专题18：函数的最值 讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题18 函数的最值 知识点一、函数最大值与最小值概念 1.函数的最大值 函数y＝f(x)在x0处的函数值是f(x0),如果对于定义域内任意给定的x，都成立不等式f(x)≤f(x0).那么 f(x0)就叫做函数y＝f(x)的最大值（maximum）. 2.函数的最小值 函数y＝f(x)在x0处的函数值是f(x0),如果对于定义域内任意给定的x，都成立不等式f(x)≥f(x0).那么 f(x0)就叫做函数y＝f(x)的最小值（minimum）. 备注:若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值（只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值） 知识点二、求函数最值的常用方法 1、图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2、可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 3、判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值． 4、换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 5、不等式法：利用均值不等式求最值． 6、利用函数的性质求函数的最值 ①若y＝f(x)在区间[a，b]上是严格增函数，则ymax＝f(b)，　ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上是严格减函数，则ymax＝f(a)，　ymin＝f(b)． 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 7.一些能转化为最值问题的问题: 在区间D上恒成立函数 在区间D上恒成立函数 在区间D上存在实数使函数 在区间D上存在实数使函数 （3）无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此． 知识点三、对勾函数 1、对勾函数的定义：所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”。当时，对勾函数是正比例函数与反比例函数，通过“函数的和的运算”合成的函数； 2、对勾函数的性质研究 以一般式：(、)为例； （1）定义域：； （2）值 域：；当且仅当，即时取到端点值。 （3）奇偶性：在其定义域上是奇函数； （4）单调性：在上严格单调递减，在上严格单调递减， 在上严格单调递增，在上严格单调递增； 当且仅当，即时取到最大、最小值。 （5）渐近线：； 3、对勾函数的图像特征 当同号时, 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： 在第一象限内,函数图像向上与y轴无限接近、向右与直线y=ax无限接近; 在第三象限内,函数图像向下与y轴无限接近,向左与直线y=ax无限接近.该函数的图像如图所示: 该函数的单调性可以使用单调性的定义加以证明(此处略),在(0,+∞)上的最小值可以由基本不等式得出,在(-∞,0)上有最大值可由函数是奇函数得出. 知识四、二次函数在闭区间上最值的求法 二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解,常见的有以下四种情况: 1.定轴定区间 2.动轴定区间 分对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况讨论,得到二次函数在所给区间上的单调性,求出最大值和最小值注意对于“中间”情形,又可具体分偏左、偏右讨论 3.定轴动区间 分区间在对称轴的左边,对称轴在区间中间,区间在对称轴右边三种情况讨论,得到二次函数在所给区间上的单调性,求出最大值和最小值 4.动轴动区间 分对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况讨论。 题型一、根据图像求函数的最值（值域） 图像法求最值的一般步骤 【例1】函数f(x)在区间[－2，5]上的图像，如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.－2，f(2)　　　B.2，f(2) C.－2，f(5) D.2，f(5) 【例2】已知函数f(x)＝ (1)画出函数的图像并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图像求出函数的最小值. 【跟踪训练】 1.函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________． 2.已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值和最小值. 3.求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 题型二、根据函数的单调性求最值（值域） 利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． [注意]　求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值.　 【例3】函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值为________． 【例4】求函数的值域； 【例5】（2025·上海市进才中学高一月考）函数的最大值为______． 【跟踪训练】 1.函数y＝在[2,3]上的最大值为________． 2.函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________． 3.求函数的值域； 4.（2025·上海高一课时练习）函数的最小值为___________. 题型三、对勾函数的应用（综合拓展） 【例6】若函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的最小值为4 B．函数在上严格单调递减，在上严格单调递增 C．函数的最大值为4 D．函数在上严格单调递增，在上严格单调递减 【例7】函数在上的最大值是________，最小值是________． 【例8】已知函数，其中、为常数，且，； （1）求、的值； （2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值； 【例9】若是函数在上的最大值与最小值之和，则函数在上的单调增区间是________． 【跟踪训练】 1.给出下列四个命题：①函数的最小值是；②函数的最小值是；③函数的最小值是；④函数的最大值是． 其中错误的命题的个数是（ ）． （A） （B） （C） （D） 2.已知函数f(x)＝，求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． 3.（2024·上海高一期末）函数，的值域为__________． 题型四、二次函数在闭区间上最值的求法（综合拓展） 二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解,常见的有以下四种情况: 1.定轴定区间 【例10】当-2≤x≤2时,求函数y=的最大值和最小值. 【例11】已知函数y＝－x2＋4x－2. (1)若x∈[0，5]，求函数的单调区间； (2)若x∈[0，3]，求函数的最大值、最小值； (3)若x∈[3，5]，求函数的最大值、最小值． 2.动轴定区间 分对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况讨论,得到二次函数在所给区间上的单调性,求出最大值和最小值注意对于“中间”情形,又可具体分偏左、偏右讨论 【例12】求函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[－1，1]上的最小值． 3.定轴动区间 分区间在对称轴的左边,对称轴在区间中间,区间在对称轴右边三种情况讨论,得到二次函数在所给区间上的单调性,求出最大值和最小值 【例13】二次函数f(x)=-4x+1,当x∈[m-1,m+1]时,求f(x)的最小值g(m) 4.动轴动区间 分对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况讨论。 【例14】求函数y=-x(x-a)在[-1,a]上的最大值。 【例15】（2025·上海交大附中高一开学考试）已知二次函数. （1）求该二次函数的定义域、值域、对称轴、顶点坐标（用表示，定义域、值域为集合）； （2）若当时，y的最大值为4，求实数的值. 题型五、根据函数的最值求参数 （1）判断函数单调性的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）四则运算法；（4）复合函数法；（5）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决； （2）恒成立等价于. 【例16】若函数在区间上的最大值为，则实数（ ） A． B． C． D．或 【例17】已知，函数若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例18】（2025·上海师大附中高一期末）已知. （1）当时，用定义证明函数的单调性，并求函数的最小值； （2）如对任意，恒成立，试求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.（2024·上海高一期末）已知函数的最小值为-2，则实数a=________. 2.（2024·上海市大同中学高一期末）函数的最大值为3，则的取值范围为___________. 3.（2025·上海高一期末）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为________． 4.（2025年上海高一课时练习）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_________. 5.已知函数 ，且 . （1）求实数的值; （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明; （3）求函数在上的最值. 一、填空题 1.函数y＝在[2，3]上的最小值为________ 2.已知函数，则在区间上的最大值为________ 3.（2025上海市金山中学高一月考）函数的最大值为____________ 4．一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则实数a的取值范围是________ 5．若函数的最大值为0，则实数a的取值范围是___________. 6．（2024秋•徐汇区校级期末）已知函数f（x）＝xα（1≤x≤2）的最大值与最小值之差为，则α＝　　． 7．（2024秋•闵行区期末）已知k≥0，函数y＝有最大值，则实数k的取值范围是 　　． 8．（2024·上海高三二模）已知函数最小值为，则____________． 9.函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3，则a的取值范围为　　． 10.已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则实数a的取值范围是 　． 11．函数在上的最大值是________． 12.函数f（x）＝x|x﹣a|在区间（0，1）上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是______ 二、选择题 13．已知在的最大值为，最小值为，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何都有，则的取值范围是. ②若对任何都有，则的取值范围是. ③若关于的方程在区间有解，则的取值范围是. ④若关于的不等式在区间有解，则的取值范围是. ⑤若关于的不等式在区间有解，则的取值范围是. A． B． C． D． 14.已知函数，则f（x）在区间[2，6]上的最大值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 15.设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（　　） A．1 B．3 C．0 D． 16．（2024秋•长宁区期末）函数的最小值为（　　） A．﹣10 B．﹣1 C．0 D． 三、解答题 17.（2025·上海高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值： （1）； （2）； （3）； （4）. 18.已知函数. （1）判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值. 19．(1)已知函数在区间上有最大值，求实数的值． (2)已知函数的定义域和值域都是，求实数的值． 20．设函数，且． （1）当时，求函数的最大值与最小值； （2）若函数在其定义域区间上是单调函数，求实数的取值范围． 21．（2024·上海市行知中学高一期中）设. (1)求不等式的解集； (2)若函数在上最小值为，求实数的值； (3)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题18 函数的最值 知识点一、函数最大值与最小值概念 1.函数的最大值 函数y＝f(x)在x0处的函数值是f(x0),如果对于定义域内任意给定的x，都成立不等式f(x)≤f(x0).那么 f(x0)就叫做函数y＝f(x)的最大值（maximum）. 2.函数的最小值 函数y＝f(x)在x0处的函数值是f(x0),如果对于定义域内任意给定的x，都成立不等式f(x)≥f(x0).那么 f(x0)就叫做函数y＝f(x)的最小值（minimum）. 备注:若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值（只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值） 知识点二、求函数最值的常用方法 1、图像法：作出y＝f(x)的图像，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2、可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 3、判别式法：主要适用于可化为关于的二次方程，由（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的的值． 4、换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 5、不等式法：利用均值不等式求最值． 6、利用函数的性质求函数的最值 ①若y＝f(x)在区间[a，b]上是严格增函数，则ymax＝f(b)，　ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上是严格减函数，则ymax＝f(a)，　ymin＝f(b)． 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 7.一些能转化为最值问题的问题: 在区间D上恒成立函数 在区间D上恒成立函数 在区间D上存在实数使函数 在区间D上存在实数使函数 （3）无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此． 知识点三、对勾函数 1、对勾函数的定义：所谓的对勾函数，是形如：（）的函数； 又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”。当时，对勾函数是正比例函数与反比例函数，通过“函数的和的运算”合成的函数； 2、对勾函数的性质研究 以一般式：(、)为例； （1）定义域：； （2）值 域：；当且仅当，即时取到端点值。 （3）奇偶性：在其定义域上是奇函数； （4）单调性：在上严格单调递减，在上严格单调递减， 在上严格单调递增，在上严格单调递增； 当且仅当，即时取到最大、最小值。 （5）渐近线：； 3、对勾函数的图像特征 当同号时, 对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示： 在第一象限内,函数图像向上与y轴无限接近、向右与直线y=ax无限接近; 在第三象限内,函数图像向下与y轴无限接近,向左与直线y=ax无限接近.该函数的图像如图所示: 该函数的单调性可以使用单调性的定义加以证明(此处略),在(0,+∞)上的最小值可以由基本不等式得出,在(-∞,0)上有最大值可由函数是奇函数得出. 知识四、二次函数在闭区间上最值的求法 二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解,常见的有以下四种情况: 1.定轴定区间 2.动轴定区间 分对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况讨论,得到二次函数在所给区间上的单调性,求出最大值和最小值注意对于“中间”情形,又可具体分偏左、偏右讨论 3.定轴动区间 分区间在对称轴的左边,对称轴在区间中间,区间在对称轴右边三种情况讨论,得到二次函数在所给区间上的单调性,求出最大值和最小值 4.动轴动区间 分对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况讨论。 题型一、根据图像求函数的最值（值域） 图像法求最值的一般步骤 【例1】函数f(x)在区间[－2，5]上的图像，如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.－2，f(2)　　　　　　　　 B.2，f(2) C.－2，f(5) D.2，f(5) 【答案】C 【解析】由函数的图像知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5).故选C. 【例2】已知函数f(x)＝ (1)画出函数的图像并写出函数的单调区间； (2)根据函数的图像求出函数的最小值. 【答案】(1)图像见解析.f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间. (2)函数的最小值为f(0)＝－1. 【解析】(1)函数的图像如图所示. 由图像可知f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间. (2)由函数图像可知，函数的最小值为f(0)＝－1. 【跟踪训练】 1.函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________． 【答案】－1　2 【解析】由图可知，图像最低点的纵坐标为－1，图像最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为－1. 2.已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值和最小值. 【答案】f(x)的最大值为2，最小值为－. 【解析】作出f(x)的图像如图.由图像可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2； 当x＝时，f(x)取最小值为－. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. 3.求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 【答案】最大值3，最小值-3. 【解析】y＝|x＋1|－|x－2|＝作出函数的图像，由图可知，y∈[－3,3]． 所以函数的最大值为3，最小值为－3. 题型二、根据函数的单调性求最值（值域） 利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． [注意]　求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最值.　 【例3】函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值为________． 【答案】3 【解析】方法一、根据图像(图略)可知，f(x)max＝3. 方法二、当-1≤x≤0,f(x)＝|x|= -x在区间[-1,0]上是严格减函数，f(x)max＝f(-1)=1； 当0<x≤3,f(x)＝|x|= x在区间(0,3]上是严格增函数，f(x)max＝f(3)=3；综上，函数f(x)的最大值为3. 【例4】求函数的值域； 【答案】此题可以看作和,的复合函数, 显然函数为单调递增函数, 易验证亦是单调递增函数, 故函数也是单调递增函数. 而此函数的定义域为.当时, 取得最小值.当时, 取得最大值. 故而原函数的值域为. 【例5】（2025·上海市进才中学高一月考）函数的最大值为______． 【答案】1 【解析】由可得， ， 因为在单调递增， 所以在单调递减， 所以时最大为， 故函数的最大值为， 故答案为： 【跟踪训练】 1.函数y＝在[2,3]上的最大值为________． 【答案】1 【解析】∵y＝在[2,3]上是严格减函数，∴ymax＝f(2)＝1. 2.函数y＝2x2＋2，x∈R的最小值是________． 【答案】2 【解析】函数y＝2x2＋2≥2，仅当x=0时，函数有最小值2. 3.求函数的值域； 【答案】易知定义域为，而在上均为增函数， ∴，故 4.（2025·上海高一课时练习）函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 当时，, 则， 当时，， 则 当时，， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型三、对勾函数的应用（综合拓展） 【例6】若函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数的最小值为4 B．函数在上严格单调递减，在上严格单调递增 C．函数的最大值为4 D．函数在上严格单调递增，在上严格单调递减 【提示】只要依据对勾函数，取，； 【答案】B； 【解析】由于，对勾函数在定义域上，既没有最小值，也没有最大值，所以，A、C选项是错的； 又因为，且，所以，选项B是正确的； 【说明】本题是对勾函数性质的直接应用；注意：本题中，当限定取值范围时，如x>0时，函数有最小值4。 【例7】函数在上的最大值是________，最小值是________． 【例8】已知函数，其中、为常数，且，； （1）求、的值； （2）利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值； 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）最大值，最小值． 【解析】（1）因为，，所以，，解得：，； （2），任取、且，即， 所以 ， 因为，所以，，所以， 所以，所以， 所以函数在区间上是严格减函数； （3）设，由（2）知：， 因为，所以，，所以， 所以，所以， 所以函数在区间上是严格增函数， 由（2）知：在区间上是严格增函数，所以， 因为，，所以； 【例9】若是函数在上的最大值与最小值之和，则函数在上的单调增区间是________． 【跟踪训练】 1.给出下列四个命题：①函数的最小值是；②函数的最小值是；③函数的最小值是；④函数的最大值是． 其中错误的命题的个数是（ ）． （A） （B） （C） （D） 2.已知函数f(x)＝，求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． 【答案】最大值是，最小值是2. 【解析】由对勾函数的图像与性质，可知f(x)在[1,4]上单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝. 综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2. 3.（2024·上海高一期末）函数，的值域为__________． 【答案】 【解析】由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减， 所以， 又，且，， 所以， 所以的值域为， 故答案为：. 题型四、二次函数在闭区间上最值的求法（综合拓展） 二次函数在给定区间[m,n]上的最值求解,常见的有以下四种情况: 1.定轴定区间 【例10】当-2≤x≤2时,求函数y=的最大值和最小值. 【例11】已知函数y＝－x2＋4x－2. (1)若x∈[0，5]，求函数的单调区间； (2)若x∈[0，3]，求函数的最大值、最小值； (3)若x∈[3，5]，求函数的最大值、最小值． 2.动轴定区间 分对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况讨论,得到二次函数在所给区间上的单调性,求出最大值和最小值注意对于“中间”情形,又可具体分偏左、偏右讨论 【例12】求函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[－1，1]上的最小值． 3.定轴动区间 分区间在对称轴的左边,对称轴在区间中间,区间在对称轴右边三种情况讨论,得到二次函数在所给区间上的单调性,求出最大值和最小值 【例13】二次函数f(x)=-4x+1,当x∈[m-1,m+1]时,求f(x)的最小值g(m) 4.动轴动区间 分对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况讨论。 【例14】求函数y=-x(x-a)在[-1,a]上的最大值。 【例15】（2025·上海交大附中高一开学考试）已知二次函数. （1）求该二次函数的定义域、值域、对称轴、顶点坐标（用表示，定义域、值域为集合）； （2）若当时，y的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）定义域为R，值域为，对称轴为，顶点坐标为；（2）或. 【解析】（1）∵， 由二次函数性质可得：定义域为R，值域为，对称轴为， 顶点坐标为. （2）由二次函数的性质可得最大值必在或处取得， 当时，，解得， 此时在处的函数值为1，满足题意； 当时，，解得， 此时在处的函数值为，满足题意； 故实数的值为或. 题型五、根据函数的最值求参数 【点晴】 （1）判断函数单调性的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）四则运算法；（4）复合函数法；（5）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决； （2）恒成立等价于. 【例16】若函数在区间上的最大值为，则实数（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】函数，即，， 当时，不成立； 当，即时，在递减，可得为最大值， 即，解得成立； 当，即时，在递增，可得为最大值， 即，解得不成立； 综上可得． 故选：． 【例17】已知，函数若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，函数 当时，由得，，. 令，，. 当，即时，对恒成立； 当，即或时，要使得对恒成立， 则解得，所以. 综上可得，. 当时，由得，，. 令，， 因为在上单调递增，要使得恒成立，只需， 即，解得，所以. 由解得. 故选：A. 【例18】（2025·上海师大附中高一期末）已知. （1）当时，用定义证明函数的单调性，并求函数的最小值； （2）如对任意，恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，最小值为；（2）. 【解析】（1）当时， 任取，则有： ∵，∴，∴，即， ∴在上单调递增. ∴，即最小值为. （2）∵任意，恒成立，可化为：恒成立， 即恒成立，只需 记 则在上单调递减 ∴ ∴ 即实数的取值范围为. 【跟踪训练】 1.（2024·上海高一期末）已知函数的最小值为-2，则实数a=________. 【答案】 【解析】 ，所以该二次函数的对称轴为：， 当时，即，函数在时单调递减， 因此，显然符合； 当时，即时，，显然不符合； 当时，即时，函数在时单调递增， 因此，不符合题意，综上所述：， 故答案为： 2.（2024·上海市大同中学高一期末）函数的最大值为3，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】当时，；当时，； 当时，； 所以函数式可化为 函数图象如图所示： 因为 时最大值为3，又当时，，当时，； 由图知， 故答案为： 3.（2025·上海高一期末）已知关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】． 【解析】关于x的不等式在上恒成立，等价于不等式在上恒成立， 令，即在上恒成立， 利用反比例函数性质知，. 故答案为：. 4.（2025年上海高一课时练习）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_________. 【答案】 【解析】若，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， ， 由可解得，而方程的两个实数根异号， 必定是方程的一个正根， 则，，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 5.已知函数 ，且 . （1）求实数的值; （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明; （3）求函数在上的最值. 【答案】（1）；（2）函数在上单调递增；证明见解析；（3）最大值为，最小值为. 【解析】（1）因为 ，且 ，所以，故； （2）函数在上单调递增 证明：由（1）知 设， 则 因为，所以，即，因此函数在上单调递增； （3）由（1）知 设， 则 因为，所以，即，因此函数在上单调递增；所以，，所以函数在上的最大值为，最小值为. 一、填空题 1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ） A．2 B．C． D．－ 2.已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 3.（2025·上海市金山中学高一月考）函数的最大值为____________ 【答案】5 【解析】化简函数在上递减，所以当时，最大值为5. 故答案为：5 4．（2024·上海·高一单元测试）一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的最值和函数单调性的关系即可求出a的范围. 【详解】因为一次函数，在[﹣2，3]上的最大值是， 则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，则3a﹣2＜0，解得， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性和最值的关系，考查了转化与化归思想，属于基础题. 5．（2025·上海复旦附中高一期中）若函数的最大值为0，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】当时，，此时恒成立； 当时，要使恒成立，通过分离参数，化简可得恒成立，令，则 变形得，则在时单减，，则 故答案为： 6．（2024秋•徐汇区校级期末）已知函数f（x）＝xα（1≤x≤2）的最大值与最小值之差为，则α＝　或﹣1　． 【分析】根据幂函数的性质，分类讨论α＞0，α＝0，α＜0时，f（x）的单调性，即可得出答案． 【解答】解：∵函数f（x）＝xα（1≤x≤2）， ∴当α＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增，可得2α﹣1＝，解得α＝； 当α＝0时，f（x）＝1，显然不符合题意； 当α＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，可得1﹣2α＝，解得α＝﹣1， 综上所述，α＝或﹣1， 故答案为：或﹣1． 【点评】本题考查幂函数的图象与性质，考查分类讨论思想和转化思想，考查逻辑推理能力与运算能力，属于中档题． 7．（2024秋•闵行区期末）已知k≥0，函数y＝有最大值，则实数k的取值范围是 　[1，+∞）　． 【分析】结合函数在（﹣∞，0）上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，则最大值在x＝0处取得，则只需右侧的f（0）大于等于左侧x→0时的函数的极限值即可． 【解答】解：因为k≥0，函数y＝有最大值， 易知x≥0时，f（x）＝﹣x+k+1单调递减，故此时f（x）≤f（0）＝k+1； 当x＜0时，f（x）＝单调递增，结合x→0﹣时，f（x）→， 所以由题意只需即可，解得k≥1，或k≤﹣2（舍）， 故k的取值范围为[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）． 【点评】本题考查分段函数最值的求法，属于中档题． 8．（2024·上海高三二模）已知函数最小值为，则____________． 【答案】 【解析】因为函数有最小值，所以， 因为， 所以， 因为函数最小值为， 所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意， 故答案为：. 9.函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3，则a的取值范围为　[﹣1，2）　． 【解题思路】写出分段函数解析式，作出图象，数形结合得答案． 【解答过程】解：y＝|x﹣1|+|x|， 作出分段函数的图象如图： 由图可知，要使函数y＝|x﹣1|+|x|，x∈[a，2]的最大值为3， 则a的取值范围为[﹣1，2）． 故答案为：[﹣1，2）． 10.已知函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，]　． 【解题思路】由已知可得|x2﹣2x+a|+a≤1，即|x2﹣2x+a|≤1﹣a，得到a≤1，再求解绝对值的不等式，得到﹣1≤x2﹣2x≤1﹣2a，由x的范围求得x2﹣2x的范围，进一步可得关于a的不等式求解． 【解答过程】解：∵函数f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在区间[0，2]上的最大值是1， ∴|x2﹣2x+a|+a≤1，即|x2﹣2x+a|≤1﹣a， 则1﹣a≥0，得a≤1， ∴a﹣1≤x2﹣2x+a≤1﹣a，可得﹣1≤x2﹣2x≤1﹣2a， ∵0≤x≤2，∴﹣1≤x2﹣2x≤0， 则1﹣2a≥0，得a． 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]． 故答案为：（﹣∞，]． 11．函数在上的最大值是________． 12.函数f（x）＝x|x﹣a|在区间（0，1）上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】f（x）＝x|x﹣a|，由函数f（x）＝x|x﹣a|在区间（0，1）上既有最大值，也有最小值，推出a＞0，作出图象，f（x）最大值为f（）， 推出，即x，列不等式组，即可得出答案． 【解答过程】解：f（x）＝x|x﹣a|， 又因为函数f（x）＝x|x﹣a|在区间（0，1）上既有最大值，也有最小值， 所以a＞0， 图象如图所示： 显然函数f（x）在（0，a）的最大值为f（）， 由，解得x， 因为函数f（x）＝x|x﹣a|在区间上既有最大值又有最小值， 所以，即， 所以22≤a＜1， 故选：D． 二、选择题 13．（2025·上海华师大二附中）已知在的最大值为，最小值为，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何都有，则的取值范围是. ②若对任何都有，则的取值范围是. ③若关于的方程在区间有解，则的取值范围是. ④若关于的不等式在区间有解，则的取值范围是. ⑤若关于的不等式在区间有解，则的取值范围是. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对任何x∈[a，b]都有，说明p小于等于的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确; 关于x的方程p=f(x）在区间[a，b]上有解，说明p应属于函数f(x）在[a，b]上的值域[m，M]内，故③是正确的; 关于x的不等式p≤f (x）在区间[a，b]上有解，说明p小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 14.已知函数，则f（x）在区间[2，6]上的最大值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【解题思路】求出函数f（x）的单调区间，根据函数的单调性求出f（x）的最大值即可． 【解答过程】解：f（x）2， f（x）在[2，6]递减， 故f（x）max＝f（2）＝24， 故选：C． 15.设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（　　） A．1 B．3 C．0 D． 【解题思路】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可． 【解答过程】解：令x2﹣x﹣1≥x+2，解得x≥3或x≤﹣1， 则M（x）， 当x≥3或x≤﹣1时，M（x）min＝M（﹣1）＝1， 当﹣1＜x＜3时，函数没有最小值， 综上：函数的最小值为1， 故选：A． 16．（2024秋•长宁区期末）函数的最小值为（　　） A．﹣10 B．﹣1 C．0 D． 【分析】对原函数求导，然后求出其极值点，结合单调性求出原函数的最小值． 【解答】解：因为函数， 故，易知当x∈（0，10）时，lgx﹣1＜0，x﹣10＜0，即此时y′＜0； 当x＞10时，lgx﹣1＞0，x﹣10＞0，故此时y′＞0， 即原函数在（0，10）上单调递减，在（10，+∞）上单调递增， 故ymin＝y|x＝10＝0． 故选：C． 【点评】本题考查导数在研究函数最值时的应用，属于中档题． 三、解答题 17.（2025·上海高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1），无最大值；（2）， ；（3） ，；（4），无最小值 【解析】对于（1），当时成立，令，故， ，故当时，，无最大值. 对于（2）；该函数为对勾函数，当时，在上单调递减，在上单调递增，故当时，，当时，； 对于（3），整理为，明显地，这是两个增函数相加，所以，对于，在上单调递增，所以，当时，，当时， 对于（4），因为，所以，令，，则，故可化简为：，明显地，，当时，即时，，该函数在时无最小值. 18.已知函数. （1）判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）已知在上的最大值为m，若正实数a，b满足，求最小值. 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析；（2）2. 【解析】（1）函数在上单调递增. 证明如下： 令， . 因为，所以，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （2）由（1）知函数在上单调递增， 所以函数在上的最大值为， 即，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 19．(1)已知函数在区间上有最大值，求实数的值． (2)已知函数的定义域和值域都是，求实数的值． 20．设函数，且． （1）当时，求函数的最大值与最小值； （2）若函数在其定义域区间上是单调函数，求实数的取值范围． 21．（2024·上海市行知中学高一期中）设. (1)求不等式的解集； (2)若函数在上最小值为，求实数的值； (3)若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，然后分，和三种情况求解即可； （2）分，和三种情况讨论函数的单调性，求解函数的最小值，从而列方程可求出实数的值； （3）由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以由，得 ， 化简得， 当时，不等式无解， 当时，由，得，，解得或， 当时，由，得，，解得， 综上，不等式的解集； （2）当时，在上单调递增，函数无最小值，不合题意， 当时，，因为函数和在上单调递增， 所以在上单调递增，函数无最小值，不合题意， 当时，（）， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为函数在上最小值为， 所以， 所以，解得或， 因为，所以， 所以； （3）因为对任意的正实数，存在，使得， 所以， 由（2）可知当时，在上单调递增， 所以时，， 因为， 所以， ①当，即时，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， ②当，无解， ③当，即时，， 由，得， 所以， 所以， 所以， ④当，即时，， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 综上，， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与不等式的综合应用，考查函数最值的求法，考查不等式能成立问题，解题的关键是根据题意正确分类求解，考查数学分类思想和计算能力，属于较难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $