第16章整式的乘法总复习 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了整式乘法的核心知识，涵盖幂的运算、整式乘除及乘法公式，通过知识框架图将同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等法则与平方差、完全平方公式串联，构建逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于融合数学文化与实际应用，如通过杨辉三角探究二项式展开规律培养抽象能力，利用月历问题证明数量关系发展推理意识。设计分层练习，从基础计算到综合拓展，帮助学生巩固运算能力，教师可借助错题辨析与变式训练提升复习针对性。

九年级数学下册·人教版 第16章 整式的乘法总复习 知识框架 幂的运算 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn am÷an=am-n 整式的乘法 整式的除法 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 单项式除以单项式 多项式除以单项式 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 特殊形式 互逆运算 Administrator (A) - 1.幂的运算 合 作 探 究 知 识 1 知识回顾 知识精讲 （1）同底数幂的乘法： am·an=_____ (m，n都是正整数) （2）幂的乘方： (am)n=_____ (m，n都是正整数) （3）积的乘方： (ab)n=_____ (n是正整数) （4）同底数幂的除法： am÷an= _____ (a≠0，m，n都是正整数，且m＞n) （5）零指数幂：a0 =____(a≠0) am+n amn anbn am-n 1 下列运算正确的是（ ） A. a3 + a3 = a6 B. (a2)3 = a5 C. (2a)3 = 6a3 D. a8÷a2 = a6 D a3 + a3 =2a3 (a2)3 = a6 (2a)3 = 8a3 × × × √ 同底数幂相乘,底数　　，指数 　　. 不变 相加. am · an = am+n (m、n都是正整数). 归 纳 总 结 1.同底数幂的乘法法则： 2.符号表示： 知 识 1 同底数幂的乘法 3.法则的推广： am· an·..... ap = am+n+....+p （m、n、p都是正整数) 4.同底数幂乘法法则的逆用 am+n = am · an 例2 已知：am=4， an=5.求am+n 的值. 例1.计算下列各题： (4)－a3·(－a)2·(－a)3. (2)(a-b)3·(b-a)4; (3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3; (1)(2a-b)2n＋1·(2a-b)3·(2a-b)2； （2）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值; 变式.（1）已知xa=8,xb=9,求xa+b的值； （3） 3×27×9 = 32x-4,求x的值; 幂的乘方,底数　　，指数 　　. 不变 相乘 归 纳 总 结 1.幂的乘方法则： 2.符号表示： 知 识 2 幂的乘方 3.法则的推广： 4.幂的乘方法则的逆用 例1.计算： (am)n= amn　(m，n都是正整数） n为偶数 n为奇数 amn=(am)n=(an)m(m，n都是正整数） (1) (x3)4·x2 ； (2) 2(x2)n–(xn)2 ； (3)[(x2)3]7 ； (4)[(–m)3]2 ·(m2) 4. 例2 已知10m＝3，10n＝2， 求下列各式的值. (1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n． 变式：在255，344，433，522这四个幂中，数值最大的一个是哪个. 归 纳 总 结 1.积的乘方法则： 2.符号表示： 知 识 3 积的乘方 3.法则的推广： 4.积的乘方法则的逆用 例1.计算： 积的乘方,等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________. 乘方 相乘 (ab)n = anbn （n为正整数） (abc)n = anbncn （n为正整数） an·bn＝(ab)n (1) –4xy2·(xy2)2·(–2x2)3； (2) (–a3b6)2＋(–a2b4)3. 例2简便计算 (0.04)2025×[(–5)2025]2 变式： 如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值. 归 纳 总 结 1.同底数幂的除法法则： 2.转化思想 知 识 5 单项式与单项式的乘法 3.注意事项 把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 同底数幂的乘法 （1）系数相乘； （2）相同字母的幂相乘； （3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. （4）单项式相乘的结果仍是单项式 例1 已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值． 例2. 计算： （1）（－ x2y）3·（－2xy2z）2· x3z2； （2）（－3a3）2·a3＋（－4a2）·a7－（5a3）3. 变式：先化简，再求值： （－2a2b3）·（－ab2）2＋（－ a2b3）2·4b， 其中a＝2，b＝1. 归 纳 总 结 1.单项式与多项式相乘法则： 2.转化思想 知 识 6 单项式与多项式相乘 3.注意事项 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 单项式乘单项式 （1）依据：乘法分配律 （3）注意符号：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错． （2）项数相同：积的项数与多项式的项数相同. 例1 先化简，再求值： 3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)， 其中a＝－2. 变式：某同学在计算一个多项式乘以–3x2时，算成了加上–3x2，得到的答案是x2–2x＋1，那么正确的计算结果是多少？ 例2 计算： （1）（ ab2－2ab）· a； （2）－4x2·（3x2＋2x－y）. 归 纳 总 结 1.多项式与多项式相乘法则： 2.转化思想 知 识 7 多项式与多项式相乘 3.注意事项 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 单项式乘多项式 (1)漏乘; (2)符号问题; (3)最后结果应化成最简形式. 例1 计算: (1)(3x+1)(x+2)； （2）(a+3)(a-2)； (3)(x-8y)(x-y)； (4) (x+y)(x2-xy+y2). 例2. 已知(x + a)(x + b) = x2 – 13x + 36， 则a + b 的值是（ ） A. 13 B. –13 C. 36 D. –36 B 例3 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值． 归 纳 总 结 1.同底数幂的除法法则： 2.符号表示 知 识 8 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减. am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n) 例1. 计算： （1）x15÷x6； （2）（－xy）7÷（－xy）2； （3）（a＋b）3÷（a＋b）2. 解：原式＝x15－6 ＝x9. 解：原式＝（－xy）7－2 ＝（－xy）5 ＝－x5y5. 解：原式＝（a＋b）3－2 ＝a＋b. 归 纳 总 结 3.公式的推广 4.公式的逆用 知 识 8 同底数幂的除法 例2：若2m＝6，2n＝3，则2m－n的值是　（　A　） A. 2 B. 3 C. 18 D. 9 [变式] 已知ax＝2，ax＋y＝12， 则ax－y＝ ⁠. A 　 归 纳 总 结 5.数的零次幂 知 识 8 同底数幂的除法 a0 =1(a ≠0) 任何不等于0的数的0次幂都等于1. 例3. 已知（x－1）0＝1， 则x的取值范围是 ⁠. x≠1　 变式1：若3m·3n＝1， 求m＋n的值。        变式2:若（3a－2）3a＋1＝1， 求a的值。 归 纳 总 结 1.单项式除以单项式法则 知 识 9 单项式除以单项式 单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式； 对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式. 2.结果的理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂 底数不变， 指数相减. 保留在商里 作为因式. 被除式的系数 除式的系数 例1. 计算： （1）（－m）2·m＋6m4÷2m＋（－2m）3； （2）（ xy）2·（－12x2y2）÷（－ x3y）； （3）18a6b4÷3a2b＋a2·（－5a2b3）. 解：原式＝m2·m＋3m3＋（－8m3） ＝m3＋3m3－8m3＝－4m3. 解：原式＝ x2y2·（－12x2y2）÷（－ x3y） ＝－ x4y4÷（－ x3y）＝xy3. 解：原式＝6a4b3－5a4b3 ＝a4b3. 归 纳 总 结 1.多项式除以单项式法则 知 识 10 多项式除以单项式 2.结果的理解 多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 . 单项式 每一项 相加 (1)先确定商的每一项的符号，它是由多项式的每一项的符号与单项式的符号决定的； (2)相除的过程中不要漏项，多项式除以单项式的结果仍然是一个多项式． 例2 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2025，y＝2024. 例1 计算： （1）[(3a＋2b)(a＋2b)－b(4a＋4b)]÷2a . (2)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3； (3)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)． 例3 已知2a－b＝6，求代数式 [(a2＋b2)＋2b(a－b)－(a－b)2]÷4b的值. 知 识 11 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. （1）左边是两项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数 （2）右边是两项的平方差，即相同项的平方减去互为相反数项的平方 合 作 探 究 1.平方差公式法则 2.公式 3.特征 例1 计算： (1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y). (3)(3x－5)(3x＋5)； (4)(－2a－b)(b－2a)； (5)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 例2 计算: (1) 102×98; (2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2) . 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 合 作 探 究 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 1.（乘法）完全平方公式法则 2.公式 3.巧计 “首平方，尾平方，积的2倍随便放，积的符号，中间定” （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 知 识 12 完全平方公式 例1：利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2； (3)(–3a＋b)2. 例2：运用完全平方公式计算： （1）982； （2）70.52 . 变式：利用乘法公式计算： (1)982–101×99； (2)20252–2025×4048＋20242. 合 作 探 究 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 1.（乘法）完全平方公式法则 2.公式 3.巧计 “首平方，尾平方，积的2倍随便放，积的符号，中间定” （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 知 识 12 完全平方公式 例3 已知x–y＝6，xy＝–8. 求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. 变式. （1）已知m＋n＝12，mn＝32， 则m2＋n2＝ ⁠； （2）已知xy＝1，x－y＝－4， 则x2＋3xy＋y2＝ ⁠； （3）已知a，b满足a－b＝1，ab＝2， 则a＋b＝ ⁠； （4）已知（a＋b）2＝7，（a－b）2＝3， 则ab＝ ，a4＋b4＝ ⁠. 80　 21　 ±3　 1　 23　 合 作 探 究 1.（乘法）完全平方公式法则 2.公式 知 识 12 完全平方公式 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. a + b + c = __________； a – b – c = __________. a + (b + c) a – (b + c) 例. 运用乘法公式计算： （1）（x＋y＋k）（x＋y－k）； （2）（a－b＋c）2； （3）（a－2b＋3c）（a＋2b－3c）. 变式. 运用乘法公式计算： （1）（3x＋2y－2）（－2－3x－2y）； （2）（a－b－1）（a＋b－1）－（a－b－1）2. 知 识 13 杨辉三角 1. 阅读材料，解答下列问题： [数学文化]我国古代数学的许多创新与发展都曾位居世界前列，其中“贾宪三角”就是一例.如图1，这个三角形两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和，它给出了（a＋b）n（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在“贾宪三角”中，第3行的3个数1，2，1恰好对应着（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的各项的系数.类似地，通过计算可以发现：第4行的4个数1，3，3，1恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的各项的系数.由此可见，“贾宪三角”可以看作是对两数和的乘方规律的解释. [问题解决] （1）根据上面的规律可得，（a＋b）5的展开式中共有 项，其中a3b2项的系数为 ⁠； （2）请结合图2中的展开式计算： （x＋2）3＝ ⁠； 6　 10　 x3＋6x2＋6x＋8　 知 识 13 杨辉三角 1. 阅读材料，解答下列问题： [数学文化]我国古代数学的许多创新与发展都曾位居世界前列，其中“贾宪三角”就是一例.如图1，这个三角形两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和，它给出了（a＋b）n（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在“贾宪三角”中，第3行的3个数1，2，1恰好对应着（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的各项的系数.类似地，通过计算可以发现：第4行的4个数1，3，3，1恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的各项的系数.由此可见，“贾宪三角”可以看作是对两数和的乘方规律的解释. [问题解决] （1）根据上面的规律可得，（a＋b）5的展开式中共有 项，其中a3b2项的系数为 ⁠； （2）请结合图2中的展开式计算： （x＋2）3＝ ⁠； 6　 10　 x3＋6x2＋6x＋8　 （3）利用上面的规律计算： －4× ＋6× －4× ＋1. 解：∵（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， ∴原式＝（－ ）4＋4×（－ ）3＋6×（－ ）2＋4×（－ ）＋14＝（－ ＋1）4 ＝（ ）4＝ . 知 识 13 杨辉三角 2. 我国古代数学的许多创新与发展都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和，它给出了（a＋b）n（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的各项的系数. 根据上面的规律，解答下列问题： （1）图中第6行的第4个数是 ⁠； （2）若（a＋b）4＝am＋4a3b＋6a2bn＋4ab3＋b4 （m，n是常数），则m＝ ，n＝ ⁠； 10　 4　 2　 （3）已知（x＋y）3＝x3－3×2x2＋3×4x－8，则y＝ ⁠； －2 （4）若（2x－1）2 025＝a1x2 025＋a2x2 024＋…＋a2 024x2＋a2 025x ＋a2 026，求a1＋a2＋…＋a2 024＋a2 025的值. 知 识 13 杨辉三角 （4）若（2x－1）2 025＝a1x2 025＋a2x2 024＋…＋a2 024x2＋a2 025x＋a2 026，求a1＋a2＋…＋a2 024＋a2 025的值. 解：∵（2x－1）2 025＝a1x2 025＋a2x2 024＋…＋a2 024x2＋a2 025x＋a2 026， 当x＝1时， 左边＝（2×1－1）2 025＝1， 右边＝a1＋a2＋…＋a2 024＋a2 025＋a2 026， ∴a1＋a2＋…＋a2 024＋a2 025＋a2 026＝1. 当x＝0时， 左边＝（0－1）2 025＝－1， 右边＝a2 026， ∴a2 026＝－1， ∴a1＋a2＋…＋a2 024＋a2 025＝（a1＋a2＋…＋a2 024＋a2 025＋a2 026）－a2 026 ＝1－（－1）＝2. 知 识 13 杨辉三角 知 识 14 月历中的奥秘 1. 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用n×n的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为a，b，c，d（a＜b＜c＜d），计算“bc－ad”的值，探索其运算结果的规律.2025年1月的月历如图1所示，当n＝2时，小明在其中画出两个2×2的方框，通过计算发现bc－ad＝7. （1）请你再画出一个2×2的方框，通过计算说明框出的数是否符合这个规律. 解：（1）画出的2×2的方框如图所示. 4×10－3×11＝7， ∴符合这个规律（答案不唯一）. （2）请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明. 解：（2）证明：设a＝x，则b＝x＋1，c＝x＋7，d＝x＋8， ∴bc－ad＝（x＋1）（x＋7）－x（x＋8） ＝x2＋8x＋7－x2－8x＝7， 即bc－ad＝7. 知 识 14 月历中的奥秘 ②如图3，当n＝4时，若在月历中用4×4的方框框住一些数，并选出位于顶点处的4个数，直接写出“bc－ad”的值的规律. 解：（3）①bc－ad＝28.②bc－ad＝63. （3）请同学们利用小明的方法，借助2025年2月的月历，继续进行如下探究： ①如图2，当n＝3时，在月历中用3×3的方框框 住一些数，并选出位于顶点处的4个数，探究 “bc－ad”的值的规律（直接写出结论， 不用证明）； 1 2 3 （4）通过以上的探究过程，请你写出“bc－ad”的运算结果的一般规律（用含n的式子表示）. 解：（4）“bc－ad”的运算结果的一般规律为 bc－ad＝7（n－1）2. 2. （2025·大连中山区期末）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律. （1）2025年1月的月历如图1所示，我们用如图2所示的“N”字形框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，最后将两积作差.例如，10×12－17×5，20×22－27×15，不难发现，这两个代数式的计算结果都等于 ⁠. 35　 （2）设“N”字形框架中位置C上的数为x，请利用整式的运 算对（1）中的规律加以证明. 解：（2）证明：∵位置C上的数为x， ∴位置B上的数为x－1，位置D上的数为x＋1， 位置A上的数为x＋6，位置E上的数为x－6， ∴（x－1）（x＋1）－（x＋6）（x－6） ＝x2－1－（x2－36） ＝x2－1－x2＋36 ＝35. 知 识 14 月历中的奥秘 知 识 14 月历中的奥秘 （3）在2025年某月的月历中，用正方形框架框住如图3所示的阴影部分的9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为225，设中间位置上的数为y，求y的值. 解：（3）由月历可知框出的9个位置上的数中，正方形框架左 上角的数最小，右下角的数最大. ∵中间位置上的数为y， ∴正方形框架中左上角的数为y－8，右下角的数为y＋8， ∴最大的数为y＋8，最小的数为y－8， ∴（y＋8）（y－8）＝225， ∴y2－64＝225，∴y2＝289，∴y＝±17. ∵月历中的数y＞0， ∴y＝17. 知 识 15 和为定值的两数积的规律 （1）观察下列每组中两个数的积，通过计算找出哪两个数的积最大，它们有什么规律？ ①25×25，26×24，27×23，28×22，…，49×1； ②99×1，98×2，97×3，96×4，…，50×50. ②99×1＝99，98×2＝196，97×3＝291，96×4＝384，…，50×50＝2 500. 在第①组中，25×25的积最大，在第②组中，50×50的积最大. 规律：若两个数的和为定值，则两个数的差越大，它们的积越小，当两数相等时，它们的乘积最大. 解：（1）①25×25＝625，26×24＝624，27×23＝621，28×22＝616，…，49×1＝49. 利用你发现的规律解决下列问题： （2）若一个长方形的周长为20 cm，则它的面积的最大值为 cm2. （3）若m，n为任意实数，则代数式（m－2n）（8－m＋2n）的最大值是 ，此时m和n之间的数量关系是 ⁠ ⁠. 25　 16　 m＝2n＋4　 课堂小结 通过本节课的复习，你有哪些收获？ THANKS $