专题04 勾股定理与实数（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材青岛版

专题04 勾股定理与实数（11知识&18题型&4易错&3方法清单） 【清单01】勾股定理 ①文字语言：如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么 ． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． ②图形语言 ③符号语言: 在△ABC中，若三边长a,b,c满足: ∴△ABC是直角三角形，且c对的角为直角。 注意：①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 【清单02】勾股定理的证明 方法点拨：勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积， 建立等式，化简之后得到 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以 方法三：将两个直角三角形拼成直角梯形.如图（3）所示， ，所以. 【清单03】勾股数 满足不定方程的三个 数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 注意：熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果(a、b、c)是勾股数，当为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此 三角形必为直角三角形 【清单04】勾股定理逆定理 如果三角形的三边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 注意：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 若 ，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若 时，△ABC是锐角三角形； 若 时，△ABC是钝角三角形． 【清单05】勾股定理与逆定理区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【清单06】勾股定理应用 主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 解决问题步骤： （1）将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型; （2）.确定所求线段所在的直角三角形找到就直接用定理， 若找不到就添加辅助线构造直角三角形; （3 根据勾股定理，列方程求解。 【清单07】平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的 ，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为 ； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3 数没有平方根； 4.； 5. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 【清单08】算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的 ； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根， 没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【清单09】立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是 ，负数的立方根是 0的立方根是 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【清单10】无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【清单11】实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当a-b>0时，a>b；当a-b=0时，a=b；当a-b<0时，a<b. （5）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a<b （6）倒数比较法：a、b为正数，若>，则a<b； （7）平方比较法：a、b为正数，若>，则a>b. 【题型一】利用勾股定理求线段长 【例1】（25-26•无锡市梁溪区八上期中）如图，中，，平分交于点．若，，则到的距离是（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．8 【变式1-1】如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A． B． C．2.8 D． 【变式1-2】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（    ） A．12 B．13 C．25 D．169 【变式1-3】如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E处，折痕的一端G点在上． (1)如图1，当折痕的另一端F在上且时，求的长； (2)如图2，当折痕的另一端F在上且时，求的长． 【题型二】利用勾股定理求图形面积 【例2】．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（   ） A．36 B．49 C．74 D．8 【变式2-1】如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则=___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________． 【变式2-2】如图，在中，，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若的面积为，的面积为，则（    ） A．4 B．9 C．18 D．36 【变式2-3】如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若=7，AB＝6，则△ABC的周长是（    ） A．12.5 B．13 C．14 D．15 【题型三】勾股树问题 【例3】（25-26•泰兴市八上期中）如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为 ． 【变式3-1】勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为若已知＝2，＝5，＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．10 C．13 D．15 【变式3-2】已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 【变式3-3】甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于.的一个等式． （1）请你写出这一结论，并给出验证过程； （2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积． 【题型四】网格中的勾股定理 【例4】如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【变式4-2】如图，每个小正方形的边长都为1，求四边形的周长与面积． 【变式4-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．    (1)在图①中，画一个正方形，使它的边长为； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (3)在图③中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，5，并直接写出该三角形最长边上的高的长度． 【题型五】勾股定理证明 【例5】我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（    ） A．函数思想 B．数形结合思想 C．分类思想 D．方程思想 【变式5-2】操作与探究 (1)图是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图的网格中画出拼接成的大正方形； (2)如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图中拼成的大正方形证明勾股定理． 【变式5-3】．勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明． 【题型六】与弦图有关的计算与证明 【例6】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【变式6-1】如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若的周长是30，则这个风车的外围周长是（　　） A．76 B．57 C．38 D．19 【变式6-2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为，若，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【变式6-3】在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 【题型七】构造直角三角形用勾股定理解决问题（） 【例7】．如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式7-1】如图，长方体木箱的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，则能放入细木条的最大长度是（    ）． A． B． C． D． 【变式7-2】如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（    ） A．