5.1.1 函数的概念、性质及应用（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念、三要素及应用，通过气温变化、话费套餐等生活情景导入，结合正比例函数、对数函数等知识回顾，引导学生从具体实例抽象出函数定义，构建“初中变量关系—高中集合对应”的知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察生活现象提炼函数本质，通过典例分析和变式训练培养数学思维，用集合语言规范表述函数要素。采用“情景—探究—应用”教学模式，课堂小结结构化梳理核心内容，助力学生深化概念理解与解题能力，也为教师提供系统备课资源。

5.1.1 函数 第一章 函数的概念、性质及应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 2 学 习 目 标 1 在初中变量说的基础上，能归纳抽象出函数的概念，认识函数的本质. 2 能用集合对应的语言描述函数的概念. 3 初步理解函数的抽象符号表示. 4 了解函函数三要素，并能计算初等函数的三要素. 重点 函数的基本定义及表示 难点 函数的定义域、值域和对应关系 重难点分析 4 引言 在初中和上一章中,我们已学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数及对数函数,这些函数的共同点是有两个变量,当其中的一个变量在某个范围内变化时,另一个变量就按照某种规则随之变化.这种一个变量随着另一个变量的变化而变化的对应关系,在数学上就称为函数.在对二次函数、幂函数、指数函数与对数函数的研究中,已经可以看到不同的函数间有一些共同的性质,本章将概括有关函数的一些比较重要的性质,并用严格的数学语言加以描述. 5 函数是刻画世间万物之间联系的有力工具,借助于函数,可以更好地掌握事物的发展规律,从而深化人们的认识.函数概念的引入,使数学本身也经历了从常量到变量、从有限到无限的发展,从而逐步由初等数学走向高等数学.学好函数,对进一步学习以后的一些数学知识,如三角、微积分等,都是非常必要的. 情景导入 6 比如我们生活中常见的气温变化：每天清晨太阳升起后，气温随着时间推移逐渐升高，到午后达到较高温度，之后又慢慢下降直至夜晚.这里 “时间” 和 “气温” 就是两个相互关联的变量，我们可以通过记录不同时刻的气温数据，用函数来描述它们之间的变化关系 —— 当确定一个具体的时间点（如上午 10 点），就能对应到唯一的气温值（如 25℃）. 情景导入 7 再比如手机话费套餐：某套餐规定每月基础费 30 元，包含 100 分钟通话时长，超过 100 分钟后每分钟收费 0.2 元，这里 “通话时长” 与 “每月话费” 也构成函数关系，给定一个通话时长，就能算出唯一的话费金额.这些生活中的实际情景，其实都蕴含着函数的核心思想，接下来我们就从这些具体情景出发，深入学习函数的概念与性质. 情景导入 8 我们已经学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数及对数函数等. 例如,对于正比例函数𝒚=𝟐𝒙,变量𝒙的取值范围是𝑹,其对应关系是将一个实数对应到它的2倍.当变量𝒙=𝟏时,对应得到唯一的值𝒚=𝟐×𝟏=𝟐；当变量𝒙=−𝟑时,对应得到唯一的值𝒚=𝟐×(−𝟑)=−𝟔；当变量𝒙取遍一切实数时,对应得到所有的实数𝒚. .(1,2) .(-3,6) 知识回顾 9 又如,对于对数函数,变量的取值范围是,其对应关系是将中的实数对应到它的以3为底的对数.当变量时,对应得到唯一的值；当变量时,对应得到唯一的值；当变量取遍一切正数时,对应得到所有的实数. .(1,0) .(,-1) 知识回顾 10 在这些例子中,都出现了两个处于变化之中的量,其中一个量之值随另一个量之值的确定而按一定的对应关系唯一确定,从而随着另一个量在一定范围内的变化而相应地发生变化.在用数学工具解决实际问题的过程中,我们还会遇到其他一些类似的情况,由此可抽象出函数的概念. 知识回顾 11 【定义】：设是一个非空的实数集,如果按照某种确定的对应关系,使对集合中的任意给定的,都有唯一的实数与之对应,就称这个对应关系为集合上的一个函数(function),记作. 其中,叫做自变量(independent variable),其取值范围(数集)称为该函数的定义域(domain). 此时,就称是的函数.当自变量取值时,由对应关系所确定的对应于的值,称为函数在处的函数值,记作. 所有函数值组成的集合称为这个函数的值域(range). 根据函数的定义,在定义域和对应关系确定的时候,这个函数就完全被确定了,从而值域也随之被确定.因此,定义域和对应关系称为函数的两个要素. 新知探究 12 在之前学习具体的函数,如幂函数、指数函数及对数函数的时候,我们往往只写出反映函数对应关系的表达式,如 等,而不明显地写出其定义域.此时,函数的定义域由使得其表达式有意义的全体实 数组成. 新知探究 13 在实际问题中,有关函数的定义域应该受到问题实际意义的制约.例如,某物体作自由落体运动时,其位移关于时间的函数可表示为,其中的自变量就受到的限制(是重力加速度,而表示下落的总时间). 例1：求下列函数的定义域： (1) (2) (3) 解：(1) 要使分式有意义,需满足,即,所以定义域. (2)要使对数函数有意义,需满足,即,所以定义域. 得 且. 故定义域 . 典例分析 14 除定义域外,函数的另一要素是对应关系. 如果两个函数的定义域和对应关系都完全一致,就称这两个函数是相同的. 这样,(定义域为)与)是两个不同的函数. 此外,同一个对应关系可能有不同的表述形式.例如,与实际上是相同的. 你能再举出几组对应关系一致、但表述形式不同的两个相同的函数吗？ 新知探究 15 例2：判断下列函数与函数是否相同,并说明理由： (1) (2) (3) (4) 解：(1) 负数不属于的定义域(定义域为),而定义域为,因此该函数的定义域与的定义域不同,它与不是相同的函数. (2) ,其定义域为,并且其对应关系是将任一给定的实数对应到,与的对应关系一致,因此该函数与是相同的函数. (3) 不在的定义域中(定义域为),而定义域为,因此该函数的定义域与的定义域不同,从而与不是相同的函数. (4) 的对应关系将对应到了),而将对应到,它与的对应关系不同,因此该函数与不是相同的函数. 在例2中,只有的对应关系和定义域与的相同,它们是相同的函数.根据已经学过的一些简单函数的值域,可以求得稍复杂函数的值域 典例分析 16 例3：求函数的值域. 解：该函数的定义域为.根据指数函数的性质,的取值范围为, 因而的取值范围为. 又根据不等式的性质,令,当取遍中所有数时,的取值范围为. 因此,函数的值域为. 典例分析 17 教练习材5.1(1) 1. 求下列函数的定义域： (1) (2） 函数的定义域及其求法 【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，求解不等式得答案； （2）由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解． 【解答】解：（1）由(x−2)(x+3)≥0，解得x≤−3或x≥2． ∴y=√(x−2)(x+3)的定义域为{x|x≤−3或x≥2}； （2）由{x−1≥0x−1≠1，解得x≥1，且x≠2． ∴y=11−√x−1的定义域为{x|x≥1，且x≠2}． 题型探究 题型一 18 【变式1】求下列函数的定义域 (1) ; (2) ; (3) 【解析】(1) 由题意得解得, 所以函数的定义域: {|}; (2) 由, 可得, 解得, 所以函数的定义域: {|};; (3) 由题意得, 解得, 所以函数的定义域: {|}; 变式训练 题型一 19 2. 下列四组函数中,同组的两个函数是相同函数的是( ) A. 与 B.与 C.与 D.与 判断两个函数是否为同一函数 【分析】判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样即可． 【解答】对于A，y=|x|的定义域为R，y=的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不相同，故不是相同函数； 对于B，y=x的定义域为R，的定义域为（0，+∞），两函数的定义域不相同，故不是相同函数； 对于C，y=x的定义域为R，y==x的定义域为R，两函数的定义域和解析式都相同，故是相同函数； 对于D，y=x的定义域为R，y=的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不相同，故不是相同函数． C 题型探究 题型二 20 【变式2】下面各组函数中是同一函数的是( ) A. ， B. 与 C. ， D. 与 【解答】 对于A, , , 两函数的对应关系不同, 不是同一函数; 对于B, 的定义域为R, 的定义域为R, 两函数的定义域相同, 对应关系也相同, 是同一函数; 对于C, , , 两函数的对应关系不同, 不是同一函数; 对于D, 的定义域为, 的定义域为, 两函数的定义域不同, 不是同一函数. B 变式训练 题型一 21 3. 求下列函数的值域： 求对数型复合函数的值域 (1); (2). 【分析】（1）由题意可得lgx∈R，进而可求值域； （2）配方即可求出原函数的值域． 【解答】解：（1），， ∴，∴， ∴函数的值域为． （2），该函数在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴当时，；当x=时，， ∴函数的值域为[，1]． 题型探究 题型三 22 【变式3】求下列函数的值域: (1) ( ). (2) . (3) . 【解答】(1) 当 时, , 当且仅当 , 即 时取等号, 故函数值域为; (2) 令 , 则 , , 则 , , 根据二次函数性质可知, 当 时, 函数取得最小值 , 没有最大值, 故函数值域为 ; (3) , 故函数值域为{y | y ≠ 1}. 变式训练 题型一 23 (2022·上海)下列函数定义域为R的是( ) A. B. C. D. 【解答】解：，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． ∴定义域为的是． C 高考真题 24 课堂小结 感谢聆听! 26 $