第1章 二次函数 单元培优检测题 2025-2026学年湘教版 数学九年级下册

《二次函数》单元培优检测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A．y＝x+2 B．y＝x2﹣3 C．y＝2x﹣1 D． 2．抛物线的对称轴是直线（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1 3．已知（﹣2，y1），（1，y2），（3，y3）是抛物线y＝（x﹣1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 4．已知关于x的函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A． B．k且k≠0 C． D．且k≠0 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（4，n）．若m＜n，则下列判断正确的是（　　） A．当a＞0时，a+b＞0 B．当a＞0时，a+b＜0 C．当a＜0时，a+b＞0 D．当a＜0时，a+b＜0 6．已知关于x的二次函数y＝a（x+1）（x﹣2），则下列说法不正确的是（　　） A．当x≤0时，y随x的增大而增大，则a＜0 B．当x≥2时，y随x的增大而增大，则a＞0 C．当a＜0时，点（﹣1，y1），（3，y2）在函数图象上，则y1＞y2 D．当a＞0时，点（﹣1，y1），（3，y2）在函数图象上，则y1＞y2 7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（　　） A．B． C． D． 8．某运动员踢出的足球的飞行路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为20m； ②足球被踢出9s时落地； ③足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．34° B．44° C．54° D．64° 10．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，线段PQ在抛物线的对称轴上移动（点Q在点P下方），且．当AQ+CP的值最小时，点Q的坐标是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（每题4分，共28分） 11．若是二次函数，则m＝ 　 　 ． 12．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为 　 　 ． 13．把抛物线y＝2（x﹣4）2+3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新的抛物线的顶点坐标为　 　 ． 14．小刚在探索一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是　 　 ． x 0 0.5 1 1.5 2 x2+12x﹣15 ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 15．某商品现在的售价为每件60元，每虽期可卖出300件，市场调查发现：每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，设涨价x元，每星期利润为y元，则y关于x的函数解析式为　 　 ． 16．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 　 　 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1为函数y＝﹣x2+mxm2+m的图象，抛物线C2为函数y＝x2﹣2mx+m2﹣m的图象（m＞0），C1与x轴交于点A，B，C2与x轴交于点C，D，当CB＝BD时，m为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，共62分） 18．已知二次函数y＝x2+bx+c的顶点是（2，﹣1）并且过（0，3）． （1）该二次函数的图象开口 　 　 ，对称轴为 　 　 ； （2）求出该二次函数的解析式； （3）求该二次函数与x轴的交点坐标，并直接说出当y＞0时，x的取值范围 　 　 ． 19．某超市以每千克36元的价格购进莲雾，计划以每千克56元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种莲雾的销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若超市想获利为w元，超市要想获得最大的利润，则莲雾每千克应降价多少元？ 20．已知二次函数y＝x（x﹣m）（m为常数）． （1）若二次函数有最小值﹣4，求m． （2）已知点A（﹣2，2），B（4，2），连接AB．若该二次函数图象与线段AB有2个公共点，结合函数的图象，直接写出对应的m的取值范围． 21．某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题．下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应地任务： 关于根的判别式的探究 素材 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值．比如：求x2+2x+5的最小值，令y＝x2+2x+5，得x2+2x+（5﹣y）＝0，则Δ＝22﹣4×1×（5﹣y）≥0，解得y≥4，所以x2+2x+5的最小值为4．这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求4x2+4x﹣2的最小值； 任务2 探索新知：若关于x的二次三项式x2+ax+2（a为常数）的最小值为﹣2，求a的值； 任务3 应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为400平方米的花圃， ①设需要用的篱笆是l米，AD＝x米，用含l和x的代数式表示AB的长为米； ②需要用的篱笆最少是多少米？ 22．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小静恰在点C（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2：的一部分． （1）抛物线C1的最高点坐标为 　 　 ； （2）求a，c的值； （3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为 　 　 ． 23．新定义：若函数图象一定过点（m，n），我们称（m，n）为该函数的“永固点”．如：一次函数y＝k（x﹣2）（k≠0），无论k值如何变化，该函数图象一定过点（2，0），则点（2，0）称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数y1＝﹣mx+3m（m＞0）的“永固点”的坐标是 　 　 ； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是 　 　 ，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是 　 　 ； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线y1＝﹣mx+3m（m＞0）的距离为d1，点P到直线y1＝﹣mx+3m（m＞0）的距离为d2，请问是否为定值？如果是，请求出的值：如果不是，请说明理由． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接AC，BC，直线BC上方的抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，连接AC，将△OAC绕着点O顺时针旋转，记旋转过程中的△OAC为△OA′C′，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′．当点A′刚好落在线段AC上时，将△OA′C′沿着直线BC平移，在平移过程中，直线OC′与抛物线对称轴交于点E，与x轴交于点F，设点R是平面内任意一点，是否存在点R，使得以B、E、F、R为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C D C B B B 二．填空题 11．2． 12．1． 13．（3，1）． 14．1． 15．y＝（x+20）（300﹣10x）． 16．a． 17．4． 三．解答题 18．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点是（2，﹣1）， ∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2． 故答案为：向上；直线x＝2． （2）由题意得，， 解得， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3． （3）令x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）． 画出二次函数y＝x2﹣4x+3的图象如图所示， 由图象可知，当y＞0时，x的取值范围为x＜1或x＞3． 故答案为：x＜1或x＞3． 19．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（2，90），（5，150）代入得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+50（0＜x＜20）； （2）根据题意得：w＝（56﹣x﹣36）（20x+50）＝﹣20x2+450x+1000＝﹣20（x﹣11.25）2+3531.25 ∵﹣20＜0， ∴当x＝11.25时，w有最大值，最大值为3531.25 ∴莲雾每千克应降价11.25元． 20．解：（1）∵y＝x（x﹣m）（m为常数）， ∴图象与x轴的交点为（0，0），（m，0）， ∴对称轴为直线x， ∵二次函数有最小值﹣4， ∴（m）＝﹣4， 解得m＝±4； （2）如图，抛物线开口向上，过原点， ∵点A（﹣2，2），B（4，2），该二次函数图象与线段AB有2个公共点， ∴， 解得﹣1≤m． 21．解：任务1：令y＝4x2+4x﹣2得4x2+4x﹣（2+y）＝0， 则Δ＝42﹣4×4×[﹣（2+y）]＝16+32+16y＝48+16y≥0， 解得y≥﹣3， 所以4x2+4x﹣2的最小值为﹣3； 任务2：由题意，令y＝x2+ax+2， ∴x2+ax+2﹣y＝0， ∴Δ＝a2﹣4×1×（2﹣y）≥0， ∴y， 又∵y最小值为﹣2， ∴2， ∴a＝±4； 任务3：①设AD＝x米，则AB＝（l﹣4x）米； ②根据题意得：x（l﹣4x）＝400， 整理得：4x2﹣lx+400＝0， ∴Δ＝l2﹣4×4×400≥0， ∴l≥80， ∴需要用的篱笆最少是80米． 22．解：（1）由题意，∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴抛物线 C1 的最高点坐标为的（3，2）． 故答案为：（3，2）． （2）由题得，B（6，1）． 将B（6，1）代入抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴． ∴抛物线C1：y（x﹣3）2+2． ∴当x＝0时，y＝c＝1． （3）∵小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B的坐标范围是（5，1）～（7，1）， 当经过（5，1）时，1255+1+1， 解得：n． 当经过（7，1）时，1497+1+1， 解得：n， ∴n， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 23．解：初步理解：∵y1＝﹣mx+3m＝﹣m（x﹣3）， ∴无论m值如何变化，该函数图象恒过点（3，0）， ∴一次函数y1＝﹣mx+3m（m＞0）的永固点的坐标是（3，0）， 故答案为：（3，0）； 理解应用：， 当x＝3或x＝﹣1时，y＝0， ∴无论m值如何变化，恒过定点（3，0）和（﹣1，0）， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 故答案为：（﹣1，0），（3，0）； 知识迁移：为定值． ∵， ∴顶点P（1，4m），A（﹣1，0）， 作PE∥y轴交直线y＝﹣mx+3m（m＞0）于点E，作AF∥y轴交直线y1＝﹣mx+3m（m＞0）于点F， 则∠PEQ＝∠AFC，E（1，2m），F（﹣1，4m）， 分别过点P、A作直线y＝﹣mx+3m（m＞0）的垂线，垂足为Q、C，则d1＝AC，d2＝PQ，∠PQE＝∠ACF＝90°， ∴PE＝yP﹣yE＝2m，AF＝yF﹣yA＝4m， ∴△PEQ∽△AFC， ∴， 即． 24．解：（1）把 A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得： ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）直线BC上方的抛物线上存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°；理由如下： 作A（﹣1，0）关于y轴的对称点K（1，0），连接CK，过点B作BT∥CK交抛物线于Q，如图所示： ∴∠ACO＝∠KCO， ∵∠BCK+∠KCO＝45°， ∴∠BCK+∠ACO＝45°， ∵BT∥CK， ∴∠CBQ＝∠BCK， ∴∠CBQ+∠ACO＝45°， 设直线CK解析式为y＝kx+b′， 将C（0，3），K（1，0）代入可得： ， 解得， ∴直线CK解析式为y＝﹣3x+3． 设直线BT解析式为y＝﹣3x+t，把B（3，0）代入得： 0＝﹣9+t， 解得t＝9， ∴直线BT解析式为y＝﹣3x+9． 联立得：， 解得或， ∴Q（2，3）； （3）存在点R，使得以B、E、F、R为顶点的四边形是菱形；理由如下： 设直线AC解析式为y＝k′x+b″，将C（0，3），A（﹣1，0）代入得： ， 解得， ∴直线AC解析式为y＝3x+3． 设A（x，3x+3）， 又∵OA＝OA′＝1， 由勾股定理得1＝x2+（3x+3）2， 解得：x＝﹣1或， 故点． 设直线OA′的表达式为y＝k″x，将代入得： （）k， 解得： ， ∴直线OA′的表达式为． ∵OA′⊥C′O， ∴绕O点顺时针旋转90°得到（，）， ∴直线OC′的表达式为， 设直线EF的表达式为：， ∵抛物线的对称轴为：x＝1， ∴点，点，而点B（3，0）； 要使以B、E、F、R为顶点的四边形是菱形，则△EFB为等腰三角形． ①若EF＝EB，由对称性得F（﹣1，0）， 由， 解得， 此时，故； ②若EF＝BF，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，E（1，4），F（﹣2，0），此时R（6，4）； ③若 BE＝BF，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，E（1，0），F（1，0），四边形不存在，舍去； 综上，点R的坐标为：或或（6，4）或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/10 23:49:23；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $