精品解析：天津市静海区瀛海学校2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

瀛海学校2025—2026学年第一学期第一次月考高三数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义可求. 【详解】， 由题设有，故， 故选：C. 2. “成立”是“成立”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件 考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”. 故选：C 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式求特殊角的正弦值. 【详解】. 故选：D 6. 已知， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合中间值0和1比较后可得． 【详解】， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查对数与幂的大小比较，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键，对于不同类型的幂、对数比较大小时可中间值如1、0等比较． 7. 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的最小正周期为 D. 若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用代入检验法判断AB；直接求最小正周期判断C；利用三角函数的变换性质判断D. 【详解】因为， 所以，，故AB错误； 显然的最小正周期为，故C错误． 将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，D正确． 故选：D. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用“1”的代换得到关于正余弦的齐次式，再由弦化切求值即可. 【详解】由. 故选：C 10. 函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中： ①；②函数的最小正周期为； ③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称 其中正确结论的个数是（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对①，先根据图象分析出的取值范围，然后根据分析出的可取值，然后分类讨论的可取值是否成立，由此确定出的取值；对②，根据图象平移确定出的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出的单调递增区间，然后根据的取值确定出是否为单调递增区间；对④，根据的值是否为,即可判断. 【详解】解：由图可知： ， ， 即， 又，， 由图可知：， 又， ， 且， ， 故， 当时，，解得：，满足条件， ， 故， 对①，由上述可知①错误； 对②，， 的最小正周期为，故②正确； 对③，令， 即， 令，此时单调递增区间为，且，故③正确； 对④，， 不是对称中心，故④错误； 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数， 若求函数的单调递增区间，则令，； 若求函数的单调递减区间，则令，； 若求函数图象的对称轴，则令，； 若求函数图象的对称中心或零点，则令，． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 若复数z满足（i是虚数单位），则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得，因此，. 故答案为：. 12. 的展开式的常数项为________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】用诱导公式变形，然后再用余弦的二倍角公式计算． 【详解】由题意. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查诱导公式、余弦的二倍角公式、三角函数求值等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想. 14. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 15. 已知，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】计算得到，，利用换底公式计算得到答案. 【详解】，故，，，. 故答案为： 16. 已知，，，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用两角差正弦公式结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以， 因为，又因为，所以， 则. 故答案为：1. 17. 已知函数.下列结论正确的是___________.①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】先利用三角函数恒等变换有关公式，把函数化成的形式，再结合三角函数的性质判断各项内容的准确性. 【详解】因为. 对①：由函数性质，函数的对称中心的纵坐标为，故①错误； 对②：因为，是函数的最大值，故②正确； 对③：由，，得：，. 所以函数在，上为增函数. 令，得函数在上为增函数.故③正确； 对④：将函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，再把函数向上平移个单位长度，可得到的图象，即为函数的图象，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 19. 已知的内角的对边分别为，满足已知. （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 (1)根据正弦定理，将题中条件进行转化，得到，再 根据三角形内角和为以及诱导公式，即可求得角的大小； (2)利用同角三角函数关系式即可得到，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可求得结果； (3)利用三角函数面积公式即可得到的值，再利用余弦定理即可求得的值，进而得到的周长. 【详解】解：（1）， 由正弦定理得：， 即， 又 ， ， ，， 又， ； （2）由题意知：， ， 又， ； （3）， ， 由余弦定理得：， 即， 解得：， 的周长为. 【点睛】方法点睛：与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的互化. 20. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：平面，底面是矩形， 以为原点，分别为轴，建立如图所示的直角坐标系， AI 则,,． 在中，，，，，， ，，， ，，即，， 又因为，，平面，平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的垂直的坐标关系即可求解， （2）求解法向量，即可根据夹角公式求解， （3）求解平面法向量，根据点到平面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，．设平面的法向量为， 则有，令，则， 故平面的法向量可取为 平面， 为平面的法向量． 设二面角的大小为， 依题意可得， 故，二面角的大小是． 【小问3详解】 得，． 设平面的法向量为，则有， 取，，可得平面的法向量为． ， 到面的距离为． 21. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则. 为平面的一个法向量， 因为，所以，所以， 因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面. （2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. （3）利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的一个法向量， 则, 因为，， 所以， 取，则， 则. 为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瀛海学校2025—2026学年第一学期第一次月考高三数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分. 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. {2} C. D. 2. “成立”是“成立”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知， ， ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的最小正周期为 D. 若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中： ①；②函数的最小正周期为； ③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称 其中正确结论的个数是（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 11. 若复数z满足（i是虚数单位），则___________. 12. 的展开式的常数项为________.（用数字作答） 13. 若，则____________. 14. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 15. 已知，，则_______． 16. 已知，，，则________. 17. 已知函数.下列结论正确的是___________.①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象. 三、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 19. 已知的内角的对边分别为，满足已知. （1）求角的大小； （2）若，求的值； （3）若的面积为，，求的周长. 20. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 21. 如图，是一个四棱锥，已知四边形是梯形，平面，，，，，点是棱的中点，点在棱上，. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $