹣1|≥0， ∴|x﹣1|﹣3≥﹣3，当且仅当x＝1时取等号， ∴函数y＝|x﹣1|﹣3的最小值为﹣3， 即存在最小值，最小值为﹣3． 21．（9分）（2025秋•新津区校级期末）已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线DEF和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）直接写出：甲出发 　1　 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 　50　 千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为 　12.5　 千米/时． （2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？ （3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长． 解：（1）甲出发2﹣1＝1（小时）后，乙才开始出发；乙的速度为50÷（3﹣2）＝50（千米/时）；甲骑自行车在全程的平均速度为50÷（5﹣1）＝12.5（千米/时）． 故答案为：1，50，12.5． （2）EF段的速度为（50﹣20）÷（5﹣2）＝10（千米/时），则对应的函数关系式为S＝20+10（t﹣2）＝10t， MN段对应的函数关系式为S＝50（t﹣2）＝50t﹣100， 当二人相遇时，得10t+50t﹣100＝50， 解得t＝2.5， 2.5﹣1＝1.5（小时）． 答：甲出发1.5小时后与乙在途中相遇． （3）乙到达A地后休息半小时原路返回B地的图象（对应线段PQ）如图所示： 二人第一次相遇前，相距5千米时，得10t+50t﹣100+5＝50， 解得t， 二人第一次相遇后至乙到达A地前，相距5千米时，得60（t﹣2.5）＝5， 解得t， 由题意可知，当t时，二人之间的距离不超过5千米， （小时）； 当t＝3+0.5＝3.5时乙休息结束并开始返回A地，当t＝3.5+1＝4.5时乙返回到A地， 乙返回B地过程中离A地距离为50（t﹣3.5）＝50t﹣175，这个过程中当二人之间的距离不超过5千米时，得|50t﹣175﹣10t|≤5， 解得t， 由题意可知，当t≤5时，二人之间的距离不超过5千米， 5（小时）； （小时）． 答：甲乙两人能够通讯的最大时长为小时． 22．（9分）（2024秋•盐城月考）如图，直角坐标系中，已知点D坐标为（﹣2，﹣1），点C坐标为（0，﹣2），直线CD与y轴交于点B，点A与点B关于y轴对称． （1）求直线BC的函数关系式； （2）求△ACD的面积； （3）在直线OD上是否存在一点P，使得S△CDP＝S△ACD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）设直线BC解析式为y＝kx+b，将点C（0，﹣2），点D（﹣2，﹣1）分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为； （2）∵直线BC：交x轴于点B， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣4， ∴点B（﹣4，0）， ∴OB＝4． ∵点A与点B关于y轴对称， ∴点A（4，0）， ∴OA＝4，AB＝8． ∵C（0，﹣2）， ∴， ∴S△ACD＝S△ACB﹣S△ADB＝8﹣4＝4； （3）在直线OD上存在一点P，使得S△CDP＝S△ACD；理由如下： 如图，过点A作BC的平行线交OD于点P，则点P就是所求作的点， 设直线AP为：，将点A的坐标代入得： 4+b＝0， 解得：b＝2， ∴直线AP的解析式为， ∵直线OD经过点D（﹣2，﹣1）， ∴直线OD的解析式为， 联立得：， 解得：， ∴P（2，1）， 设点P（2，1）关于点D（﹣2，﹣1）的对称点为P′， ∴P′的坐标为（﹣6，﹣3），此时S△CDP′＝4， ∴点P的坐标为（2，1）或（﹣6，﹣3）． 23．（10分）（2025秋•金水区校级期中）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是xcm，单层部分的长度是ycm，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度x（cm） 2 6 10 … 单层部分的长度y（cm） 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为2：3． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为53.5cm；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为38cm，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： （1）如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； （2）设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； （3）当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 解：（1）描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量x、y满足一次函数关系． 设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将x＝2，y＝116和x＝10，y＝100代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝﹣2x+120． 当背带都为单层部分时，x＝0； 当背带都为双层部分时，y＝0，即﹣2x+120＝0， 解得x＝60， ∴x的取值范围是0≤x≤60； （2）∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， ∴总长度为﹣2x+120+x＝﹣x+120， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； （3）由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即x＝60，y＝0， ∵背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为53.5cm， ∴手到地面的距离为， 设小明爸爸的身高为hcm． ∵臂展和身高一样，且肩宽为38cm， ∴小明爸爸一条胳膊的长度为， ∴， 解得h＝172， 根据任务2，得， 解得， ∴此时双层部分的长度为． 24．（12分）（2024秋•淮阴区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点．如图所示P、Q两点即为垂距等点． （1）已知点A的坐标为（﹣2，3）．①在点M（1，4），N（7，﹣2），T（﹣5，0）中，为点A的垂距等点的是 M，T ； ②若点B在y轴的负半轴上，且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为 　（0，﹣5）　 ； （2）直线l：y＝x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D． ①当E为线段CD上一点时，若在直线x＝n上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的取值范围． ②已知正方形HPKQ的边长为2，（t，0）是对角线HK、PQ的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E、G两点为垂距等点，直接写出t的取值范围． 解：（1）①∵点A的坐标为（﹣2，3）， ∴|﹣2|+3＝5， 在点M（1，4），N（7，﹣2），T（﹣5，0）中， 1+4＝5，7+|﹣2|＝9，|﹣5|+0＝5 ∴M、T为点A的垂距等点， 故答案为：M，T； ②∵点B在y轴负半轴上， ∴点B的横坐标为0， 设B（0，y）（y＜0）， ∴﹣y+0＝5， ∴y＝﹣5， ∴B（0，﹣5）； 故答案为：（0，﹣5）； （2）①由题意，直线y＝x﹣4与x轴交于C（4，0），与y轴交于D（0，﹣4）， 点E在线段CD上，设E点的坐标为（x，x﹣4）， 0≤x≤4，x﹣4≤0， ∴点E到坐标轴的距离之和为： x+4﹣x＝4， ∵E、F两点为垂距等点， ∴点F满足横、纵坐标的绝对值之和等于4， ∴点F在如图所示的正方形CDRS上， ∵R点的坐标为（﹣4，0），F点在直线x＝n上， ∴﹣4≤n≤4； 即：n的取值范围﹣4≤n≤4； ②t的取值范围为t≤﹣2或t≥2．理由如下： ∵（t，0）是对角线HK、PQ的交点， ∴不妨设H（t﹣1，1），Q（t+1，1）， 由①可知，点E到两坐标轴的距离之和的最小值为4， ∴当t≥1时，由t+1+1≥4，得：t≥2； 当t＜1时，由1﹣t+1≥4，得：t≤﹣2； ∴t的取值范围为t≤﹣2或t≥2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $