专题15：函数的概念【精英班课程】同步培优讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题15 函数概念及表示 1．函数的概念及其构成要素 初中函数的定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量． 高中函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定； ②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同。 2．判断两个函数是否为同一函数 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样． 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同． 3．函数的定义域及其求法 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 4．函数的值域 函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域． （1）求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． （2）函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目． 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力． 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． （3）运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 5．函数的表示方法 1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法． 2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法． 3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法． 图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质． 题型1：函数的概念 【例1】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【例2】集合下列表示从到的函数是（    ） A． B． C． D． 【例3】设，，下面图像所示的与的对应关系哪一个是到的函数关系（ ） ( O – 1 1 1 O – 1 1 1 – 1 1 3 1 O – 1 1 – 1 1 O ) 【例4】下列各组函数中，哪一组是同一函数： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与 （5）与； （6）与 （7）与； （8）与 【跟踪训练】 1．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 2．下列关于函数的说法正确的是 ． ①是的函数；②是的函数；③对于不同的，也不同；④表示当时，的函数值是一个常数． 3．下列对应是集合到集合的函数的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 4．设集合给出四个图像，其中能表示以A为定义域，B为值域的函数是 （ ） 5．下列四组函数中，同组的两个函数是相同的函数是（　　） A．，g（x）＝x B．，g（x）＝x C．，g（x）＝x D．，g（x）＝x 题型2：求函数值 【例5】已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【例6】已知函数，那么（    ） A．32 B． C． D． 【例7】已知函数，且，则a＝ ． 【例8】若函数f(x)=ax2-1，a为正常数，且f(f(-1))=-1，则a的值是 . 【跟踪训练】 1．已知函数，则的值等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知函数满足，则等于（    ） A．1 B．6 C．24 D．120 3．已知函数，若，则实数的值为 ． 4．已知函数，分别由下表给出： x 1 2 3 2 3 1 x 1 2 3 3 2 1 则方程的解为 . 题型3：函数定义域 1、具体函数类型 【例9】函数的定义域为 . 【例10】函数定义域为 ． 【例11】函数的定义域为 . 2、抽象复合型 【例12】1.已知的定义域为［1，2］，求的定义域。 2.若函数的定义域为，则函数的定义域是 3.若函数的定义域为，则函数的定义域是 ； 【例13】1.若函数的定义域是，则函数的定义域为______ 2.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数的定义域为，则函数的定义域为________ 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 4．已知函数的定义域为，则的定义域为 . 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 3、根据函数的定义域确定参数的范围 【例14】已知，若定义域是，求实数的范围。 【例15】若函数f(x) = 的定义域为R，求实数k的取值范围 变式：若函数的定义域为R，则_______ 【跟踪训练】 1、若函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，求实数a的取值范围． 2.函数＝的定义域为，则的取值范围是 4、应用问题的函数定义域 【例16】已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【例17】2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示. （1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； （2）根据图象，求这一天12时所对应的温度. 【例18】设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域. 题型4：函数的值域 1、观察法 使用情景：函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成。 【例19】求函数y=的值域。 【例20】函数的值域。 【例21】函数 2、配方法 使用情景：一般是二次函数或可以化为二次函数的函数 【例22】求函数在下列定义域内的最值及值域。 （1） (2) (3) 【例23】函数在区间上的值域为，则的值为（ ） 或 【例24】已知f(x)=,当(）时，求f(x)的最大值 【例25】已知二次函数的最大值为,最小值为，求-的值。 【例26】已知函数f(x)=在区间上的最小值是3m，最大值是3n，求m,n的值。 3、分离常数法 使用情景：函数是对称的分式y=或y= 【例27】求的值域； 【例28】求的值域，并做出图形。 4、换元法 使用情景： 【例29】求的值域； 【例30】求的值域。 5、基本不等式法 使用情景：利用基本不等式，尤其注意形如型函数）。其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式为积时求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 【例31】求的值域，并做出其图像。 【例32】 【例33】求的值域； 题型5：函数的表示 【例34】1.设，求. 2.已知为一次函数，满足，求函数的解析式。 3.已知为二次函数，且对任意都有，求函数的解析式。 4.已知,求函数的解析式。 5.已知,求函数的解析式。 6.已知满足，求． 【跟踪训练】求下列函数的解析式： （1） 若,求 （2） 已知是一次函数，且满足，求 （3） 已知满足关系式，求 （4） 已知函数，则 题型6：综合压轴 【例35】已知函数f（x）=． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围． 【例36】设函数f（x）=，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）． （1）求函数f（x）=的值域； （2）若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围． 【例37】作出函数y=|2|1﹣x|﹣2|的图． 　 【跟踪训练】 1．已知函数f（x）=； （1）若f（x）的定义域为 （﹣∞，+∞），求实数a的取值范围； （2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围． 2．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|． （Ⅰ）画出函数f（x）的图象； （Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数m≠﹣1，求实数x的取值范围． 一、填空题 1．下列各式中是的函数的解析式有 个. ①，②，③，④ 2．（2025·上海南汇中学高一期末）若函数，，则的定义域为________． 3．（2022·上海·上外附中高一期中）已知函数满足，则__________． 4．（2022·上海市文建中学高一期中）函数的定义域为____________． 5．（2022·上海市光明中学高一开学考试）设（、为常数），若，则______ 6．（2024·上海市大同中学高一阶段练习）函数的定义域为___________. 7．（2022·上海·格致中学高一期末）已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域） 8．若函数的定义域是，则实数的取值范围是________. 9．（2025·上海·高一专题练习）求函数的值域______________． 10．函数对任意实数、，均满足，且，则__________ 11．设x∈R，则不等式的等号成立时x的取值范围为 ___． 12．函数的定义域为，其图像如图所示，若的反函数为，则不等式的解集为________ 二、选择题 13．（2022·上海·高一专题练习）下列等量关系中，是的函数的是（　　） A． B． C． D． 14．下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A．f（x）＝，g（x）＝x﹣1 B．f（x）＝x﹣1，g（t）＝t﹣1 C．f（x）＝log3x2，g（x）＝2log3x D．f（x）＝x，g（x）＝ 15．与命题“函数的定义域为”等价的命题不是（    ） A．不等式对任意实数恒成立 B．不存在，使 C．函数的值域是的子集 D．函数的最小值大于0 16．在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为 A．B．C． D． 三、解答题 17．（2022·上海·高一专题练习）求下列函数的值域． (1) (2) 18．（2024·上海·高一）已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值. 19．（2024·上海·高一专题练习）已知函数. （1）求，的值； （2）求证是定值； （3）求：的值. 20．（2025·上海市大同中学高一阶段练习）已知函数. （1）求的值； （2）当的定义域为时，求的值域； （3）设函数，若，求的最小值. 21．（2025·上海·高一专题练习）已知函数． （1）求函数的定义域和值域； （2）设（a为实数），求在时的最大值； （3）对（2）中，若对所有的实数a及恒成立，求实数m的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 -2 -1 2 y x 1 -2 -1 2 y x 1 1 2 o -2 -1 2 y x 1 1 2 o -2 -1 2 y x 1 1 2 o $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题15 函数概念及表示 1．函数的概念及其构成要素 初中函数的定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量． 高中函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集． 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定； ②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同。 2．判断两个函数是否为同一函数 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域． 所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样． 【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同． 3．函数的定义域及其求法 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④指数为零时，底数不为零． ⑤实际问题中函数的定义域； 4．函数的值域 函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域． （1）求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． （2）函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目． 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力． 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． （3）运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 5．函数的表示方法 1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法． 2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法． 3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法． 图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质． 题型1：函数的概念 1.函数概念的判断。 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：（1)定义域和对应法则是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应。 2.两个函数相等的判断。 两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数． 【例1】下列四种说法中，不正确的是 （填序号）． ①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应； ②函数的定义域和值域一定是无限集合； ③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了； ④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素． 【答案】② 【分析】根据函数的定义，即可求解. 【解析】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确； 若函数,定义域为，但值域为，故②错误， 定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确， 由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确， 故答案为：② 【例2】集合下列表示从到的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合选项和函数的定义，逐项判定，即可求解. 【解析】由集合， 对于A中，若，则集合中任意元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合到的函数，符合题意； 对于B中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意； 对于C中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意； 对于D中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意； 故选：A. 【例3】设，，下面图像所示的与的对应关系哪一个是到的函数关系（ ） ( O – 1 1 1 O – 1 1 1 – 1 1 3 1 O – 1 1 – 1 1 O ) 【答案】D 【例4】下列各组函数中，哪一组是同一函数： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与 （5）与； （6）与 （7）与； （8）与 【答案】（4）；（6）；（8） 【跟踪训练】 1．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（    ） A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义，结合题意，可得答案. 【解析】对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误； 对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确； 对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误； 故选：B. 2．下列关于函数的说法正确的是 ． ①是的函数；②是的函数；③对于不同的，也不同；④表示当时，的函数值是一个常数． 【答案】①④ 【分析】根据函数的知识确定正确答案. 【解析】对于函数有： 是的函数，①正确，②错误. 对于不同的，可能相同，③错误. 是一个常数，④正确. 故答案为：①④ 3．下列对应是集合到集合的函数的是（    ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据函数的定义进行判断即可． 【解析】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确； 对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误； 对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误； 对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误. 故选：A． 4．设集合给出四个图像，其中能表示以A为定义域，B为值域的函数是 （ ） 5．下列四组函数中，同组的两个函数是相同的函数是（　　） A．，g（x）＝x B．，g（x）＝x C．，g（x）＝x D．，g（x）＝x 【分析】判断两个函数的定义域以及对应法则是否相同即可． 【解答】解：，g（x）＝x，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数； ＝x，g（x）＝x，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是相同函数． ，g（x）＝x，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数； ，g（x）＝x，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，所以不是相同函数； 故选：B． 【点评】本题考查相同函数的判断，是基础题． 题型2：求函数值 【例5】已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】直接代入求解即可. 【解析】因为，则， 故选：B. 【例6】已知函数，那么（    ） A．32 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数，采用赋值法求解的值即可. 【解析】因为，所以当时， 则. 故选：B. 【例7】已知函数，且，则a＝ ． 【答案】16 【分析】根据函数值列出方程求出自变量的值. 【解析】因为，， 所以，解得：a＝16． 故答案为：16 【例8】若函数f(x)=ax2-1，a为正常数，且f(f(-1))=-1，则a的值是 . 【答案】1 【分析】先求得f(−1)的值，然后代入f(f(−1)=−1中，解方程求得a的值. 【解析】∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1，f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.∴a3-2a2+a=0，∴a=1或a=0(舍去).故a=1. 故答案为：1. 【点睛】本小题主要考查函数的概念，利用函数的对应法则列出方程，可求得相应的a的值，属于基础题. 【跟踪训练】 1．已知函数，则的值等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据函数的概念求函数值. 【解析】因为函数，所以， 所以， 故选:D. 2．已知函数满足，则等于（    ） A．1 B．6 C．24 D．120 【答案】C 【分析】根据，逐一代入即可求解. 【解析】由得， 故选：C 3．已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，进而可解得实数的值. 【解析】已知函数，若，则，解得. 故答案为：. 4．已知函数，分别由下表给出： x 1 2 3 2 3 1 x 1 2 3 3 2 1 则方程的解为 . 【答案】3 【分析】根据表中数据对应可得. 【解析】由表可知，，，又，. 故答案为：3. 题型3：函数定义域 1、具体函数类型 【例9】函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分式和二次根式的性质进行求解即可. 【解析】由题意可知：， 所以该函数的定义域为， 故答案为： 【例10】函数定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【解析】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 【例11】函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式即可得出需满足的表达式，解得的定义域为. 【解析】要使有意义，则，解得，且； 即，且， 所以的定义域为. 故答案为： 2、抽象复合型 已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域： ①若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出； ②若复合函数的定义域为，则的定义域为在上的值域． 【例12】1.已知的定义域为［1，2］，求的定义域。 2.若函数的定义域为，则函数的定义域是 3.若函数的定义域为，则函数的定义域是 ； 【例13】1.若函数的定义域是，则函数的定义域为______ [答案]: 的定义域是，中的变量为，故 ，故 2.若函数的定义域是，则函数的定义域是（B ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若函数的定义域为，则函数的定义域为________ 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义的求法，得到，即可求得函数的定义域. 【解析】因为函数的定义域为，所以，即且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】整体在范围内，同时注意保证，最后求出交集即可得解. 【解析】因为函数的定义域为， 所以 解得． 则函数的定义域为， 故答案为：. 4．已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果. 【解析】因为函数的定义域为，所以； 即函数的定义域为； 由解得， 因此的定义域为. 故答案为： 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答. 【解析】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 3、根据函数的定义域确定参数的范围 【例14】已知，若定义域是，求实数的范围。 [答案]: 由题意，对任意，都有恒成立。 当时，，不符合题意； 当时， 故，实数的取值范围是。 【例15】若函数f(x) = 的定义域为R，求实数k的取值范围 解：若k=0，则函数的定义域为R；若k≠0，则对任意x∈R，kx2+4kx+3≠0，从而，△＜0，解得0＜k＜．从而所求k的取值范围为{k|0≤k＜}． 变式：若函数的定义域为R，则_______(答：)； 【跟踪训练】 1、若函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，求实数a的取值范围． 分析 由函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R知：x2+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)= x2+ax+1为二次函数，函数值恒正，故可利用“△”法求解． 解 因函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，故x2+ax+1＞0对x∈R恒成立，而f(x)= x2+ax+1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a2-4＜0，解得 -2＜a＜2，它便是所求的a的取值范围． 2.函数＝的定义域为，则的取值范围是 【答案】 4、应用问题的函数定义域 【例16】已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系即可得到函数的定义域. 【解析】由题知：，， 根据三角形三边关系得到， 所以函数的定义域为. 故选：A 【例17】2024年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示. （1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； （2）根据图象，求这一天12时所对应的温度. 【答案】（1）定义域为，值域为；（2）. 【解析】（1）由图可知，定义域为时间，值域为温度； （2）根据图象，12时位于11时至14时对应的直线段上，由此计算12时所对应的温度. 【解析】（1）由图可知，设从今日8点起24小时内，经过时间t的温度为， 则定义域为，值域为. （2）由图知，11时的温度为，14时的温度为， 12时的温度约为. 【点睛】本题考查函数图象与性质，通过函数图象确定函数定义域、值域、特殊点函数值，属于基础题. 【例18】设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域. 【答案】定义域为，值域为. 【分析】结合图形，求出高和上底、下底的长，写出横截面的面积的解析式，求出它的定义域和值域. 【解析】如图，连接，过分别作的垂线，垂足为， 因为，所以，即， 因为， 所以，所以， ， ， 故当时，y有最大值， 故它的定义域为，值域为. 【点睛】本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真分析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题. 题型4：函数的值域 1、观察法 使用情景：函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成。 解题步骤：利用这些特殊函数的性质,结合不等式性质推导出函数的值域 【例19】求函数y=的值域。 【例20】函数的值域是 【例21】函数 ( ) (A) (- (B) ( (C) (-1,+ (D) (- 2、配方法 使用情景：一般是二次函数或可以化为二次函数的函数 解题步骤：一般先对二次函数配方，再画图观察得到函数的值域。 【例22】求函数在下列定义域内的最值及值域。 （1） (2) (3) 【例23】函数在区间上的值域为，则的值为（ ） 或 【例24】已知f(x)=,当(）时，求f(x)的最大值 【例25】已知二次函数的最大值为,最小值为，求-的值。 【例26】已知函数f(x)=在区间上的最小值是3m，最大值是3n，求m,n的值。 3、分离常数法 使用情景：函数是对称的分式y=或y= 解题步骤：先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数。 【例27】； 分离变量法：， ∵，∴， ∴函数的值域为。 【例28】求的值域，并做出图形。 解：且 且 且 4、换元法 使用情景： 解题步骤：一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域。 【例29】； 解：换元法（代数换元法）：设，则， ∴原函数可化为，∴， ∴原函数值域为． 说明：总结型值域，变形：或 【例30】（1） 解：（1）令 5、基本不等式法 使用情景：利用基本不等式，尤其注意形如型函数）。其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式为积时求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 解题步骤： 【例31】求的值域，并做出其图像。 解：当x>0，∴=， 当x<0时，=－ ∴值域是[2，+)（此法也称为配方法） 函数的图像为： ∴值域是[2，+) 【例32】 解：先求函数的定义域 ( 设 u x x x x x x x x x 2 2 2 5 1 1 4 1 1 4 1 2 1 4 1 4 ( ) ) ( ) ( ) 【例33】； 解：， ∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为． 题型5：函数的表示 【例34】1.设，求. 2.已知为一次函数，满足，求函数的解析式。 3.已知为二次函数，且对任意都有，求函数的解析式。 4.已知,求函数的解析式。 5.已知,求函数的解析式。 6.已知满足，求． 【跟踪训练】求下列函数的解析式： （1） 若,求 （2） 已知是一次函数，且满足，求 （3） 已知满足关系式，求 （4） 已知函数，则 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 题型6：综合压轴 【例35】已知函数f（x）=． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）①若1﹣a2=0，则a=±1． （Ⅰ）当a=1时，，定义域为R，符合要求． （Ⅱ）当a=﹣1时，，定义域不为R． ②若1﹣a2≠0，g（x）=（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6为二次函数， ∵f（x）定义域为R， ∴g（x）≥0对任意x∈R恒成立． ∴． 综合①②得，实数a的取值范围是 （2）∵f（x）的值域为[0，+∞）， ∴函数 g（x）=（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6取一切非负实数． ∴． 当a=﹣1时，的值域是[0，+∞），符合题意． 故所求实数a的取值范围是． 【例36】设函数f（x）=，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）． （1）求函数f（x）=的值域； （2）若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）当x=0时，f（x）=0， 当x≠0时，f（x）==， 若x＞0，则f（x）=（当且仅当x=1时取“=”）， 若x＜0，则f（x）=（当且仅当x=﹣1时取“=”）． ∴函数f（x）=的值域为{y|﹣1≤y≤1}； （2）由（1）得：A={f（x）|x∈R}=[﹣1，1]， 又B={g（x）|x∈[0，1]}=[5﹣2a，5﹣a]． 依题意A⊆B，即， 解得：3≤a≤4， ∴实数a的取值范围是[3，4]． 【例37】作出函数y=|2|1﹣x|﹣2|的图． 【解答】解：y=|2|1﹣x|﹣2|=， 图象如图所示 　 【跟踪训练】 1．已知函数f（x）=； （1）若f（x）的定义域为 （﹣∞，+∞），求实数a的取值范围； （2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围． 【解答】（1）依题意可得：（a2﹣1）x2+（a+1）x+1≥0对一切x∈R恒成立； 当a2﹣1=0时，即a=1或a=﹣1； ①10a=1：； ②20a=﹣1：1≥0，显然符合； 当a2﹣1≠0时，即a≠1且a≠﹣1；， 解得：， ∴a＜﹣1或． 由①②得： （2）依题意可得：只要t=（a2﹣1）x2+（a+1）x+1能取到所有的正数； ①当a2﹣1=0即a=1或a=﹣1 10a=1， 所以a=1符合 a=﹣1不符合． ②当a2﹣1≠0时，即a≠1且a≠﹣1时， ； 故由①②1≤a≤． 2．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|． （Ⅰ）画出函数f（x）的图象； （Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数m≠﹣1，求实数x的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由零点分段法， 得f（x）=， 函数f（x）的图象如图所示： （Ⅱ）≤=2， 当且仅当（3m+1）（1﹣m）≤0， 且|3m+1|≥|1﹣m|，m≠﹣1， 即m≥1或m＜﹣1时，取等号， 由不等式f（x）≥对任意实数m≠=﹣1恒成立，得|x+1|﹣|x﹣3|≥2， 由（Ⅰ）中图象，可知x≥2， 所以实数x的取值范围是{x|x≥2} 一、填空题 1．下列各式中是的函数的解析式有 个. ①，②，③，④ 【答案】①、②、③ 2．（2025·上海南汇中学高一期末）若函数，，则的定义域为________． 【答案】 【解析】函数的定义域是，函数的定义域是， 所以函数的定义域是. 故答案为： 3．（2022·上海·上外附中高一期中）已知函数满足，则__________． 【答案】10 【分析】整体代换求解，即可得到结果. 【详解】令得， 所以，. 故答案为：10. 4．（2022·上海市文建中学高一期中）函数的定义域为____________． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，求解分式不等式即可求得结果. 【详解】要使得函数有意义，则，即，且， 解得，故的定义域为. 故答案为：. 5．（2022·上海市光明中学高一开学考试）设（、为常数），若，则______ 【答案】40 【分析】根据题意，求解相应函数值，利用等量代还，可得答案. 【详解】由题意，则，即， 由， 故答案为：40. 6．（2024·上海市大同中学高一阶段练习）函数的定义域为___________. 【答案】 【分析】根据指数、根式、分式的性质有，即可求定义域. 【详解】由题设，，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为： 7．（2022·上海·格致中学高一期末）已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域） 【答案】 【分析】根据题意得，再结合两边之和大于第三边，底边长大于得，进而得答案. 【详解】解：根据题意得， 由三角形两边之和大于第三边得， 所以，即， 又因为，解得 所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为 故答案为： 8．（2025·上海市中国中学高一阶段练习）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】结合已知条件可知，对恒成立，利用二次函数图像性质即可求解. 【详解】由题意可知，对恒成立， 又因为的图像开口向上， 所以的图像与轴最多只有一个交点， 从而，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（2025·上海·高一专题练习）求函数的值域______________． 【答案】 【分析】由解析式知函数的定义域为，将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为，且， ∴整理可得：，即该方程在上有解， ∴当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， ∴综上，有函数值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由解析式求函数定义域并将函数转化为方程形式，求值域问题转化为方程在上有解. 10．函数对任意实数、，均满足，且，则__________ 【答案】 【分析】本题首先可通过令得出，然后令、得出，再然后令得出，即可得出，最后通过累加法即可得出结果. 【详解】令，则，即， 令，，则， 令，则，解得， 故，，， 则，，，， 将上述式子相加，可得，即， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求函数值，可通过取特殊值的方式发现函数中包含的关系式，能否通过取特殊值得出是解决本题的关键，考查累加法的应用，是中档题. 11．（2024·上海市甘泉外国语中学高一期中）设x∈R，则不等式的等号成立时x的取值范围为 ___． 【答案】 【分析】令，解即得. 【详解】由得， 令，则 ， 由可得，. 故答案为：. 12．（2025·上海·高一单元测试）函数的定义域为，其图像如图所示，若的反函数为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集. 【详解】根据函数图象可得图象经过， 所以， ，得， 所以的反函数 不等式， 即， 解得： 故答案为： 【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式. 二、选择题 13．（2022·上海·高一专题练习）下列等量关系中，是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数定义进行判断即可. 【详解】解：对于A，当x＝0时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项A错误； 对于B，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项B错误； 对于C，满足函数的定义，故选项C正确； 对于D，当x＝2时，y＝±2，不符合函数的定义，故选项D错误. 故选：C. 14．（2024秋•长宁区校级期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A．f（x）＝，g（x）＝x﹣1 B．f（x）＝x﹣1，g（t）＝t﹣1 C．f（x）＝log3x2，g（x）＝2log3x D．f（x）＝x，g（x）＝ 【分析】根据函数的定义域、对应关系和值域进行判断即可． 【解答】解：A．∵f（x）＝＝|x﹣1|，与g（x）的对应关系不同，∴不是同一函数； B．f（x）与g（x）的定义域、对应关系和值域都相同，所以是同一函数； C．∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，g（x）的定义域为{x|x＞0}，∴不是同一函数； D..∵f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数； 故选：B． 【点评】只有两函数的定义域、对应关系和值域完全相同时才能是同一函数，属于基础题． 15．（2024·上海市行知中学高一阶段练习）与命题“函数的定义域为”等价的命题不是（    ） A．不等式对任意实数恒成立 B．不存在，使 C．函数的值域是的子集 D．函数的最小值大于0 【答案】D 【分析】利用等价命题的定义进行分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 不等式对任意实数恒成立； 不存在，使； 函数的值域是的子集； 函数的最小值大于等于； 故选：D. 16．（2025·上海·高一单元测试）在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为 A．B．C． D． 【答案】B 【解析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像. 【详解】因为，所以其对应图象为B, 故选：B 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题. 三、解答题 17．（2022·上海·高一专题练习）求下列函数的值域． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用基本不等式即可求得函数的值域，第2小问要注意分类讨论的正负情况. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即值域为. （2）当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以； 当时， 当且仅当，即时，等号成立， 所以； 综上：或，即值域为. 18．（2024·上海·高一）已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值. 【答案】1997. 【分析】由可得，知，所以，所以是以8为周期的周期函数，由此能求出的值. 【详解】因为，显然， 所以， 所以 故是以8为周期的周期函数， 从而. 【点睛】方法点睛：该题该题考查的是有关函数的问题，解决这类问题的方法就是紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数的周期性，利用周期性使问题巧妙获解. 19．（2024·上海·高一专题练习）已知函数. （1）求，的值； （2）求证是定值； （3）求：的值. 【答案】（1）1；1；（2）1；（3）. 【分析】（1）由，将代入计算求解. （2）由，将代入计算求解. （3）根据（2）的结论，由原式的规律和的个数计算求解. 【详解】（1）因为， 所以，； （2）； （3）由， 所以， ， 【点睛】关键点点睛：本题关键是论证的值. 20．（2025·上海市大同中学高一阶段练习）已知函数. （1）求的值； （2）当的定义域为时，求的值域； （3）设函数，若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）0. 【解析】（1）根据解析式直接代入计算即可求得答案； （2）由于，再根据题意得，进而得的值域； （3）当时，，再分和两类情况讨论即可答案. 【详解】解：（1） （2）函数 当时， 于是 得值域为. （3）当时， 当时， 则函数在上单调递增 当时， 则函数在且时单调递减 综上可得：当时，的最小值是. 【点睛】本题考查分式函数的值域求解，二次函数的最值问题，考查运算能力，是中档题. 21．（2025·上海·高一专题练习）已知函数． （1）求函数的定义域和值域； （2）设（a为实数），求在时的最大值； （3）对（2）中，若对所有的实数a及恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）定义域为，值域为；（2）；（3）或或． 【解析】（1）按公式求出定义域后，对进行平方，求出的值域，即可求出的值域；（2）化简，令，即可将转化为，利用二次函数求最值的方法讨论即可求出的最小值；（3）因为对恒成立，先求出，去掉参数，再将作为变量求解的范围即可. 【详解】解：（1）由且，得，所以定义域为，       又，， ，，由得值域为．      （2）因为       令，则，       ，       由题意知在时的最大值即为函数，的最大值． ①若，即，则       ②若，即，则       ③，即，则       综上，       （3）易得， 由对恒成立， 即要使恒成立，       ，令，对所有的，成立， 只需，求出m的取值范围是或或． 【点睛】本题考查求函数的定义域和值域，考查分类讨论求二次函数的最值以及恒成立求参数的范围，涉及整体换元和变换主元的解题方法，考查学生分析问题和转化问题的能力，属于难题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 -2 -1 2 y x 1 -2 -1 2 y x 1 1 2 o -2 -1 2 y x 1 1 2 o -2 -1 2 y x 1 1 2 o $