10 B．50 C．120 D．130 【变式7-3】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒 【题型八】勾股定理折叠问题（） 【例8】如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图所示，小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边折叠了一下，恰好使落在斜边上，且点与点重合，小宇经过测量得知两直角边，，求出的长是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，长方形纸条，，点E在边上，且，点F为边上一点，连接，将四边形沿翻折，得到四边形．若纸条的长度足够长，则到边的最大距离为______． 【题型九】勾股定理逆定理应用（） 【例9】已知，，，，，求四边形的面积． 【变式9-1】如图是边长为1的4×4的正方形网络，已知A，B，C三点均在正方形格点上，则点A到线段BC所在直线的距离是(　　) A． B． C．2 D．2.5 【变式9-2】．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是___________． 【变式9-3】如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 ___． 【题型十】勾股定理应用十大类型（） 【例10】如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【变式10-1】如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（    ） A．12尺 B．13尺 C．15尺 D．25尺 【变式10-2】如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（    ） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 【变式10-3】如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（    ） A．12cm B．11cm C．14cm D．15cm 【题型十一】求平方根 【例11】（24-25八年级上·北京丰台·期中）某数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 【变式11-1】下列结论正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D．的平方根是 【变式11-2】的平方根是（    ）． A． B．5 C． D． 【变式11-3】若a是的平方根，b的一个平方根是3，则代数式的值为（    ） A．－14或－4 B．－14 C．－4 D．4或－14 【题型十二】 求算术平方根 【例12】（24-25八年级上·北京房山·期末）5的算术平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【变式12-1】的算术平方根是（    ） A． B． C．2 D． 【变式12-2】下列说法中，正确的是（    ） A．是的平方根之一 B．是的算术平方根 C．的平方根是的算术平方根 D．的平方是 【变式12-3】若，，，，则的值（    ） A．约等于0.723 B．等于0.023 C．约等于0.0723 D．等于0.23 【题型十三】求立方根 【例13】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）的立方根为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【变式13-1】．立方根是(   ) A． B． C．0.02 D． 【变式13-2】一个数的算术平方根和它的立方根相等，则这个数是（    ）． A．1 B．0 C．1或0 D．1或0或 【变式13-3】12．等于（     ） A． B．3 C． D． 【题型十四】用计算器求平方根和立方根 【例14】．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：      则输出结果为（   ） A．8 B．4 C． D． 【变式14-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（   ） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 【变式14-2】利用计算器求的值，正确的按键顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（　　）    A． B． C．0 D．5 【题型十五】 无理数的估算与实数大小比较 【例15】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）比较大小： 3（请填写“>”、“<”或“=”）． 【变式15-1】介于两个连接整数（      ）之间． A．27和29 B．3和5 C．4和5 D．5和6 【变式15-2】大于-小于的整数有(      ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式15-3】设的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（　　） A．1 B．是一个有理数 C．-3 D．3 【题型十六】实数与数轴 【例16】如图，在数轴上表示实数 的点可能是（        ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【变式16-1】如图，点P表示的数为（    ）    A． B． C． D．2.1 【变式16-2】如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【变式16-3】如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为（　　）    A． B． C． D． 【题型十七】 无理数整数部分与小数部分的有关计算 【例17】的小数部分为（    ） A．1 B． C． D． 【变式17-1】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式17-3】．规定用符号表示的整数部分，如：，若，则的值为（　　） A．9 B．1 C．1 D．1 【题型十八】 无理数整数部分与小数部分的有关计算 【例18】我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ①； ②时，的值有个； ③； ④； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 【变式18-3】如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（    ） A．2020 B．2021 C． D． 【题型一】没有明确斜边与直角边导致出错 特别提醒:在直角三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论. 【例1】已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 【变式1-1】．若一直角三角形的两边长分别为8和6，则第三边的长为（    ） A．10 B．28 C．10或28 D．10或 【变式1-2】在Rt△ABC中，，．则＝（    ） A．8 B．16或64 C．4 D．4或16 【变式1-3】中，，高，则的长为（    ） A．14 B．4 C．14或4 D．无法确定 【题型二】对勾股数的定义理解出错 特别提醒:勾股定理首先需要满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，其次必须是正整数，每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数，即同时扩大为原来的k(k为正整数）倍，依然是勾股数. 【例2】（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 【变式1-1】在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（    ） A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、7 【变式2-1】（2024春•庐江县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，， 【题型三】 平方根与算术平方根的概念理解 【例3】下列说法中正确的是（   ） A．∵3的平方是9，∴9的平方根是3 B．∵的平方是25，∴是25的一个平方根 C．∵任何数的平方都是正数，∴任何数的平方根都是正数 D．∵负数的平方是正数，∴负数的平方根都是正数 【变式3-1】下列说法正确的是（   ） A．一定没有平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是3 D．3是9的一个平方根 【变式3-2】下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 【题型四】 实数的 二次运算 【例4】 的平方根是（   ） A．9 B．9或 C．3 D．3或 【变式4-1】的平方根是（    ）． A． B．5 C． D． 【变式4-2】若是的平方根，则等于（    ） A． B．9 C． D．3 【变式4-3】下列说法中正确的是（    ） A．的平方根是 B．3是9的平方根 C．的算术平方根是± D．的算术平方根是a 【题型一】求直角三角形斜边上的高——等积法 方法点拨：①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． .【例1】三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为　　 A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【变式1-1】 某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离为（    ） A．48 B．50 C．54 D．56 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【题型二】求几何体中最短路径——转化法（立体图形平面图形） 方法点拨：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 。 几何体中最短路径基本模型如下： 【例2】 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 【变式2-1】如图：是一个长， 宽， 高的有盖仓库， 在其内壁的A处（长的四等分点）有一只壁虎， B处（宽的三等分点）有一只蚊子， 则壁虎爬到蚊子处最短距离为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，圆柱底面周长为4，圆柱高，圆柱内壁B处有一粒食物，，在圆柱外的A处有一蚂蚁，蚂蚁要沿外壁到B处吃食，它走的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理与实数（11知识&18题型&4易错&3方法清单） 【清单01】勾股定理 ①文字语言：如图，直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么 ． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． ②图形语言 ③符号语言: 在△ABC中，若三边长a,b,c满足: ∴△ABC是直角三角形，且c对的角为直角。 注意：①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆时，此关系只有当是斜边时才成立．若是斜边，则关系式是；若是斜边，则关系式是． 【清单02】勾股定理的证明 方法点拨：勾股定理的验证方法采用拼图的方式，基本思想都是利用两种不同的方式表示同一图形的面积， 建立等式，化简之后得到 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：将两个直角三角形拼成直角梯形.如图（3）所示， ，所以. 【清单03】勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 注意：熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此 三角形必为直角三角形 【清单04】勾股定理逆定理 如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若时，△ABC是锐角三角形； 若时，△ABC是钝角三角形． 【清单05】勾股定理与逆定理区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【清单06】勾股定理应用 主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 解决问题步骤： （1）将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型; （2）.确定所求线段所在的直角三角形找到就直接用定理， 若找不到就添加辅助线构造直角三角形; （3 根据勾股定理，列方程求解。 【清单07】平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 【清单08】算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【清单09】立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【清单10】无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 【清单11】实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 【题型一】利用勾股定理求线段长 【例1】（25-26•无锡市梁溪区八上期中）如图，中，，平分交于点．若，，则到的距离是（　　） A．5 B．6 C．6.5 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【来源】江苏省无锡市梁溪区2025-2026学年上学期八年级数学期中考试卷 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 即点D到的距离是5. 故选：A． 【变式1-1】如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A．2﹣1 B．2 C．2.8 D．2+1 【答案】A 【分析】根据题意得，，，则是直角三角形，根据勾股定理得，得，即可得． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 【变式1-2】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（    ） A．12 B．13 C．25 D．169 【答案】C 【分析】根据大正方形的面积求得，利用勾股定理可以得到，进而得到的值，再根据直角三角形的面积公式即可求得ab的值；然后根据代入相关数值即可求解． 【详解】根据题意得： 四个直角三角形的面积为：，化简得： 所以 故选项为：C． 【点睛】本题考查了直角三角形和正方形、勾股定理的证明． 【变式1-3】如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E处，折痕的一端G点在上． (1)如图1，当折痕的另一端F在上且时，求的长； (2)如图2，当折痕的另一端F在上且时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，，设，则EF=16-x，根据勾股定理列方程并求解即可； （2）根据折叠的性质可得，，，AF=FH，因为，所以，可得，所以，在Rt中利用勾股定理求出FH即为AF的长． （1） 由折叠，得 设． 在Rt中，由勾股定理，得 即 解得， 即 （2） 由折叠，得，， 在Rt中 又 【点睛】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠后对应线段、角度相等的性质和用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【题型二】利用勾股定理求图形面积 【例2】．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（   ） A．36 B．49 C．74 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【来源】山东省东营市文苑学校2024-2025学年上学期七年级数学期中试卷 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明，推出，，则，，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图， 正方形，的边长分别为5和7， ，， 由正方形的性质得：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 正方形的面积为， 故选：C． 【变式2-1】如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________． 【答案】 12； 【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到三者之间的关系，完成解答． 【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长， ∴=，=，=， 又∵△ABC是直角三角形， ∴， ∴=4+8=12， 又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为，，， ∴==×， 同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC2+BC2=AB2， ∴． 故答案是：12，． 【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理． 【变式2-2】如图，在中，，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若的面积为，的面积为，则（    ） A．4 B．9 C．18 D．36 【答案】C 【分析】由勾股定理求出，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出进行计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝6， ∴， ∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形， ∴BE＝BC，AF＝AC， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 【变式2-3】如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，AB＝6，则△ABC的周长是（    ） A．12.5 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或-8（舍去）， ∴△ABC的周长是． 故选：C 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟练掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题的关键． 【题型三】勾股树问题 【例3】（25-26•泰兴市八上期中）如图，图中四边形A，B，C，D都是长方形，且每一个长方形的长是宽的2倍，四边形E，F，G都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形G的边长为，则长方形A，B，C，D的面积之和为 ． 【答案】64 【难度】0.85 【来源】江苏省泰兴市黄桥初中教育集团2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题主要考查了勾股定理，注意在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．根据长方形和正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：A与B的面积的和等于E的面积；C与D的面积的和等于F的面积；而E，F的面积的和等于G的面积． 【详解】解：由图可得，A与B的面积的和等于E的面积；C与D的面积的和等于F的面积；而E，F的面积的和等于G的面积． 即A、B、C、D的面积之和等于G的面积， ∵G的面积是， ∴A、B、C、D的面积之和为． 故答案为：64． 【变式3-1】勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，若已知＝2＝5，＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．10 C．13 D．15 【答案】D 【分析】利用勾股定理以及正方形、长方形的面积进行解答即可. 【详解】解：设Rt△ABC的斜边为：a，两直角边为：b、c，斜边的正方形面积为： ；直角边的正方形面积为：和 故，， 由勾股定理可知 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故选D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键. 【变式3-2】已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)24 【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得，即； （2）根据（1）中的求解即可得出答案； （3）利用（2）中的结论进行求解． 【详解】（1）解：①， 根据勾股定理可知：， ； （2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得； （3）解：由（2）知． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用． 【变式3-3】甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于的一个等式． （1）请你写出这一结论：　 　，并给出验证过程； （2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积． 【答案】（1）；（2）29． 【分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于，，的一个等式． （2）由（1）得，，进而根据正方形面积得出等量关系求出“丁”的面积． 【详解】解：（1）结论：． 验证：阴影部分的面积， 阴影部分的面积=, ， 即． 故答案为：． （2）如图，连接AC， ∵∠B＝∠D＝90° ∴，， 又∵，，，， ∴， 又∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17 ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【题型四】网格中的勾股定理 【例4】如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设边上的高为，由题意知，，则，即，计算求解即可． 【详解】解：设边上的高为， 由题意知，， ∴，即， 解得， ∴边上的高为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格．解题的关键在于熟练掌握割补法求面积以及等面积法． 【变式4-1】如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【难度】0.85 【来源】河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 【变式4-2】如图，每个小正方形的边长都为1，求四边形的周长与面积． 【答案】， 【分析】根据勾股定理分别求出，，，的长即可得到四边形的周长；根据四边形的面积等于其所在的长方形面积减去周围四个三角形面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理得： ， ， ， ， 四边形的周长, 四边形的面积 ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形的面积，熟知勾股定理是解题的关键． 【变式4-3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．    (1)在图①中，画一个正方形，使它的边长为； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (3)在图③中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，5，并直接写出该三角形最长边上的高的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，2 【分析】（1）根据勾股定理得出正方形的边长，即可得到图形； （2）构造边长为的直角三角形即可； （3）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据三角形的面积计算公式进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①，正方形即为所求，   ； （2）解：如图②，即为所求，   ； （3）解：如图③，即为所求，   ， ，，， ， 为直角三角形，， 三角形最长边上的高的长度为：． 【点睛】本题考查作图—应用与设计，无理数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 【题型五】勾股定理证明 【例5】我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（    ） A．函数思想 B．数形结合思想 C．分类思想 D．方程思想 【答案】B 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【变式5-2】操作与探究 (1)图是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图的网格中画出拼接成的大正方形； (2)如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图中拼成的大正方形证明勾股定理． 【答案】(1)图形见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据网格用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，即可完成拼图； （2）利用大正方形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理得到勾股定理． 【详解】（1）解：如图所示，即为拼接成的大正方形； （2）证明：∵ 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了利用网格拼图与勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积的关系证明勾股定理是解答此题的关键． 【变式5-3】．勾股定理的证明方法是多样的，其中“面积法”是常用的方法．小丽发现：当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．请写出勾股定理的内容，并利用给定的图形进行证明． 【答案】见解析 【分析】多边形的面积可以等于边长为c的正方形面积加上两个直角三角形的面积，也可以等于两个直角梯形的面积和，由此得证． 【详解】解：若直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则， 如图，这个多边形的面积为 整理得ab+c2=， 故． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，正确掌握多边形的面积的计算方法及勾股定理的内容是解题的关键． 【题型六】与弦图有关的计算与证明 【例6】【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论： 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点． (1)求证：，． (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明： 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【难度】0.85 【来源】广西来宾市2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题 【知识点】勾股定理的证明方法、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意，通过证明即可判断得解； （2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴． ∴； （2）证明： 由题意得，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； 【变式6-1】如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若的周长是30，则这个风车的外围周长是（　　） A．76 B．57 C．38 D．19 【答案】A 【分析】设，则，由勾股定理得到，则，求出，， 即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴这个风车的外围周长是：． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理内容是解题的关键． 【变式6-2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为，若，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则，，依据，可得＝45，进而得出S2的值． 【详解】解：设每个小直角三角形的面积为m，则，， ∵， ∴＝45， 即＝45， 解得＝15． 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【变式6-3】在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． (1)请利用这个图形证明勾股定理； (2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)52 【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明； （2）设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有，，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题． 【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c， ∴正方形的面积等于， ∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， ∴正方形的面积为：， ∴； （2）解：设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， 根据题意得，，， 又∵ ∴， 故徽标的外围周长为：． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键． 【题型七】构造直角三角形用勾股定理解决问题（） 【例7】．如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【难度】0.85 【来源】浙江省宁波市鄞州区十三校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-1】如图，长方体木箱的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，则能放入细木条的最大长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接BC，BD，只需要求出BD的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接BC，BD， 在Rt△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，∠BAC=90°， ∴， 在Rt△BCD中，CD=3cm，∠BCD=90°， ∴， ∴能放入细木条的最大长度是， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形，直角边分别为木箱的高、底面的对角线，据此根据勾股定理求出木条的最大长度． 【变式7-2】如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（    ） A．10 B．50 C．120 D．130 【答案】B 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm， ∴AB＝（cm）． 答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 【变式7-3】如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．16秒 B．18秒 C．20秒 D．22秒 【答案】A 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米， ∵∠QON＝30°，OA＝240米， ∴AC＝120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米， ∵AB＝200米，AC＝120米， ∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米， ∵火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶， ∴影响时间应是：320÷20＝16秒． 故选A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以为圆心，米为半径的圆内行驶的的弦长，求出对处产生嗓音的时间，难度适中. 【题型八】勾股定理折叠问题（） 【例8】如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市龙岗区2025-2026学年八年级数学上学期期中试卷 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式8-1】如图所示，小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边折叠了一下，恰好使落在斜边上，且点与点重合，小宇经过测量得知两直角边，，求出的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出的长，再根据折叠的性质可以得到，，最后利用勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴， 设， ∵由折叠而成， ∴，， ∴，， 在中，， 即，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠问题和勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式8-2】把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可知，，，设，则，，在中，由勾股定理得，求出即为所求． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键． 【变式8-3】如图，长方形纸条，，点E在边上，且，点F为边上一点，连接，将四边形沿翻折，得到四边形．若纸条的长度足够长，则到边的最大距离为______． 【答案】18 【分析】连接，作于点H，于点G，先证明四边形是长方形，得，由翻折得，，，再根据勾股定理求得，即可由推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点H，于点G， ∵四边形是长方形，，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 由翻折得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴则到边的最大距离为， 故答案为：18． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且推导出是解题的关键． 【题型九】勾股定理逆定理应用（） 【例9】已知，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】解：如图，连接， ，，， 是直角三角形， ∴，， ∵，，，，即， 是直角三角形，， ∴， ， ， 四边形的面积为． 【变式9-1】如图是边长为1的4×4的正方形网络，已知A，B，C三点均在正方形格点上，则点A到线段BC所在直线的距离是(　　) A． B． C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，再根据三角形的面积即可求得答案． 【详解】连接AC，过点A作AH⊥BC于点H， 由勾股定理可得： ， ∴△ABC是直角三角形，∠CAB=90°， ∴S△ABC=AB•AC==5， 又∵S△ABC=BC•AH， ∴AH=5， ∴AH=2， 即点A到线段BC所在直线的距离是2， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积等，用不同的方法表示三角形的面积是解题的关键． 【变式9-2】．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 【变式9-3】如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 ___． 【答案】10 【分析】设与的交点为点，连接，先根据折叠的性质可得，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，周长最小，此时，然后根据勾股定理的逆定理得出，最后设，从而可得，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，设与的交点为点，连接， 由折叠的性质得：， ， 周长=， 要使周长最小，只需最小， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为，此时， 又， ， 是直角三角形，， ，即， 设，则， 在中，，即， 解得， 即当周长最小时，的长为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 【题型十】勾股定理应用十大类型（） 【例10】如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【答案】滑动的水平距离是 【解析】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∴， 即滑动的距离为． 【变式10-1】如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（    ） A．12尺 B．13尺 C．15尺 D．25尺 【答案】A 【分析】由题意可作一个直角三角形ABC，设AC长为x尺，则BC长为（25-x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意可知AB=5尺， 设AC长为x尺，则BC长为（25-x）尺， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， 则2， 解得：x=12， 即AC=12尺． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际运用，读懂题意，画出图形运用方程思想是解题的关键． 【变式10-2】如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（    ） A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺 【答案】B 【分析】根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺， 在Rt△AB'C中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 【变式10-3】如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（    ） A．12cm B．11cm C．14cm D．15cm 【答案】D 【分析】在侧面展开图中，过C作CO⊥HG于O，作A关于EH的对称点B，连接BC交EH于D，连接AD，则AD＋DC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出BO、CO，根据勾股定理求出BC即可． 【详解】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形HGNM，C作CO⊥HG于O，作A关于EH的对称点B，连接BC交EH于D，连接AD，则AD＋DC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 根据题意可知FC=4=OG，AH=4=BH，CO=9，HG=12， 则有BO=HG-OG+BH=12， 在Rt△BOC中，（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【题型十一】求平方根 【例11】（24-25八年级上·北京丰台·期中）某数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个正数的两个平方根互为相反数成为解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a的方程可求得a的值，然后确定一个平方根，最后确定这个数即可． 【详解】解：∵某数的两个平方根分别为和， ∴，解得：， ∴， ∴这个数是． 故答案为：9． 【变式11-1】下列结论正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【分析】根据平方根的概念判断即可；D根据算术平方根与平方根的概念判断即可． 【详解】解：A、1的平方根是，故A错误； B、0的平方根是0，故B正确； C、没有平方根，故C错误； D、的平方根是，故D错误． 故选：B． 【点睛】此题考查的是算术平方根与平方根，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根，其中正的平方根称为算术平方根． 【变式11-2】的平方根是（    ）． A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再计算25的平方根，判断选择即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方根即，则x叫做a的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【变式11-3】若a是的平方根，b的一个平方根是3，则代数式的值为（    ） A．－14或－4 B．－14 C．－4 D．4或－14 【答案】A 【分析】先依据平方根的定义和性质求得的值，然后依据有理数的减法法则求解即可． 【详解】解：是的平方根， ， 的一个平方根是3， ， ∴当，时，； 当，时，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义，依据平方根的定义求得的值是解题的关键． 【题型十二】 求算术平方根 【例12】（24-25八年级上·北京房山·期末）5的算术平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：∵的平方为5， ∴5的算术平方根为． 故选：B． 【变式12-1】的算术平方根是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根计算方法解题即可. 【详解】解：，的算术平方根为， 故选C. 【点睛】本题考查算术平方根，掌握算术平方根是非负的平方根是解题的关键. 【变式12-2】下列说法中，正确的是（    ） A．是的平方根之一 B．是的算术平方根 C．的平方根是的算术平方根 D．的平方是 【答案】B 【分析】利用平方根、算术平方根和有理数的乘方逐项判断即可． 【详解】、的平方根为，即有是的平方根之一，故此选项说法错误； 、的算术平方根是，即有是的算术平方根，故此选项说法正确； 、的平方根是，的算术平方根是，故此选项说法错误； 、，故此选项说法错误； 故选：． 【点睛】此题考查了平方根、算术平方根和有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握实数的有关概念和运算法则． 【变式12-3】若，，，，则的值（    ） A．约等于0.723 B．等于0.023 C．约等于0.0723 D．等于0.23 【答案】D 【分析】根据算术平方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】本题考查算术平方根．解题的关键是掌握如果一个数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍，如果一个数缩小100倍，它的算术平方根缩小10倍． 【题型十三】求立方根 【例13】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）的立方根为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质解答，即可求解． 【详解】解：的立方根为． 故选：B 【变式13-1】．立方根是(   ) A． B． C．0.02 D． 【答案】D 【分析】根据立方根的概念即可求出答案． 【详解】解：， 的立方根为， 故选：D． 【点睛】本题考查立方根的概念，熟练掌握此概念是解答本题的关键． 【变式13-2】一个数的算术平方根和它的立方根相等，则这个数是（    ）． A．1 B．0 C．1或0 D．1或0或 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的算术平方根和它的立方根相等，则这个数是0或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键． 【变式13-3】12．等于（     ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】直接利用立方根的性质求出答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键． 【题型十四】用计算器求平方根和立方根 【例14】．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：      则输出结果为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的第二功能是立方根，列式计算即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选D． 【点睛】本题考查了计算器，掌握算术平方根的第二功能是立方根是解题的关键． 【变式14-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（   ） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 【答案】C 【分析】本题考查计算器—基础知识，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式14-2】利用计算器求的值，正确的按键顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“”，再输入被开方数，按键“=”即可得到结果． 【详解】解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是： ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是利用计算器求算术平方根，正确使用计算器是解题的关键． 【变式14-3】用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（　　）    A． B． C．0 D．5 【答案】A 【分析】根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A． 【点睛】本题考查计算器—基础知识，解答本题的关键是明确二次根式的副功能键是立方根． 【题型十五】 无理数的估算与实数大小比较 【例15】（24-25八年级下·湖南湘西·期中）比较大小： 3（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，将两个实数平方即可比较出大小． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 【变式15-1】介于两个连接整数（      ）之间． A．27和29 B．3和5 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【分析】由＜＜ 可得＜＜ 从而可得答案． 【详解】解：＜＜ ＜＜ 故选： 【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握无理数的估算的方法是解题的关键． 【变式15-2】大于-小于的整数有(      ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】估算出−与的大小，即可得到结果． 【详解】解：∵−2＜−＜−1，2＜＜3， ∴大于-小于的整数有：−1，0，1，2，共4个． 故选B． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是掌握无理数估算的方法． 【变式15-3】设的小数部分为b，那么（4+b）b的值是（　　） A．1 B．是一个有理数 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】首先确定的整数部分，然后即可确定小数部分b，由题意可知b=-2，把它代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵ 的小数部分为b， ∴b=-2， 把b=-2代入式子（4+b）b中， 原式=（4+b）b=（4+-2）×（-2）=3． 故选D. 【点睛】本题既考查了代数式求值的方法，也考查了无理数的估算，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力. 【题型十六】实数与数轴 【例16】如图，在数轴上表示实数 的点可能是（        ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【答案】B 【分析】由可得，再根据数轴上点的位置即可解答； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在数轴上表示实数 的点可能是点 B． 故选：B． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，正确计算是解题的关键． 【变式16-1】如图，点P表示的数为（    ）    A． B． C． D．2.1 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，即的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图，    在中，，， ， ， 即点表示的数为， 故选：B． 【点睛】本题考查实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理以及数轴表示数的方法是正确解答的前提． 【变式16-2】如图，直径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（　　） A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴与实数的一一对应关系解答即可． 【详解】解：∵直径为1的圆的周长为π，A点在数轴上表示的数是1， ∴A点沿数轴向右滚动一周后到达点B，点B表示的数为． 故选：B． 【点睛】本题考查实数与数轴上的点的关系，解答时需要用到圆的周长的计算． 【变式16-3】如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可． 【详解】由题意得，， ∴， ∴点D表示的数， 故答案为：C． 【点睛】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解． 【题型十七】 无理数整数部分与小数部分的有关计算 【例17】的小数部分为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用无理数的估算计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， 故选：C． 【变式17-1】若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，然后求出x，y的值，再代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 的整数部分为1，小数部分为， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 【变式17-2】若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，进而可求得x、y，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查无理数的估算、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键． 【变式17-3】．规定用符号表示的整数部分，如：，若，则的值为（　　） A．9 B．1 C．1 D．1 【答案】C 【分析】根据算术平方根知识和新定义确定出的值，再代入求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了无理数估算的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和定义进行正确地求解． 【题型十八】 无理数整数部分与小数部分的有关计算 【例18】我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ①； ②时，的值有个； ③； ④； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【详解】解：①表示距离最近的正整数， ，所以正确； 当时，为，，，，，一共有个， 所以错误； ③，，，，，，，，，，，， ， 所以正确； 由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故正确； ⑤， ， 所以正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识和发现规律并运用规律解题的方法，难度较大． 【变式18-1】为了求的值，可令，则，因此，所以，即，仿照以上推理计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仿照题干中的推理过程，令，则，再利用，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 因此， 所以， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解题关键． 【变式18-2】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，， ，，， ，…则按此规律可推得这一列数中的第个数应是( ) A． B． C． D．2023 【答案】B 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：∵一列实数：，，，，，， ，，， ，…， ∴每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数、算术平方根、立方根， ∵， ∴这一列数中的第2023个数应是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 【变式18-3】如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2021行从左向右数第2020个数是（    ） A．2020 B．2021 C． D． 【答案】D 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此可知推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为n＝， ∴第2021行从左向右数第2021个数是2021， ∴第2021行从左向右数第2020个数是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了数字类的排列规律，解题的关键在于能够准确观察出规律． 【题型一】没有明确斜边与直角边导致出错 特别提醒:在直角三角形中，已知边长但未明确斜边与直角边时，需要分类讨论. 【例1】已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 【答案】或/或4 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 【变式1-1】．若一直角三角形的两边长分别为8和6，则第三边的长为（    ） A．10 B．28 C．10或28 D．10或 【答案】D 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边和直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x， （1）若8是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理，得， 所以x=10； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理，得， 所以x=2； 综上，第三边的长为10或， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 【变式1-2】在Rt△ABC中，，．则＝（    ） A．8 B．16或64 C．4 D．4或16 【答案】D 【分析】根据勾股定理分情况讨论求解即可． 【详解】解：当∠C=90°时， ； 当∠A=90°时， ； 故选：D． 【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，理解题意进行分类讨论是解题关键． 【变式1-3】中，，高，则的长为（    ） A．14 B．4 C．14或4 D．无法确定 【答案】C 【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD-BD． 【详解】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得 ， 则BD=5， 在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得 则CD=9， 故BC=BD+DC=9+5=14； （2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12， 在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得 ， 则BD=5， 在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得 ， 则CD=9， 故BC的长为DC-BD=9-5=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答． 【题型二】对勾股数的定义理解出错 特别提醒:勾股定理首先需要满足较小的两个数的平方和等于最大数的平方，其次必须是正整数，每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数，即同时扩大为原来的k(k为正整数）倍，依然是勾股数. 【例2】（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 【答案】D 【解析】解：A. ∵，，又∵，∴不是勾股数，不符合题意； B.∵ 不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意； C. ∵，，又∵，∴7，8，9不是勾股数，不符合题意； D. ∵，∴是勾股数，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（    ） A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、7 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理，结合平方差公式判断即可． 【详解】解：A、，所以这A组是勾股数，不符合题意； B、，所以B组是勾股数，不符合题意； C、，所以C组是勾股数，不符合题意； D、，所以D组不是勾股数，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理，灵活变形运用勾股定理的逆定理判断是解题的关键． 【变式2-1】（2024春•庐江县期中）在下列四组数中，属于勾股数的是　　 A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，， 【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案． 【解答】解：、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数； 、，、40、41是勾股数； 、，，3，4不是勾股数； 、，，均不是整数，，，不是勾股数； 故选：． 【点评】本题考查了勾股数，能熟记勾股数的意义是解此题的关键． 【题型三】 平方根与算术平方根的概念理解 【例3】下列说法中正确的是（   ） A．∵3的平方是9，∴9的平方根是3 B．∵的平方是25，∴是25的一个平方根 C．∵任何数的平方都是正数，∴任何数的平方根都是正数 D．∵负数的平方是正数，∴负数的平方根都是正数 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义；根据平方根的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ∵的平方是9，∴9的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵的平方是25，∴是25的一个平方根，故该选项正确，符合题意； C. 任何非零实数的平方都是正数，任何正数的算术平方根都是正数，故该选项不正确，不符合题意； D. 负数的平方是正数，负数没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】下列说法正确的是（   ） A．一定没有平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是3 D．3是9的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据平方根的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：A，当，则，0的平方根为0，故本选项错误，不合题意； B，没有平方根，故本选项错误，不合题意； C，9的平方根是，故本选项错误，不合题意； D，3是9的一个平方根，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键；根据平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意； 【题型四】 实数的 二次运算 【例4】 的平方根是（   ） A．9 B．9或 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】先化简再进行开方运算． 【详解】解：的平方根为， 故选D． 【点睛】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．注意，要先进行化简． 【变式4-1】的平方根是（    ）． A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再计算25的平方根，判断选择即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方根即，则x叫做a的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【变式4-2】若是的平方根，则等于（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】C 【分析】根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是的平方根， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一个数的平方根，熟知平方根的定义是解题的关键． 【变式4-3】下列说法中正确的是（    ） A．的平方根是 B．3是9的平方根 C．的算术平方根是± D．的算术平方根是a 【答案】B 【分析】根据平方根，算术平方根的概念求解． 【详解】解：A、 ，平方根是，本选项不合题意； B、3是9的平方根，表述正确，本选项符合题意； C、 ，算术平方根是2，本选项不合题意； D、的算术平方根是，本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根的定义，注意一个正数的算术平方根有一个，平方根有两个，互为相反数． 【题型一】求直角三角形斜边上的高——等积法 方法点拨：①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即，求出h． .【例1】三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为　　 A．2.4 B．4.8 C．6 D．8 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明此三角形是直角三角形，且10为直角三角形的斜边，然后设此三角形最长边上的高为，再利用面积法进行计算即可解答． 【解答】解：，， ， 此三角形是直角三角形，且10为直角三角形的斜边， 设此三角形最长边上的高为， ， 解得：， 此三角形最长边上的高为4.8， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式1-1】 某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离为（    ） A．48 B．50 C．54 D．56 【答案】A 【难度】0.65 【来源】内蒙古区包头市青山区九校期中联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可． 【详解】解：连接，过作于， 是直角三角形， 根据的面积，得， 解得：， 即点到的距离为48， 故选：A 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 【题型二】求几何体中最短路径——转化法（立体图形平面图形） 方法点拨：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 。 几何体中最短路径基本模型如下： 【例2】 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】B 【分析】化曲为直，利用勾股定理解决． 【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D， 由已知得：，，， 在中，由勾股定理得：， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键． 【变式2-1】如图：是一个长， 宽， 高的有盖仓库， 在其内壁的A处（长的四等分点）有一只壁虎， B处（宽的三等分点）有一只蚊子， 则壁虎爬到蚊子处最短距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ∴； 如图，连接， 在中，，，， ∴， ∵， ∴壁虎爬到蚊子处最短距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用——最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2-2】如图，圆柱底面周长为4，圆柱高，圆柱内壁B处有一粒食物，，在圆柱外的A处有一蚂蚁，蚂蚁要沿外壁到B处吃食，它走的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，将圆柱体展开，分别求得，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将圆柱体展开， ∵ ∴， ∵圆柱底面周长为4， ∴, 在中，． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式2-3】如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm， ； ③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm， ； ∵， 所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $