专题17：函数的单调性讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题17 函数的单调性 知识点一、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 知识点二、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 知识点三、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 知识点四、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点一 定义法判断单调性 【例1】证明函数g（x）＝在（1，＋∞）上单调递增． 【答案】证明见解析 【解析】任取、，且， 则， 由于，∴，， ∴，即，故在上是增函数． 【跟踪训练】 1.已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明． 【答案】在区间上单调递增，证明见解析； 【解析】在区间上单调递增， 证明：设任意的、且，则 ， 因为、且，所以、、，，所以，即，所以在区间上单调递增； 2.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明. 【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析 【解析】(1)要使函数有意义，当且仅当.由得， 所以，函数的定义域为. (2)函数在上单调递减. 证明：任取，，设，则 . ∵，∴，， 又，所以，故，即， 因此，函数在上单调递减. 3.已知函数 （1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2），. 【解析】（1）在区间上单调递增 证明：任取，且 因为，，，所以，即 所以在区间上单调递增 （2）由（1）可得，在区间上单调递增 所以， 知识点二 求函数的单调区间 【例2】定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增， 所以的单调递减区间为.故选：B 【跟踪训练】 1.求函数y的单调递增区间． 【答案】[﹣1，2] 【解析】设t＝﹣x2+4x+5，由t＝﹣x2+4x+5≥0，得x2﹣4x﹣5≤0，即﹣1≤x≤5， 则函数t＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝2， ∴当﹣1≤x≤2时，t＝﹣x2+4x+5单调递增，此时y也单调递增， ∴由复合函数单调性的性质可知函数y此时单调递增， 当2≤x≤5，t＝﹣x2+4x+5单调递减，此时y单调递增， ∴由复合函数单调性的性质可知函数y此时单调递减， 即函数y的单调递增区间是[﹣1，2]． 2.求函数的单调区间. 【答案】单调递增区间为和,无减区间 【解析】函数的定义域为. ∵函数与函数在和上均为增函数 ∴函数在和上是增函数 ∴函数的单调递增区间为和,无减区间. 3.函数的单调递减区间为（ ） A．（–∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞） 【答案】B 【解析】∵， ∴函数的单调递减区间是（–∞，2]，增区间为[2，+∞）， ∴的单调递减区间是[2，+∞），故选：B． 4.函数的单调增区间是________. 【答案】， 【解析】； 的图像是由的图像沿轴向右平移个单位， 然后沿轴向下平移一个单位得到； 而的单调增区间为，； 的单调增区间是，． 故答案为：， 5.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（ ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 【答案】C 【解析】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A,B正确； 选项D：为增函数，则为减函数， 为减函数，为减函数，选项D正确； 选选C：若为增函数，为减函数，则的增减性不确定. 例如为上的增函数，当时， 在上为增函数； 当时，在上为减函数， 故不能确定的单调性.故选:C 知识点三 已知单调性求参数范围 【例3】已知函数的图象如图所示，若在上单调递增，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】由图可知，的单调递增区间为.由题意得即. 【例4】函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4] 【答案】D 【解析】因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则，解得．故选：D． 【跟踪训练】 1.函数在上是减函数．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，函数在上是减函数， 则有，解可得， 2.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的对称轴为，开口向上， 依题意可得，解得，即；故选：D 3.已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递减，在上单调递增， 故要想在为单调函数，需满足，故选：D 4.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是定义在R上的增函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为.故选：B. 5.已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 所以，即， 因为时等价于， 即. 令，则在上单调递减， 知识点四 利用单调性解不等式 【例5】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2） 【答案】A 【解析】因为在定义域上是减函数， 所以由，故选：A 【例6】已知函数对、，总有，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不妨设，由可得， 所以，函数是上的增函数， 由不等式在上恒成立 可得到在上恒成立， 所以在上恒成立， 故有，即， 解得或.故选：D. 【跟踪训练】 1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上单调递增，， ，解得：， 实数的取值范围为.故选：C. 2.函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为上单调递减， 则可变形为， 则，解得， 所以的取值范围为，,故选：C 3.已知偶函数的定义域为R，当时，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得在上单调递减， 又，所以， 所以，解得或．故选：D 4.定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，不妨设， 故，即， 令，则， 故在上单调递减，， 不等式两边同除以得：， 因为，所以，即， 根据在上单调递减，故， 综上：故选：B 知识五 利用单调性比较大小 【例7】定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】定义域在上的函数满足： 对任意的，，有， 可得函数是定义域在上的增函数， 所以．故选：． 【跟踪训练】 1.已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增且关于直线对称， 所以， 所以，即．故选：A． 2.设函数是上的减函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即， 函数单调递减，故. 取，则，A错误； 取得到，B错误；故选：C. 3.已知函数，若，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题目中式子结构，构造函数， 函数在上单调递增， 所以.故选：B. 题型六 单调性综合应用 【例8】已知函数，求： （1）函数的定义域，奇偶性并作出大致图象； （2）写出函数的单调区间． 【解答】解：（1）由|2x|﹣1≠0，可得x≠±， ∴函数的定义域为{x|x≠±}； f（﹣x）==， ∴函数是偶函数； 图象如图所示； （2）函数的单调递增区间为 （﹣∞，﹣），（﹣，0）；单调递减区间为（0，），（，+∞）． 　 【例9】已知函数f（x）=x|x﹣2|． （Ⅰ）写出f（x）的单调区间； （Ⅱ）解不等式f（x）＜3； （Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值． 【解答】解：（1）函数f（x）=x|x﹣2|= ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]． （2）不等式f（x）＜3，即 x|x﹣2|＜3，∴，或， ∴2≤x＜3 或 x＜2，∴不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3 }． （3）当0＜a≤1 时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的最大值是 f（a）=a（2﹣a）． 当1＜a≤2 时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数， 此时，f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1． 综上，当0＜a≤1 时，此时f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2﹣a）． 当1＜a≤2 时，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1． 【例10】对于区间[a，b]和函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“不变”区间． （1）求函数y=x2（x≥0）的所有“不变”区间． （2）函数y=x2+m（x≥0）是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）易知函数y=x2（x≥0）单调递增， 故有，解得a=0或1，b=0或1，又a＜b，∴． 所以函数y=x2（x≥0）的“不变”区间为[0，1]． （2）易知函数y=x2+m（x≥0）单调递增，若函数y=x2+m（x≥0）存在“不变”区间， 则有b＞a≥0，且， 消去m得a2﹣b2=a﹣b，整理得（a﹣b）（a+b﹣1）=0． 因为a＜b，所以a+b﹣1=0，即b=1﹣a． 又由b＞a≥0，得1﹣a＞a≥0，∴． 所以，∴． 综上，当时，函数y=x2+m（x≥0）存在“不变”区间． 　 一、填空题 1．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间　。 【解答】解：函数的增区间体现在：在该区间函数图象上是从左往右看，图象成上升趋势， 反之是单调递减区间； 故增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，3），减区间为（﹣3，﹣1），（3，+∞） 故答案为（﹣∞，﹣3），（﹣1，3）；（﹣3，﹣1），（3，+∞）． 2．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）=0，且对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，若对于实数x1，x2有如下条件： ①x1＞x2，②|x1|＞|x2|，③|x1|＞x2，④x1＞|x2|， 则其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是　　． 【解答】解：∵f（x）﹣f（﹣x）=0， ∴f（﹣x）=f（x），则函数f（x）是偶函数， ∵对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0， ∴当x∈（﹣∞，0]时，函数为减函数，则当x∈[0，+∞）时，函数f（x）为增函数， 则①x1＞x2，不一定成立， ②|x1|＞|x2|成立， ③|x1|＞x2，不一定成立， ④x1＞|x2|成立， 故答案为：②④ 3．函数f（x）=的单调递减区间为　　． 【解答】解：函数f（x）的定义域为，且， 所以，函数f（x）的单调递减区间为（﹣和， 故答案为：和． 4.函数的单调递增区间是____________； 【答案】 【解析】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 5.已知在为单调函数，则a的取值范围为______ 【解析】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足， 6.若函数，则、、之间的大小关系为______． 【答案】 【解析】因为，因为开口向上，所以最小，又，所以，所以.答案为： 　 7．函数y=f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调减函数，且其图象过点（﹣3，2）和（1，﹣2），则不等式|f（x）|＜2的解集为　　． 【解答】解：由不等式|f（x）|＜2， 得到：﹣2＜f（x）＜2， 又因为f（x）的图象经过点（﹣3，2）和（1，﹣2）， 所以f（﹣3）=2，f（1）=﹣2， 所以f（1）＜f（x）＜f（﹣3）， 又f（x）在区间（﹣∞，+∞）上为减函数， ∴x∈（﹣3，1）， 故答案为：（﹣3，1） 9.函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）<f（2a），则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】依题意.所以的取值范围是.故答案为： 10.已知函数，若则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】由题意可知，函数在上单调递增， 则， 即且，即且， 解得且或，即 故答案为：. 11.已知函数，则不等式的x的解集是________． 【答案】 【解析】画出函数的图象如图所示： 所以函数在上为增函数， 由得，即，解得. 故答案为：. 12．若函数f（x）=为R上的增函数，则实数a的取值范围是　[3，6）　． 【解答】解：由分段函数f（x）=为R上的增函数， 可得，即， 可得3≤a＜6， 则a的取值范围是[3，6）． 故答案为：[3，6）． 二、选择题 13．定义在Ｒ上的函数f(x)，对任意，有，则（　　） A．f(3)<f(2)<f(1) B．f(1)<f(2)<f(3) C．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(2) 【答案】A 【解析】对任意，有，所以函数在上单调递减， 又，则.故选：A. 14．f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]的解集是（　　） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（2，+∞） D．（2，） 【解答】解：由f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数得，⇒2＜x＜， 故选：D． 　 15．函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（　　） A．[3，+∞） B．（﹣∞，2），（4，+∞） C．（2，3），（4，+∞） D．（﹣∞，2]，[3，4] 【解答】解：函数f（x）=|x2﹣6x+8|， 当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2， 可得f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1， 即有f（x）在（4，+∞）递增； 当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4， 可得f（x）=﹣x2+6x﹣8=﹣（x﹣3）2+1， 即有f（x）在（2，3）递增； 则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）． 故选：C． 16．设函数f（x）=则函数f（x）的单调递增区间为（　　） A．（﹣∞，0），（1，2） B．（0，1），（1，2） C．（﹣∞，0]，[0，1] D．（﹣∞，0）∪（1，2） 【解答】解：函数f（x）=， 当0≤x≤2时，f（x）=|x﹣1|的增区间为（1，2）； 当x＜0或x＞2时，f（x）=﹣x2+2x+1的对称轴为x=1， 增区间为（﹣∞，0）， 即有函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，2）． 故选：A． 　三、解答题 17．已知f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，并且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，求实数m的取值范围． 【解答】解：∵f（x）在（﹣2，2）上是减函数 ∴由f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，得f（m﹣1）＞f（1﹣2m） ∴即 解得， ∴m的取值范围是（﹣） 18．用单调性定义证明函数f（x）=在（1，+∞）上单调递减． 【解答】解：∀1＜x1＜x2≤+∞， 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=． ∵1＜x1＜x2＜+∞， ∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x1x2＞0，x2﹣x1＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0． ∴f（x1）＞f（x2）． ∴f（x）=在（1，+∞）上是单调减函数． 19.已知函数对任意，总有，且对，都有. (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)函数是上的减函数，证明见解析 (2) 【解析】(1)解：函数是上的减函数，证明如下： 由题意，令，有，解得， 任取，不妨设， 则， 因为，则，所以，即， 所以函数是上的减函数； (2)解：因为函数对任意，总有， 所以不等式，即，也即， 又由（1）可知函数为上的减函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 20函数对任意的，都有，并且当时，． (1)求证：在上是增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 ； (2)． 【解析】(1)证明：设，且，则 因为当时，所以 ∴． ∴．故在上是增函数． (2)解：∵，∴．∴原不等式可化为． ∵在上是增函数，∴，解得．故不等式的解集为． 21.已知函数f（x）=． （Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值； （Ⅱ）画出函数f（x）的图象； （Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）f（﹣1）=﹣（﹣1）﹣1=0，f（0）=1，f（1）=﹣1+2×1=1， 即f{f（f（﹣1））}=1． （Ⅱ）函数的图象如图： （3）由图象知递减区间：（﹣∞，0），（1，+∞），递增区间：（0，1）． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题17 函数的单调性 题型一、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 题型二、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 题型三、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 题型四、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 题型一 定义法判断单调性 【例1】证明函数g（x）＝在（1，＋∞）上单调递增． 【跟踪训练】 1.已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明． 2.已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明. 3.已知函数 （1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论； （2）求在区间上的最值． 题型二 求函数的单调区间 【例2】定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.求函数y的单调递增区间． 2.求函数的单调区间. 3.求函数的单调递减区间。 4.求函数的单调增区间。 5.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（ ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 题型三 已知单调性求参数范围 【例3】已知函数的图象如图所示，若在上单调递增，则的取值范围为_____. 【例4】函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4] 【跟踪训练】 1.函数在上是减函数．则（ ） A． B． C． D． 2.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 5.已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四 利用单调性解不等式 【例5】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ） A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2） 【例6】已知函数对、，总有，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.已知偶函数的定义域为R，当时，，则的解集为（） A． B． C． D． 4.定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 题型五 利用单调性比较大小 【例7】定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2.设函数是上的减函数，若，则（ ） A． B． C． D． 3.已知函数，若，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型六 单调性综合应用 【例8】已知函数，求： （1）函数的定义域，奇偶性并作出大致图象； （2）写出函数的单调区间． 【例9】已知函数f（x）=x|x﹣2|． （Ⅰ）写出f（x）的单调区间； （Ⅱ）解不等式f（x）＜3； （Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值． 【例10】对于区间[a，b]和函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“不变”区间． （1）求函数y=x2（x≥0）的所有“不变”区间． （2）函数y=x2+m（x≥0）是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由． 一、填空题 1．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间　。 2．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）=0，且对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，若对于实数x1，x2有如下条件： ①x1＞x2，②|x1|＞|x2|，③|x1|＞x2，④x1＞|x2|， 则其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是　　． 3．函数f（x）=的单调递减区间为　． 4.函数的单调递增区间是____________； 5.已知在为单调函数，则a的取值范围为_______ 6.若函数，则、、之间的大小关系为______． 8．函数y=f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调减函数，且其图象过点（﹣3，2）和（1，﹣2），则不等式|f（x）|＜2的解集为　　． 9.函数y＝f（x）是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f（a＋1）<f（2a），则实数a的取值范围是________． 10.已知函数，若则实数的取值范围是____． 11.已知函数，则不等式的x的解集是________． 12．若函数f（x）=为R上的增函数，则实数a的取值范围是　　． 二、选择题 13．定义在Ｒ上的函数f(x)，对任意，有，则（　　） A．f(3)<f(2)<f(1) B．f(1)<f(2)<f(3) C．f(2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(2) 14．f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]的解集是（　　） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（2，+∞） D．（2，） 15．函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（　　） A．[3，+∞） B．（﹣∞，2），（4，+∞） C．（2，3），（4，+∞） D．（﹣∞，2]，[3，4] 16．设函数f（x）=则函数f（x）的单调递增区间为（　　） A．（﹣∞，0），（1，2） B．（0，1），（1，2） C．（﹣∞，0]，[0，1] D．（﹣∞，0）∪（1，2） 三、解答题 17．已知f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，并且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，求实数m的取值范围． 18．用单调性定义证明函数f（x）=在（1，+∞）上单调递减． 19.已知函数对任意，总有，且对，都有. (1)判断并用定义证明函数的单调性； (2)解关于的不等式. 20函数对任意的，都有，并且当时，． (1)求证：在上是增函数； (2)若，解不等式． 21.已知函数f（x）=． （Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值； （Ⅱ）画出函数f（x）的图象； （Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $