精品解析：湖南省株洲建宁实验中学2025-2026学年八年级上学期期中水平测试数学试卷

建宁实验中学2025年下学期期中水平测试 八年级数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( ) A. 3 B. 9 C. 11 D. 15 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 三个内角分别相等的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 等腰三角形两腰上的高相等 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等腰三角形中的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 40°或80° 9. 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ） A. 3cm B. C. 6cm D. cm 10. 如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A. B. 2025 C. D. 2024 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 分解因式：___________． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 13. 分式方程的解为_______． 14. 盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有________的原理． 15. 如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于______． 16. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则___________． 17. 若，则的值为________． 18. 如图，已知四边形中，，，，，点E为的中点，点P由B向C运动，到达点C后立即由点C向点B运动，运动速度为，同时点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 ____________________时，能够使与全等． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 因式分解： （1）． （2） 21. 先化简，再求值，其中． 22. 如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 已知：，，求： （1）的值； （2）的值． 24. 为了加快长株潭城市群建设与发展，要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行．铁路建成后，铁路运行里程由现在的缩短至，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． （1）设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是小时，则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是_____时（用含的式子表示）； （2）根据（1）中的设未知数，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 26. 在中，，为的中点． （1）如图1，过点作，，垂足分别为．求证：； （2）点分别在，上，若． ①如图2，求证：； ②如图3，若，连接，为的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建宁实验中学2025年下学期期中水平测试 八年级数学试题卷 时量：120分钟 满分：120分 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确． 故选：C． 2. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( ) A. 3 B. 9 C. 11 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】设第三边为x，7-3＜x＜7+3， 则4＜x＜10， 所以符合条件的整数为9， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：A． 4. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，再计算的周长即可． 【详解】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M， ∴，， ∵， ∴的周长为， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据零指数幂和负整数指数幂的定义，逐项计算即可判断正确选项． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 三个内角分别相等的两个三角形全等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 等腰三角形两腰上的高相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题的判断，解题关键是熟练掌握对顶角的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； B. 三个内角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题； C. 面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题； D. 等腰三角形两腰相等，面积相同，故腰上的高相等，原命题是真命题； 故选：D． 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 8. 已知等腰三角形中的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 40°或80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分类计算即可； 【详解】∵已知三角形是等腰三角形， ∴当40°是底角时，顶角的度数为； 当40°是顶角时，符合题意； ∴顶角的度数是40°或100°． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，准确计算是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（ ） A. 3cm B. C. 6cm D. cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据直角三角形的性质得出，然后利用含角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线定理，进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故选：C． 10. 如图，，点、、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A. B. 2025 C. D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，推出，，即的边长为；同理可得：，，即的边长为；，，即的边长为；即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴，即的边长为； 同理可得：， ∴，即的边长为； ， ∴，即的边长为； …. ∴的边长为， 故选：C 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的提公因式法，解题的关键是找出多项式各项的公因式并提取． 找出多项式的公因式，提取公因式完成因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为且． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数；分式的分母不为0． 13. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 14. 盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有________的原理． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．在窗框上斜钉上一根木条，构成三角形故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 15. 如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 故答案为：10． 16. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意，得：平分， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：． 17. 若，则的值为________． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代入求值，利用二次根式有意义的条件，得到x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据被开方数为非负数得到， 解得， ∴， ∴， 故答案为：3． 18. 如图，已知四边形中，，，，，点E为的中点，点P由B向C运动，到达点C后立即由点C向点B运动，运动速度为，同时点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 ____________________时，能够使与全等． 【答案】或3或或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用；分四种情况进行讨论，①点P由B向C运动，时，②点P由B向C运动，时，③点P由C向B运动，时，④点P由C向B运动，时，根据全等三角形的性质分别列出方程进行求解即可． 【详解】解：设点P在线段上运动的时间为， ∵点E为的中点，， ∴； ①点P由B向C运动，时，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时，点Q的运动速度为； ②点P由B向C运动，时， ∴，， ∴， 解得：， 此时，点Q的运动速度为：； ③点P由C向B运动，时，， ∴， ∴， 解得， ∴， 此时，点Q的运动速度为； ④点P由C向B运动，时， ∴， ∴， 解得：， ∵， 此时，点Q的运动速度为； 综上所述：点Q的运动速度为或或或． 故答案为：或3或或． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算括号里的乘法，再算括号里的减法，最后算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 因式分解： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）等因式分解的方法，并能根据式子的特点选择合适的方法进行因式分解． （1）先观察式子各项，发现都有公因式3，提取公因式后，括号内的式子符合完全平方公式的形式，再用完全平方公式进行因式分解． （2）把25写成，式子就符合平方差公式的形式，然后用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：： ． ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， （）， （2）30度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质及全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是对性质和判定的熟练掌握． （1）根据三角形全等的判定推出； （2）再根据三角形外角性质求出的度数，根据三角形全等的性质：对应角相等，即可证明，即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的外角， ， ． 由（1）知， ． 23. 已知：，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）先计算，根据完全平方公式变形，结合（1）的结论，代入求值即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 ∵，， ∴ 又 ∴ ． 24. 为了加快长株潭城市群建设与发展，要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行．铁路建成后，铁路运行里程由现在的缩短至，城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． （1）设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是小时，则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是_____时（用含的式子表示）； （2）根据（1）中的设未知数，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间． 【答案】（1）； （2）该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间是小时． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据铁路建成后，运行时间是现行时间的，由此列式即可； （2）根据题意，列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：铁路建成后，运行时间是现行时间的，现行时间是小时， ∴该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（小时）， ∴该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为小时． 25. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：_____+_______； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）①③④ （2）， （3）化简：， 【解析】 【分析】（1）根据定义，化简计算再判定即可． （2）根据定义求解即可； （3）根据分式的混合运算，化简，然后利用整数的条件，分式有意义的条件，求解即可． 【小问1详解】 解：①，是“和谐分式”； ②是整式，不是分式，不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”； ④，是“和谐分式”． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：原式 ， 当，时，该式的值为整数， 解得或或或， 根据分式有意义的条件，得， 解得， 故． 26. 在中，，为的中点． （1）如图1，过点作，，垂足分别为．求证：； （2）点分别在，上，若． ①如图2，求证：； ②如图3，若，连接，为的中点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） ①证明：过点作，，垂足分别为．如图， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ 在与中， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，进而根据等角的余角相等得出，即可得证； （2）①过点作，，垂足分别为．由（1）可得，证明，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； ②过点作于点，证明，进而根据等腰三角形的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图，过点作于点， ∵，， ∴，， 由①可知， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等角的余角相等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $