专题02 坐标与一次函数压轴（6大题型51题）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材苏科版

专题02 坐标与一次函数压轴 题型1 坐标中的旋转与对称综合 题型4 一次函数与几何图形的存在性问题 题型2 动点轨迹与坐标变化 题型5 一次函数的最值问题 题型3 坐标系中几何图形的面积问题 题型6 -次函数与全等三角形的综合压轴 题型一 坐标中的旋转与对称综合 1．如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的判断与性质等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 分别过点和点作y轴的垂线，构造出全等三角形即可解答． 【详解】解：如图：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为D、E，    ∵，， ∴，，即， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∴ ∴点A的坐标为． 故答案为：． 2．如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上对称点的性质及无理数的运算，解题的关键是利用“对称点到对称中心的距离相等”建立等式求解． 设点C表示的数为，根据点A是点B与点C的对称中心，可得A到B的距离等于A到C的距离，据此列方程求解． 【详解】解：设点C所表示的数为， ∵点B与点C关于点A对称， ∴点A是线段BC的中点． 由中点性质得， 两边同乘2得， 解得． 故选：B． 3．如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中一个轴对称图形（只有一条对称轴），其中点和点是这个图形上对称点，若此图形上另有一点B，则点B的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质和轴对称与坐标的变化，找到对称轴是关键，难度一般． 先根据点和点是这个图形上对称点，得到对称轴为直线，再根据该对称关系找到点 B 的对称点的坐标即可． 【详解】解：∵点和点是这个图形上的对称点， ∴点A与点关于直线对称， ∴点 B关于直线对称为， 故选：A． 5．如图，在中，，，是中点，则点关于点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形与坐标，掌握等腰直角三角形的三边之比以及线段中点坐标公式，是解题的关键． 过点A作于D，然后求出的长，从而得到点A的坐标，再根据中点坐标公式，求出点C的坐标，然后利用中点坐标公式求出点O关于点C的对称点坐标，即可． 【详解】如图，过点A作于D， ∵， ∴， ∴点， ∵C是中点， ∴点C的坐标为， ∴点O关于点C的对称点的坐标是： 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．    (1)已知，，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是___________ (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间的距离，解题的关键是掌握新定义二次反射点的理解和运用． （1）根据二次反射点的定义直接得出答案； （2）根据二次反射点的定义得出坐标，利用两点之间的距离则可得出答案． 【详解】（1）解：关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴； 关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解：当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 当时，关于轴的对称点为，点关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； 综上，的长为6． 7．在一次折叠比赛中，某同学将直角三角形对折，如图所示，他联想到最近学习的平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上， (1)点C的坐标是___________； (2)求长度； (3)若点P在y轴上，且，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标是解题的关键； （1）过点D作于点H，由折叠的性质可知：，然后可得，，则根据等积法可得，最后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可进行求解； （3）由（1）可知：，，设点，则有，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点H，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴； 故答案为； （2）解：由（1）可得：； （3）解：由（1）可知：，， ∴， 设点，则有， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 题型二 动点轨迹与坐标变化 8．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点的坐标分别为，，，，一动点从点出发，以个单位长度／秒的速度沿循环运动，则第2026秒点所在的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给运动方式求出第2026秒时点P走了一圈多1个单位长度是解题的关键．根据所给点的坐标，求出四边形的周长，再求出点P所走路程即可解决问题． 【详解】解：由，，，可知， ， 且四边形为矩形， 所以矩形的周长为． ∵， ∴， ∴第2026秒点所在的位置在点下方1个单位长度处，即； 故选：A． 9．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿长方形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿长方形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了规律型：点的坐标、行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题． 利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，以及P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴矩形的周长为， 由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是， 第四次相遇点是， 第五次相遇点是， 第六次相遇点是……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2024次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即 故选：A． 10．长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 11．如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，关键是根据全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等解答． 作轴于N，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案． 【详解】解：作轴于N，如图所示： 由等腰三角形的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵点A的坐标为， ∴， ∴， 故选：C． 12．如图，动点 Q按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，．．．，按这样的运动规律，则第2026次运动到点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题关键是发现Q点的横坐标、纵坐标的规律．观察可知点Q的横坐标即为运动的次数，纵坐标每4次一轮，分别为2，0，3，0，据此规律求解即可． 【详解】解：根据题意，可知动点Q按图中箭头所示方向运动， 第1次从原点运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， ......， 可以得出规律，点Q的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为2，0，3，0， ∵， ∴第2026次运动后，Q点的横坐标是运动次数即2026，纵坐标与第2次运动到达的点的纵坐标相同，即0， ∴第2026次运动到点． 故选：A． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，点到达终点时点也随之停止运动．直线经过原点，且，过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F．若点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当与全等（与不重合）时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质建立方程．根据全等三角形的性质推出，再利用线段的和差表示出，的长，进而建立一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F， ∴， ∴、分别是、的斜边， 当与全等时，， ∵与不重合， ∴点P在上，点Q在上， 由题意得，，， ∴，， ∴， 解得或(舍，此时重合)， 故选：A． 14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律探索、仔细观察图象，找到点的坐标的变化规律是解答的关键．先求出前9个点的坐标，可得每8个点为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为1，1，0，0，1，1，0，0，由此规律即可求得点的坐标． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，，，……， 依此类推，可知，每8个点为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为1，1，0，0，1，1，0，0， ∵， 点的纵坐标为1，横坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 15．如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可知每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意可得：每完成一次跳跃，到达点的纵坐标增加2，到达最左边的点的横坐标减1，左右两个点的横坐标相差2， ∴动点A完成第2025次跳跃时，所到达点的纵坐标为，最左边的点的横坐标为：， ∴最左边的点的坐标为， 故选B． 16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接向运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标规律．根据题意可得第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，由此发现，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是三个数一循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， ……， 由此发现，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环， ∵， ∴经过第2025次运动后，动点的坐标是． 故选：B 17．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 18．如图，在平面直角坐标系中，一动点从处出发，沿着箭头所示方向运动，每当碰到射线或射线时都会反弹，第一次碰到射线时的坐标为，第二次为，第三次为…，当第29次碰到射线时的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，找出规律是解题的关键． 根据碰到射线时的坐标得到奇数次纵坐标为，奇数次横坐标为次数的3倍减2，据此即可求解． 【详解】解：第一次碰到射线时的坐标为， 第二次为， 第三次为 第四次为 第五次为 以此类推，奇数次纵坐标为， 奇数次横坐标为次数的3倍减2， ∴第29次碰到射线时的横坐标为，纵坐标为， 故选：C． 19．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2025次碰到矩形的边时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2025除以6得到337余数为3，说明点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第三次，即可解答． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， ∵第6次反弹时回到出发点， ∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环， ∵， ∴点P第2025次碰到矩形的边时是第338个循环组的第三次， ∴点第2025次碰到矩形的边时，点的坐标为． 故选：D． 20．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第83次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，观察图形可发现：前n次改变方向需要运动n个单位长度，则是第12次改变方向后再运动5次到达的点，观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同，则是第三个运动周期的终点，然后根据每个周期终点的坐标间的规律求解即可． 【详解】解：观察图形可发现：第一次改变方向需要运动1个单位长度； 第二次改变方向需要运动2个单位长度； 第三次改变方向需要运动3个单位长度； 第四次改变方向需要运动4个单位长度； 第五次改变方向需要运动5个单位长度； …… ∴第n次改变方向需要运动n个单位长度； ∴前n次改变方向需要运动n个单位长度， 当时，，当时，， ∴是第12次改变方向后再运动5次到达的点， 观察图形发现：每改变四次方向，运动方向与第一次相同， ∴是第三个运动周期的终点， 如图， ∵起点，第一个周期的终点，第二个周期的终点， ∴周期的终点的横坐标依次加2，纵坐标也是依次加2， ∴第三个周期的终点， ∴的坐标为，即为， 故选：B． 题型三 坐标系中几何图形的面积问题 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； （2）∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合运用，考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形，三角形的面积等知识点，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线与相交于点，与x轴相交于点D，与y轴相交于点，点P是x轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)当的面积等于面积时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）首先求得直线与轴的交点的坐标，进而可求得的长，于是可求得的面积，再先求得直线与轴的交点的坐标，设点的坐标为，则可将的长表示出来，进而可求得的面积，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入直线中，得： ， ， 设直线的表达式为， 把点和点代入，得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：直线与轴相交于点， 令，则， ， ， ， ， ， 直线与轴相交于点， 令，则有， 解得， ， 点是轴上一动点， 可设点的坐标为， ， 的面积等于面积， ， 又， ， 或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，三角形的面积公式等知识点，深刻理解并灵活运用数形结合思想是解题的关键． 23．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当点C运动到或的位置时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积，当时，，可得，，即得，当时，同理可得； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ，， ， ， ， 把代入得： ，解得， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 当时，如图：    此时， ，即， ， 在中令，得， ∴， ∴， 综上所述，当点C运动到或的位置时，的面积被直线分成的两部分； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时， ，，， ， 同理可得， ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，． (1)求直线的函数表达式； (2)求线段的长度； (3)将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形． ①直接写出点坐标； ②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式． 【答案】(1) (2)5 (3)①点坐标为；②或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形全等的判定及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题可知，求出，即可求； （3）①过点作轴交于，可得，则，，即可求； ②求出直线的解析式为，直线的解析式为，则点在直线关于直线对称的直线a∶上，或点在直线a∶关于直线的对称直线∶上． 【详解】（1）解：将点、代入， ， 解得， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：①过点作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②， ∴ ∴，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴设直线的解析式为， 把代入，得 解得∶， 直线的解析式为， 当时，则， 设直线交y轴于F，则， ∴ 当与正方形面积相等时， 则点P在直线关于直线对称的直线a上，或在直线a关于直线对称的直线 上，如图， ∴ 设直线a交y 轴于G ， 则， ∴， ∴直线a的解析式为， 设直线交y 轴于H ， 则， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ∴点在直线或上． 25．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为：． (2)M的坐标为：或． 【分析】本题考查一次函数的几何问题，熟练掌握基本性质和三角形面积公式是解题关键； （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）分两种情况，当分别在点的上方和下方时，分别计算即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为：， ∵点、的坐标分别为、， ∴， 解得， 故直线的函数表达式为：． （2）解：∵直线的函数表达式为：，的图像交坐标轴于、两点，且直线、相交于点． ∴， ∴联立解得， ∴， 如图， 当在点下方时，要使得的面积是的面积的2倍， 则点为的中点， ∴； 当在点上方时， ∵， ， 又∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵在直线上， ∴， ∴， ∴, 故M的坐标为：或． 26．如图，直线与直线相交于点F，，分别交x轴于点E，G，长方形的顶点C，D分别在直线，y轴上，顶点A，B在x轴上，且点B与点E重合，点A与原点O重合，长方形的面积是． (1)求k的值； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若长方形从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t秒． ①当时，求长方形与重叠部分的面积S的最大值； ②当时，直接写出S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②当时，；当时， 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了长方形的面积公式，待定系数法，梯形的面积公式，画出图形是解本题的关键，也是解本题的难点． （1）先确定出，进而得出，最后用待定系数法求出k值； （2）先求出，，判断出，即可判断出，可证是等腰直角三角形； （3）求出，①利用梯形的面积公式即可得出结论； ②分当时，和当时，利用梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∴， ∵长方形的面积是12， ∴， ∴， ∴，代入直线，得 ， ∴； （2）∵， ∴ 如图1， 记直线与y轴的交点为M，直线与y轴的交点为N， 对于直线，当时，， ∴. 对于直线，当时，，当时，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解，得， ∵直线与直线相交于点F， ∴. ①如图2，记长方形的边与直线的交点为P，Q， 由运动知，，， 由（2）知，， ∴，， ∴， ∴当时，； ②当时，如图3， 过点F作轴于H， ∵， ∴， 同①的方法得，， ∴， ∴ ， 当时，如图4， 记长方形的边与直线的交点为， 由运动知，， ∴， ∴． 即：． 题型四 一次函数与几何图形的存在性问题 27．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点，直线的表达式为：． (2)点E的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图象及性质，勾股定理，直角三角形的性质，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）分时，时两种情况，分别求出点E的坐标； （3）设点的坐标为，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得 ∴， 当中时，，解得 ∴， 当时，为直角三角形， 此时，则， 故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，得， ∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由： 当点P在y轴左侧时， ∵，则， 即， 设， 由点A，P，C的坐标得，，， 得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 28．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②存在，点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． （1）分别令，，求出两点坐标即可。； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合）， 设点的横坐标为，过点作轴， ∴点坐标为， ∴的面积： ∴的面积与之间的函数关系式为； （3）解：①． 理由如下：当的面积时， ，解得：， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在， 过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴， ∴点 情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 29．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；，，， 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形面积关系的应用以及平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题；解题的关键是熟练运用待定系数法、理解同高三角形面积比等于底边比的性质，以及分类讨论等腰三角形的不同构成情况；易错点是计算过程中的符号与准确性，以及在讨论等腰三角形时可能遗漏其中一种情况． （1）利用待定系数法，将已知点，的坐标代入一次函数解析式，建立方程组求解即可； （2）由​且两三角形有公共高，可得，即点是线段的中点，据此利用中点坐标公式求解； （3）等腰三角形的存在性问题，需分类讨论，分别以点为顶点或点为顶点的三种情况，进行讨论，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：∵点，， ∴设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：直线解析式中， 令，， 则点， ∵​， 且与有公共顶点和公共边所在的直线（即它们的高相等）， ∴， ∴点为线段的中点， ∵点，点，由中点坐标公式得点的坐标为： ∴ （3）解：设点的坐标为，已知点，点， 由勾股定理得： ， ， ， 分三种情况讨论： 情况一：以为顶点，， 即，解得或. 此时点坐标为，. 情况二：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 或， 或， 当，点与点重合，故舍去. ∴点. 情况三：以为顶点，， ， 两边平方得， 即， 整理得， 解得 ∴点． 综上所述，在轴上存在点，使得是等腰三角形， 其坐标共有4个，分别为：，，，． 30．如图1，直线为，分别与坐标轴交于点．点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线、的解析式． (2)若交于点E，在线段上是否存在一点F，使与的面积相等？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图 2，过点D的直线，当它与直线的夹角为时，请直接写出相应m的值． 【答案】(1)直线解析式为，直线解析式为 (2)存在， (3)或 【分析】（1）由，得直线解析式为，求出，得，设，可得，解得，，可得直线解析式为， （2）存在点F，使，连接并延长交y轴于G，连接，得，得，证明，得，点G，F关于对称，由， ，得 ，由，得，解得，得，由G，F关于点B对称得； （3）设直线与直线夹角等于，即为等腰直角三角形．作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N．证明．得．由，得直线l的解析式为．设点H坐标为，得I点坐标为．得．解得．得．当直线l过H点时， ．当直线l过I点时，． 【详解】（1）解：∵， ∴设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （2）解：存在点F，使． 连接并延长交y轴于G，连接， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G，F关于对称， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 化简，得， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴． （3）解：如下图，设直线与直线夹角等于， 即为等腰直角三角形． ∴． 作轴， 轴，过点D作直线轴，分别交于点M，N． 则， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵直线l过， ∴． 解得． ∴直线l的解析式为． 设点H坐标为， 则． ∴I点坐标为． ∵I点在直线上， ∴． 解得． ∴． 当直线l过H点时， ． 解得． 当直线l过I点时， ． 解得． 故或． 【点睛】查考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定行数法求一次函数解析式，一次函数的图象的性质，轴对称性质，面积法求三角形的高，勾股定理，三角形全等的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒）． ①当的面积为6时，请求出t的值； ②在线段上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值． 【答案】(1)9 (2)①见解析，②的值为或5 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，然后求出直线的解析式，再求出点C的坐标解答即可； （2）①分为点P在点O的左侧，点P在点O的右侧两种情况表示长，然后根据三角形的面积公式求出值即可； ②当点P在点O右侧时，过点D作轴，垂足为G，证明，得到解题即可；当点P在点O左侧时，过点D作轴，垂足为点H，同理可得，进而得到，求出长解答即可． 【详解】（1）解：把代入，， ∴， 把代入，， ∴， 把代入中 ∴，当时，， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴，， 当点P在点O的左侧时，， ∴ 当点P在点O的右侧时，，， ∴． ②∵直线的解析式为， 当点P在点O右侧时，过点D作轴，垂足为G，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 把代入，， ∴， ∴， 即， 当点P在点O左侧时，过点D作轴，垂足为点H，如图， ∵四边形是正方形， 同上可证∴， ∴， 设， ∴， 把代入，， 则，， 则， ， ∴，即． 综上所述，的值为或5． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，正方形的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题． 32．如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①当时，求点的坐标； ②在①的条件下，是否存在第一象限内的点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①  ②存在；、、、 【分析】本题考查一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，解题关键在于掌握待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质． （1）把点的坐标代入直线解析式可求得，则直线的解析式为，令可求得，故此可求得点的坐标； （2）①由题垂直平分可知，将代入直线的解析式可求得点的坐标，设点的坐标为，然后依据可得到的面积与的函数关系式为；由得到关于的方程可求得的值，从而得到点的坐标； ②分别按为直角边且，为直角边且，为斜边且点在右侧，为斜边且点在左侧四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵把代入得， ∴直线的函数表达式为：． 令得：，解得：， ∴点的坐标为； （2）解：①∵直线垂直平分， ∴． ∵将代入得：． ∴点的坐标为． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，解得：． ∴点的坐标为； ②存在． 如图所示，作于点，过点作轴，垂足为， 为等腰直角三角形，为直角边， ，， 轴， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图所示，作于点，过点作，垂足为，连接， 为等腰直角三角形，为直角边， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点的坐标为； 如图所示，过点作，垂足为，再过点作于点， 设点， ∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，直线：， ∴， 解得． ∴点的坐标为； 如图所示，过点作，垂足为，再过点作于点， 设点， ∵为等腰直角三角形，为斜边， ∴，， ∵，延长线于， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，，直线：， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为、、、． 34．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，点的坐标为或或，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； （2）连接， 由（1）可知，， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键 34．如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线 =的函数解析式； (2)设点是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点Q，交直线于点P． ①若的面积为，求点M的坐标． ②连接，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为或；；②点的坐标为或． 【分析】（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论； ②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：对于， 由得：，． 由得：，解得，， 点与点关于轴对称． 设直线的函数解析式为， ，解得， 直线的函数解析式为； （2）①设点，则点，点， 过点作与点， 则，， 则的面积， 即，解得， 故点的坐标为或； ②如图，当点在轴的左侧时， 点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，，， ，解得， ， 当点在轴的右侧时， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 35．如图1，直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)如图2，为线段上一点，且，线段上有一点，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积为15时，过作轴交于，平面内是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或或 ． 【分析】（1）先从直线求出点坐标，利用与的数量关系确定点坐标，再用待定系数法，设解析式为，代入、坐标求解． （2）先求点坐标，用勾股定理算得，确定点；算出面积，根据面积关系得面积，设坐标，结合解析式与三角形面积公式列方程求解． （3）求出，直线解析式为，可得，设，根据平行四边形对角线中点重合列方程组可解得答案． 【详解】（1）解：对于，令，则， ，即． 由，得， 又在轴， ． 设解析式为，代入、： ， 将代入，得， 解得． 直线解析式为． （2）解：对于，令，则， 解得， ． 由勾股定理，， ， ∵，在轴， ． ∵，，， ． 由，得． 设，在上， ∵ ∴， 即， 解得：， ． （3）解：平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 如图： ，， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，令得， ， 设直线解析式为， ∵， ∴， 解得 ∴解析式为， 令得， ， 设， ①当，为对角线时，， 解得， ； ②当，为对角线时，， 解得， ； ③当，为对角线时，， 解得； ； 综上所述，的坐标为或或 ． 【点睛】本题主要考查一次函数解析式求解、三角形面积计算、勾股定理、平行四边形存在性问题，熟练掌握待定系数法、三角形面积公式和平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键． 题型五 一次函数的最值问题 36．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的旋转，全等三角形的判定和性质，用待定系数法求一次函数解析式，转化思想是解题的关键．先分别求当点在轴上时的坐标，然后利用待定系数法求出点的轨迹方程，设此轨迹方程交轴于点，当垂直轨迹方程时，最小，在中，根据求解即可． 【详解】解：求点运动轨迹， Q是直线上的一个动点， 当点在轴上时，由时，， ， 将Q绕点顺时针旋转，得到点，过点作轴于点，则 ， ， 在中，， ， ，， ， ， ， 的坐标为； 当点在轴上时，把代入直线得，， 解得，， 点的坐标为，， ， 轴， 点的坐标为， 设点所在直线方程为 ，将，代入，得 ，解得， 所在直线方程为， 当直线 时，的值最小， 令直线 分别交轴于点， 当时，， 当时，，解得， 点， ， 在中，， ，即， ． 故选：A． 37．在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示： ， 在和中 ∴， ∴， ∵点， ∴ ∴， 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， ， ∴, 在中，，利用勾股定理得 ， 故选：C． 38．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短路径问题，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，可得当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则， ∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为： 39．如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 40．如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意和最短路线问题，作关于直线为对称点 ，连接，则的周长的最小；在根据勾股定理可求结果. 【详解】解：如图， ∵函数的图象与轴，轴分别交于两点 ∴ ∵点为直线上的动点，的周长的最小值 作关于直线为对称点 ，连接与直线交于点D，连接，则的周长的最小； ∴ ∵ ∴ 在中，根据勾股定理得： ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，作出相应的辅助线，利用数形结合的思想解答． 41．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图，    ∵点关于轴的对称点， ∴，， ∵A点关于直线的对称点，， ∴，， ∴， 此时，值最小，最小值， ∵，， ∴． ∴最小值为． 故答案为：． 42．如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与图形的变化，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题； 如图，在x轴的正半轴上取一点H，使得，在上取一点D，使得．证明点C在直线上运动，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在x轴的正半轴上取一点H，使得， 在上取一点D，使得． ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 点C在直线上运动， 作于点P，， 此时点，即，设， ， ， 解得， 点 故答案为：． 43．如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称，最短问题，垂线段最短，直角三角形角的性质，勾股定理，利用轴对称性，找到正确的的位置是解答本题的关键． 作直线与轴关于直线对称，直线与直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作，作，此时最小，即，在中，利用勾股定理得到答案． 【详解】如图，直线与轴关于直线对称， 直线与直线关于轴对称，    点是点关于直线的对称点， 作，垂足为，交轴于点，交直线于点， 作， ，， ， 此时最小， 在中， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 题型六 -次函数与全等三角形的综合压轴 44．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标； (3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）先求出点B坐标，再根据求出点A坐标，然后用待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出，再根据面积关系得到，设点C的横坐标为m，利用三角形面积建立方程求出m值，继而确定点C的坐标即可； （3）根据条件可得，分和两种情况分别画出图形，在根据全等三角形的性质确定点Q坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，即， ∴，即， 将点A坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， 设点C的横坐标为m，则上边上的高为， ∴，解得：， ∵点C在直线上， ∴当时，，即； 当时，，即． ∴点C的坐标为或． （3）解：存在满足条件的点Q， ∵， ∴， ∴以O、P、Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，. ①当时， ∴，即点P的横坐标为或， 如图： ∴点P的纵坐标为或， ∴点Q的坐标为或； ②当时，，即点P、Q的纵坐标为或， 如图所示： ∴点Q的坐标为或． 综上，点Q的坐标为或或或． 45．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 把，代入，得：， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 当时，且点在点的上方，如图： ∴，，即轴， ∴，即， ∴； 当时，且点在点的上方，如图：作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时， ∴； 当时，且点在点的下方，如图： 同理，； 综上，点C的坐标为或或． 46．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式； (3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积； (4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是 (2)点的坐标是，直线的解析式是 (3) (4)或或． 【分析】本题主要考查了一次函数综合题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形解决问题． (1)根据一次函数的解析式求出直线与轴、轴交点的坐标即可； (2)过点作，可证，根据全等三角形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； (3)根据点的纵坐标是且在直线上，求出点的坐标，把看作三角形的底边，则三角形的高是点横坐标的绝对值，根据三角形的面积公式求出结果； (4)因为与有一条公共边，根据全等三角形的性质，分情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，过点作， 由(1)可知点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 则有， 解得：， 直线的解析式是； （3）解：点的纵坐标是且在直线上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 的面积是； （4）解：如下图所示，当点与点关于轴对称时，， 点的坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作， 则有，， 当时， 可得：， 解得：， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，当与关于轴对称时，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或． 47．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或，或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的综合问题，全等三角形的性质，以及坐标与图形等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入解析式即可求出答案． （2）先求出，由折叠的性质可知，，设，则，，，最后由勾股定理求解即可． （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 把代入， 即 解得． （2）解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴， ∴， ∴． 设， 则，， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 当时， ∴， ∴点E的横坐标为：或， 由（1）直线的解析式为， ∴点E的纵坐标为：，或， 故或 当时， ∴， ∴点纵坐标为或， ∴点E的纵坐标为或， 即或， 解得：或， ∴或 综上：存在以为顶点的三角形与全等，则点E的坐标为：或，或． 48．如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题是一次函数的综合题，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． （1）依题意可得，，由对称性可知，，由勾股定理得，在中，，可求得的长，用待定系数法即可求的解析式； （2）设，根据求出即可； （3）分两种情况：当点与点关于直线对称时，，求出直线的解析式，进而求解；当轴，轴时，，此时四边形是矩形，则． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，． 由对称性可知，， 在中，， 在中，， 即，解得． ． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． （2）存在． 设， 由（1）知，，，，则． ， ． ， ，解得或18． 点的坐标为或． （3）情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，． ∴点在直线上． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． ， ，，， ． ． ， ． 当时，，解得． ； 情况2：如图3，当轴，轴时，． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 综上，点的坐标为或． 49．综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线．若，请直接写出m的值及直线的函数解析式． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）的长的最小值为；（3），直线的函数解析式为． 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）求出，得，又，故是等腰直角三角形； （2）当时，的长最小，证明，得，再用勾股定理得 ，故的长的最小值为； （3）过作交于，过作轴，过作于，过作于，设，把代入得：，解得，知直线解析式为，可得，证明，可得，故 ，可求得，再用待定系数法即得直线的函数解析式为． 【详解】（1）证明：在中，令得，令得， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：当时，的长最小，如图： ， ， ， ， ， ， ． ∴的长的最小值为； （3）解：过作交于，过作轴，过作于，过作于，如图： 设， 把代入得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的函数解析式为． 50．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 51．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、点，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点作交直线于点，求证：； (3)若点是直线上一点，点是轴上一点（点不与点重合），当与全等时，在线段上求出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）先求得直线与两坐标轴的交点，再根据旋转的性质得出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，设的解析式，利用待定系数法可求得其解析式； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得，再接合，可得； （3）当与全等时，分，，，三种情况，分别求出P点的坐标． 【详解】（1）解：由直线， 当时，； 当时，，解得：， ∴， 绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ， ∴， 设的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为：； （2）∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ，， 又， ， ， ， ， ， 又， ； （3）如图， ， ， ， ，， ，， ， ∴， 作轴， 则， ∴， ∴点坐标； ②， ， ，， ∴点坐标； ③， ， ，， ∴，， ∴， ∴点P坐标； 综上所述，和全等时，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形与坐标，勾股定理，一次函数的综合应用，解题关键是利用待定系数法求出一次函数解析式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 坐标与一次函数压轴 题型1 坐标中的旋转与对称综合 题型4 一次函数与几何图形的存在性问题 题型2 动点轨迹与坐标变化 题型5 一次函数的最值问题 题型3 坐标系中几何图形的面积问题 题型6 -次函数与全等三角形的综合压轴 题型一 坐标中的旋转与对称综合 1．如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为 ．    2．如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中一个轴对称图形（只有一条对称轴），其中点和点是这个图形上对称点，若此图形上另有一点B，则点B的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，是中点，则点关于点的对称点的坐标是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴，给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．    (1)已知，，则它们关于轴和直线的二次反射点的坐标分别是___________ (2)若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长． 7．在一次折叠比赛中，某同学将直角三角形对折，如图所示，他联想到最近学习的平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上， (1)点C的坐标是___________； (2)求长度； (3)若点P在y轴上，且，试求点P的坐标． 题型二 动点轨迹与坐标变化 8．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点的坐标分别为，，，，一动点从点出发，以个单位长度／秒的速度沿循环运动，则第2026秒点所在的位置是（   ） A． B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度按逆时针方向沿长方形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度按顺时针方向沿长方形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，动点 Q按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，．．．，按这样的运动规律，则第2026次运动到点（    ） A． B． C． D． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，动点P，Q分别按照和的路线同时开始运动，点到达终点时点也随之停止运动．直线经过原点，且，过P，Q分别作的垂线段，垂足分别为E，F．若点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当与全等（与不重合）时，的值为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在平面直角坐标系中，动点从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别沿，向左、右分别运动到点点，此时称动点完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点，此时称动点完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是（   ） A．B． C． D． 16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接向运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 18．如图，在平面直角坐标系中，一动点从处出发，沿着箭头所示方向运动，每当碰到射线或射线时都会反弹，第一次碰到射线时的坐标为，第二次为，第三次为…，当第29次碰到射线时的坐标为（　　） A． B． C． D． 19．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2025次碰到矩形的边时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，第一次运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，按照此运动规律，第83次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三 坐标系中几何图形的面积问题 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线与相交于点，与x轴相交于点D，与y轴相交于点，点P是x轴上一动点． (1)求直线的表达式； (2)当的面积等于面积时，请求出点P的坐标． 23．如图：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当点运动到什么位置时，的面积被直线分成的两部分； (3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在线段上，． (1)求直线的函数表达式； (2)求线段的长度； (3)将线段绕点逆时针旋转后得到，以、为边作正方形． ①直接写出点坐标； ②若为平面上一动点，与正方形面积相等时，直接写出点所在直线的解析式． 25．如图，在平面直角坐标系中，函数的图像交坐标轴于、两点，点、的坐标分别为、，直线、相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，若直线上存在点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标． 26．如图，直线与直线相交于点F，，分别交x轴于点E，G，长方形的顶点C，D分别在直线，y轴上，顶点A，B在x轴上，且点B与点E重合，点A与原点O重合，长方形的面积是． (1)求k的值； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若长方形从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t秒． ①当时，求长方形与重叠部分的面积S的最大值； ②当时，直接写出S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． 题型四 一次函数与几何图形的存在性问题 27．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 28．综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在线段上，当，求点的坐标； (3)在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图1，直线为，分别与坐标轴交于点．点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线、的解析式． (2)若交于点E，在线段上是否存在一点F，使与的面积相等？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图 2，过点D的直线，当它与直线的夹角为时，请直接写出相应m的值． 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数经过点B． (1)求线段的长； (2)动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒）． ①当的面积为6时，请求出t的值； ②在线段上存在点D，点E是坐标平面内一点，以点B，E，P，D为顶点的四边形是正方形时，请求出t的值． 32．如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点B． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①当时，求点的坐标； ②在①的条件下，是否存在第一象限内的点，使为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图1，函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线 =的函数解析式； (2)设点是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点Q，交直线于点P． ①若的面积为，求点M的坐标． ②连接，如图2，在点M的运动过程中是否存在点P，使，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 35．如图1，直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)如图2，为线段上一点，且，线段上有一点，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积为15时，过作轴交于，平面内是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由． 题型五 一次函数的最值问题 36．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 39．如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 40．如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为 ． 41．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为 ． 42．如图，点，A为x轴上一动点，将线段绕点A顺时针旋转得到连接当取最小值时，点A的坐标是 ． 43．如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，、为函数的图象上的两个动点，则的最小值为 ．    题型六 -次函数与全等三角形的综合压轴 44．如图1：直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)如图2，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标； (3)如图3，当于点，点为直线上不与点、重合的一个动点．在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与全等，若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点． (1)直线的函数表达式为_____． (2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标． 46．如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式； (3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积； (4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标． 47．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，且． (1)求的值； (2)若点为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点落在轴的点处，求点的坐标； (3)如图2，作，点为直线上一动点，点为轴上一动点，是否存在以为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． (1)若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 49．综合与探究 【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于B，A两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，M，N是直线上的两动点，连接，．若，，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点B的直线与y轴交于点C，H为线段上的一点，作射线．若，请直接写出m的值及直线的函数解析式． 50．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 51．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、点，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，连接，过点作交直线于点，求证：； (3)若点是直线上一点，点是轴上一点（点不与点重合），当与全等时，在线段上求出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $