专题16：函数的奇偶性讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦函数的奇偶性核心知识点，系统梳理奇偶函数定义、性质（对称性、整体性等）、图像特征及判断方法，作为函数性质学习的关键支架，衔接函数单调性与后续综合应用。 资料通过题型分层设计（判断、图像、求参等），结合方法点拨与跟踪训练，以图像分析培养数学眼光，逻辑推理发展数学思维，助力教师课堂教学，学生课后可针对性巩固，弥补知识盲点。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题16 函数的奇偶性 知识点一、函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数． 3.若既是奇函数又是偶函数，则，但既奇又偶函数的函数的个数有无穷多（区间不同） 【证明：，又，故】 知识点二、函数的奇偶性的几条重要性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；反之不一定成立，如。 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； 3、可逆性：是偶函数；奇函数； 4、等价性：；； 5、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0。并且关于原点对称。 【证明：】 7、对于多项式函数，若是奇函数偶次项的系数全为零；若是偶函数奇次项的系数全为零． 8、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。 　　 知识点三、关于奇偶函数的图像特征 1.一般地：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 　　点（x,y）→（-x,-y） 　 f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 　　点（x,y）→（-x,y） 　　 知识点四、判断函数奇偶性的三种方法： 1.定义法：确定定义域，若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，计算f(-x)，确定数量关系是否成立？ 若成立，则为偶函数；若成立，则为奇函数； 若成立，则为既是奇函数也是偶函数；若都不成立，则为非奇非偶函数。 2.图像法：　 f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 　　点（x,y）→（-x,-y） 　　 f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 　　点（x,y）→（-x,y） 　　 3.性质法：和差 知识点五、一些重要类型的奇偶函数 常见的奇函数： f(x)=x f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= 常见的偶函数: f(x)=x f(x)= f(x)=f(x)=|x| 题型一 函数奇偶性的判断 【方法点拨】 1.定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断. 2.图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断. 3.性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断. 【例1】判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3)；(4). 【例2】已知函数，则的奇偶性为（    ）. A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【跟踪训练】 1.判断下列函数的奇偶性： (1)；(2)；(3)；(4)． 2.判断下列函数的奇偶性: （1）; （2）; 3.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 4.判断函数的奇偶性： 题型二 奇偶函数与图像 【方法点拨】 ①排除法：利用特殊点的值来排除； ②利用函数的奇偶性、单调性来判断. 【例3】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 2.下列图象中，不可能是的图象的是（    ） A．B．C． D． 3.函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（ ） A．B．C． D． 题型三 利用奇偶性求解析式 【方法点拨】 1.求函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解. 【例4】设为奇函数，且当时，，则当时，（） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 2.已知是偶函数，当时，，则当时，_________． 3.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______． 4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________． 题型四、利用奇偶性求值 【方法点拨】 1.求函数值：利用函数的奇偶性，进行转化求解. 【例5】函数为上的奇函数，时，，则=（       ） A． B． C．2 D．6 【跟踪训练】 1.已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)=（       ） A． B． C． D． 2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____. 3.已知函数，，则的值是_______. 4.已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则______ 5.若函数是偶函数，且，则______． 考点五 利用奇偶性求参数 【方法点拨】 求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值. 【例6】若函数是定义在上的偶函数，则 A． B．0 C．1 D．3 【例7】已知函数是定义在上的偶函数，则的最大值为___________. 【跟踪训练】 1.已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为（ ） A．-2 B．-6 C．2 D．6 2.若函数为偶函数，则_______________. 3.若函数在上是奇函数，则的解析式为______． 题型六 利用奇偶性解不等式 【例8】若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（     ） A．（﹣∞，1） B．[0，1） C． D．（1，＋∞） 【例9】已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知函数，则不等式的解集为______. 2.若函数为上的奇函数，且图象连续不断，在上为增函数，，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 题型七 利用奇偶性比较大小 【例10】定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（       ）． A． B． C． D． 2.若偶函数在上是减函数，则（       ） A． B． C． D． 题型八 函数奇偶性的综合 【例11】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求关于m的不等式式的解集. 【例12】已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)设，求证：是偶函数，是奇函数. 【例13】若奇函数在定义域上是减函数，若时，， (1)求的解析式； (2)求满足的实数m的取值范围 一、填空题 1.下列函数是奇函数的是______________________ (1)f(x)＝ ；(2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝＋. (5)； (6)； 2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则____. 3.已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______. 4．已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是______________. 5.若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________. 6.如果函数是奇函数，则 ． 7．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________． 8．（2024·上海高一期末）函数为奇函数，则m=__________. 9．（2024·上海市建平中学高一期末）若函数是偶函数，则实数的值是（ ）． A．-1 B．0 C．1 D．不唯一 10．奇函数的图像关于直线对称，，则_________. 11．函数是定义在R上偶函数，且当，，则________． 12．（2024·上海高一期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为=__________． 二、选择题 13．（2025·上海高一期末）已知函数，则（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 14．（2025·上海高一单元测试）对于定义域是的任意奇函数，都有（ ） A． B． C． D． 15．（2024·上海市大同中学高一期末）设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（ ） A． B．C． D． 16．（2024·上海华师大二附中高一期末）函数的图象大致为（ ） A．B．C． D． 三、解答题 17．（2025·上海高一专题练习）为奇函数，则的值 18．（2024·上海市大同中学高一期末）设（、为实常数）. （1）当时，证明：不是奇函数； （2）当，时，判断并证明函数的奇偶性. 19．（2025·上海高一专题练习）已知幂函数(∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数； （2）讨论的奇偶性. 20．（2025·上海市新场中学高一月考）已知函数，且当时，. （1）若函数是偶函数，求的值； （2）若函数是奇函数，求的表达式. 21．（2024·上海市南洋模范中学高一期末）已知函数（为常数）是奇函数. （1）求的值与函数的定义域. （2）若当时，恒成立.求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题16 函数的奇偶性 知识点一、函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数． 3.若既是奇函数又是偶函数，则，但既奇又偶函数的函数的个数有无穷多（区间不同） 【证明：，又，故】 知识点二、函数的奇偶性的几条重要性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；反之不一定成立，如。 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； 3、可逆性：是偶函数；奇函数； 4、等价性：；； 5、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0。并且关于原点对称。 【证明：】 7、对于多项式函数，若是奇函数偶次项的系数全为零；若是偶函数奇次项的系数全为零． 8、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。 　　 知识点三、关于奇偶函数的图像特征 1.一般地：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 　　点（x,y）→（-x,-y） 　 f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 　　点（x,y）→（-x,y） 　　 知识点四、判断函数奇偶性的三种方法： 1.定义法：确定定义域，若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，计算f(-x)，确定数量关系是否成立？ 若成立，则为偶函数；若成立，则为奇函数； 若成立，则为既是奇函数也是偶函数；若都不成立，则为非奇非偶函数。 2.图像法：　 f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 　　点（x,y）→（-x,-y） 　　 f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称 　　点（x,y）→（-x,y） 　　 3.性质法：（用奇、偶函数的性质来判断其和差积商的奇偶性：定义域交集不为空集）： 奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 奇函数 非 偶函数 差 奇函数 非 偶函数 积 偶函数 奇函数 偶函数 商 偶函数 奇函数 偶函数 知识点五、一些重要类型的奇偶函数 常见的奇函数： f(x)=x f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= f(x)= 常见的偶函数: f(x)=x f(x)= f(x)=f(x)=|x| 题型一 函数奇偶性的判断 【方法点拨】 1.定义法：先求函数的定义域，再进行函数奇偶性的判断. 2.图象法：根据解析式画出函数图象，根据函数的对称性进行函数奇偶性的判断. 3.性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断. 【例1】判断下列函数的奇偶性 (1)； (2)； (3)；(4). 【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)既是奇函数又是偶函数(4)非奇非偶函数 【解析】(1) ，定义域为，有，则函数为奇函数， (2)，定义域为，有，则函数为偶函数， (3)因为，所以，则有，解得，则函数定义域为，且，所以和同时成立，故既是奇函数又是偶函数， (4)，其定义域为，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数． 【例2】已知函数，则的奇偶性为（    ）. A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】求出函数的解析式，得出与的关系，即可判断出函数的奇偶性. 【详解】若，则，则； 若，则，则. 又，满足. 所以，又函数的定义域为，关于原点对称， 因此，函数为偶函数.故选B. 【跟踪训练】 1.判断下列函数的奇偶性： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数 【解析】(1)的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. (2)的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. (3)的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. (4)，故，故为非奇非偶函数. 2.判断下列函数的奇偶性: （1）; （2）; 【答案】（1）非奇非偶函数 （2）奇函数 【解析】（1）函数的定义域为，不关于原点对称， 所以该函数是非奇非偶函数; （2）函数的定义域为，关于原点对称. ∵ ∴该函数是奇函数。 3.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】设，则， 因为是奇函数，是偶函数， 故， 即是奇函数，选C． 4.判断函数的奇偶性： 题型二 奇偶函数与图像 【方法点拨】 ①排除法：利用特殊点的值来排除； ②利用函数的奇偶性、单调性来判断. 【例3】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断. 【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D； 又时，，排除选项C，故选项A正确. 故选：A. 【跟踪训练】 1.函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，然后利用函数值的正负或取特殊值计算出函数值再排除一个，是正确选项． 【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、C；再取特殊值和，可得函数的大致图象为D， 故选：D. 2.下列图象中，不可能是的图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除. 【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应A中图象，故A错误； 当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应D中图象，故D错误； 当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应C中图象，故C错误. 故选：B. 3.函数与的图像如下图，则函数的图像可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】带入特殊点，用排除法找出符合题意得图像. 【详解】定义域为，所以函数在是断开的，故排除C，D； 当x为很小的正数时，，排除A． 故选：B． 题型三 利用奇偶性求解析式 【方法点拨】 1.求函数解析式：利用函数的奇偶性，进行转化求解. 【例4】设为奇函数，且当时，，则当时，（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，所以，又为奇函数，所以， 所以当时，.故选：B. 【跟踪训练】 1.若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，由奇函数的定义可得.故选：D. 2.已知是偶函数，当时，，则当时，_________． 【答案】 【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时， 故答案为： 3.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】时，，是奇函数，此时故答案为： 4.已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】设 -3<x<0，则3>-x>0，则有，又因为，所以，又，所以故答案为： 题型四、利用奇偶性求值 【方法点拨】 1.求函数值：利用函数的奇偶性，进行转化求解. 【例5】函数为上的奇函数，时，，则=（       ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【解析】因为为上的奇函数，且时，，所以，所以； 故选：B 【跟踪训练】 1.已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)=（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：，所以 故选：A 2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____. 【答案】3 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，故，，故.故答案为：3. 3.已知函数，，则的值是_______. 【答案】 【解析】是奇函数           .故答案为: . 4.已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则______ 【答案】 【解析】由题意，，∴，即，∴.故答案为： 5.若函数是偶函数，且，则______． 【答案】0 【解析】由函数是偶函数可得，又，故.故答案为：0. 考点五 利用奇偶性求参数 【方法点拨】 求参数值：①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值. 【例6】若函数是定义在上的偶函数，则（       ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【解析】由题设，，可得，则， 又为偶函数，则，可得，综上，，故.故选：D. 【例7】已知函数是定义在上的偶函数，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】根据题意，是定义在上的偶函数，可知， 则定义域关于原点对称，且二次函数的对称轴， 所以，解得：，所以，对应抛物线开口向下，对称轴为， 故的最大值为.故答案为：-1. 【跟踪训练】 1.已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为（ ） A．-2 B．-6 C．2 D．6 【答案】B 【解析】是定义在上的奇函数，则，解得， 当时，，所以.故选：B 2.若函数为偶函数，则_______________. 【答案】2 【解析】 因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2. 也可用，解出m=2.故答案为：2 3.若函数在上是奇函数，则的解析式为______． 【答案】 【解析】在上是奇函数，，，． 又，，即，． 题型六 利用奇偶性解不等式与比较大小 【例8】若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（     ） A．（﹣∞，1） B．[0，1） C． D．（1，＋∞） 【答案】A 【解析】：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0； 又f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同， ∴f（x）在R上单调递增；∴由不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0，得f（2x﹣1）＜f（x）， ∴2x﹣1＜x，解得x＜1，∴不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（﹣∞，1）.故选：A. 【例9】已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在x=0处连续 又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以有，解得.故选：D 【跟踪训练】 1.已知函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】因为定义域为，且，即为奇函数， 又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增， 则不等式等价为， 即，解得，即不等式的解集为.故答案为： 2.若函数为上的奇函数，且图象连续不断，在上为增函数，，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 函数为上的奇函数，，，的图象连续不断且在上为增函数，.故选：B. 题型七 利用奇偶性比较大小 【例10】定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以，，又，且在上是减函数，所以.故选：A 【跟踪训练】 1.设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为偶函数，则，当时，是减函数，又， 则，则故选：C 2.若偶函数在上是减函数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为偶函数，；在上是减函数，， 即.故选：B. 题型八 函数奇偶性的综合 【例11】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)求关于m的不等式式的解集. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)∵函数是定义在R上的奇函数，∴ ∴当时，；当时，，则.∴. (2)∵函数为奇函数，∴， 因为在上递增，且为奇函数，所以在R单调递增， ∴，解得：，故不等式的解集是. 【例12】已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)设，求证：是偶函数，是奇函数. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】(1)因为是定义在区间上的奇函数，且， 所以，（1），所以，， 检验，当，时，，，满足题意， 设，则，，，， 所以，所以， 所以在上单调递增； (2)证明：由题意得的定义域， 令，则，且的定义域， 所以为偶函数， 令，则的定义域， 且， 所以为奇函数. 【例13】若奇函数在定义域上是减函数，若时，， (1)求的解析式； (2)求满足的实数m的取值范围 【答案】(1)(2) 【解析】(1)因为是定义域上的奇函数，所以对于任意，则，且. 设，则，由已知得， 而满足上式，所以. (2)由于在定义域上是减函数，且为奇函数， 所以，即， 所以有，所以m的取值范围为. 一、填空题 1.下列函数是奇函数的是______________________ (1)f(x)＝ ；(2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝＋. (5)； (6)； 【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)非奇非偶函数；(4)既是偶函数又是奇函数； (5)奇函数(6)偶函数 【解析】(1)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数； (2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数； (3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∵定义域不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数； (4)f(x)＝＋的定义域为{－1，1}．∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，∴f(x)既为奇函数，又为偶函数． (5)函数的定义域为R且故函数为奇函数 (6)函数的定义域为R且故函数为偶函数 2.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则___________. 【答案】 【解析】函数是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0； 当时，；当x＜0时，−x＞0，， 又f（−x）＝−f（x），可得x＜0时，．所以．故答案为：. 3.已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______. 【答案】 【解析】因为，所以有， 因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以， 因此由，故答案为： 4．（2024·上海市杨浦高级中学高一期末）已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是______________. 【答案】 【解析】由已知是定义在上的偶函数， 故，即，或，且函数图象关于轴对称， 又，故， 因为关于直线对称， 故，， 故答案为：. 5.若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又，所以，所以当时， 则不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为.故答案为： 6.如果函数是奇函数，则 ． 7．（2024·上海高一期末）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时__________． 【答案】 【分析】设，则，代入的解析式， 由函数的奇偶性即可求解. 【详解】设，则， 由时，， 所以， 又函数为偶函数，即， 所以. 故答案为： 8．（2024·上海高一期末）函数为奇函数，则m=__________. 【答案】 【分析】由奇函数知，结合函数解析式可得，即可求m的值. 【详解】由为奇函数，即， ∴，即， ∴. 故答案为： 9．（2024·上海市建平中学高一期末）若函数是偶函数，则实数的值是（ ）． A．-1 B．0 C．1 D．不唯一 【答案】C 【分析】直接利用偶函数, ,代入x=1即可求出a. 【详解】因为函数是偶函数, 所以,即,解得: a=1 故选:C 【点睛】函数奇偶性的应用: (1)一般用或; (2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或. 10．（2024·上海市延安中学高一期末）奇函数的图像关于直线对称，，则_________. 【答案】 【分析】根据函数是奇函数，求，利用函数的对称性求. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 因为函数关于直线对称，，则， ，所以. 故答案为： 11．（2025·上海南汇中学高一期末）函数是定义在R上偶函数，且当，，则________． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质计算得解. 【详解】由题得. 故答案为： 【点睛】方法点睛：奇函数的性质：；偶函数的性质：. 12．（2024·上海高一期末）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为=__________． 【答案】 【分析】设，则，得到，再根据函数是定义在R上的奇函数求解. 【详解】设，则， 所以， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以， 又， 所以=， 故答案为： 二、选择题 13．（2025·上海高一期末）已知函数，则（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【分析】由可直接得到结果. 【详解】，， 为奇函数，但不是偶函数. 故选：A. 14．（2025·上海高一单元测试）对于定义域是的任意奇函数，都有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为奇函数，可得，再对四个选项逐一判断即可得正确答案. 【详解】∵为奇函数， ∴， ∴， 又，∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于基础题. 15．（2024·上海市大同中学高一期末）设是定义在上的偶函数，且在上是严格减函数，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数为偶函数可将不等式化为，即可利用单调性求解. 【详解】是定义在上的偶函数，， 则不等式为，则， 在上是严格减函数， ，解得或，又定义域为， 故不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】本题考查利用偶函数的性质解不等式，将不等式化为利用单调性求解是解题的关键. 16．（2024·上海华师大二附中高一期末）函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 【详解】记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D． 故选：A． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 三、解答题 17．（2025·上海高一专题练习）为奇函数，则的值 【答案】 【分析】利用奇函数的定义可得列式，化简可求出的值 【详解】解：因为为奇函数， 所以，即， 化简得，得， 当时，（），此时， 为奇函数， 当时，（），此时，为奇函数， 所以 18．（2024·上海市大同中学高一期末）设（、为实常数）. （1）当时，证明：不是奇函数； （2）当，时，判断并证明函数的奇偶性. 【答案】（1）证明见解析；（2）奇函数，证明见解析. 【分析】（1）证明不是奇函数，可用特殊值法；如证明： 不是奇函数； （2）利用函数奇偶性定义判断即可. 【详解】（1），， ， 所以不是奇函数； （2）当，时，是奇函数， ，定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 19．（2025·上海高一专题练习）已知幂函数(∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数； （2）讨论的奇偶性. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）由是偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，可得的值； （2）求出，分且，且，且和且四种情况，分别得出函数的奇偶性． 【详解】（1）∵是偶函数，∴应为偶数.又∵在（0，+∞）上是单调减函数，∴<0，-1<<3.又∈Z，∴=0，1，2. 当=0或2时，=-3不是偶数，舍去； 当=1时，=-4；∴=1，即. （2），∴ ①当且时，函数为非奇非偶函数； ②当且时，函数为偶函数； ③当且时，函数为奇函数； ④当且时，函数既是奇函数，又是偶函数. 20．（2025·上海市新场中学高一月考）已知函数，且当时，. （1）若函数是偶函数，求的值； （2）若函数是奇函数，求的表达式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用偶函数的定义可得，代入解析式即可求解. （2）设，则，代入解析式，由即可求解. 【详解】（1）函数是偶函数，且当时，， 则. （2）设，则， 所以， 又因为函数是奇函数， 所以， 即， 解得， 所以. 21．（2024·上海市南洋模范中学高一期末）已知函数（为常数）是奇函数. （1）求的值与函数的定义域. （2）若当时，恒成立.求实数的取值范围. 【答案】（1），定义域为或；（2）. 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出，再解不等式，即可求出定义域； （2）先由题意，根据对数函数的性质，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以，所以， 即， 所以，令，解得或， 所以函数的定义域为或； （2）， 当时，所以，所以. 因为，恒成立， 所以，所以的取值范围是. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型. 学科网（北京）股份有限公司 $