陕西省咸阳市高新一中2025-2026学年高二上学期阶段性质量检测（三）数学试题

咸阳市高新一中2024级高二年级阶段性质量检测（三）数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若数列满足，月，则（   ） A． B．2 C． D． 2．已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．15 C．5 D．10 3．已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 5．首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．动圆P过定点M（﹣3，0），且与已知圆N：（x﹣3）2+y2＝16外切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　） A．＝1（x≥2） B．＝1（x≥2） C．＝1（x≤﹣2） D．＝1（x≤﹣2） 7．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 8．双曲线：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与双曲线的一个交点满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的左、右焦点分别为且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则椭圆的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 11．设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别为，则下列结论正确的为（    ） A．是直角 B．以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切 C．若A、B 的纵坐标分别为，，则 D．弦AB 长度的最小值为p 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和，则 ． 13．抛物线C：的焦点为，为抛物线上一动点，，则的最小值为 ． 14． 设数列满足.的通项公式 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 16．设为数列的前n项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 17．已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 18．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求.    19．已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 咸阳市高新一中2024级高二年级阶段性质量检测（三）数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．若数列满足，月，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】，所以，所以， 所以数列周期为3，由，可得， 所以.故选：A 2．已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．15 C．5 D．10 【答案】B 【解析】∵数列为等差数列，，所以 ∴.故选：B 3．已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抛物线的焦点为，则，且，解得， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【解析】，即，因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得.故选：. 5．首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数， 所以，即，解得，故D正确.故选：D. 6．动圆P过定点M（﹣3，0），且与已知圆N：（x﹣3）2+y2＝16外切，则动圆圆心P的轨迹方程是（　　） A．＝1（x≥2） B．＝1（x≥2） C．＝1（x≤﹣2） D．＝1（x≤﹣2） 【解答】解：∵圆P与圆N外切，如图， ∴|PN|＝|PM|+4，即|PN|﹣|PM|＝4， ∵0＜|PN|﹣|PM|＜|MN|＝6， ∴由双曲线的定义，点P的轨迹是以M，N为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a＝2，c＝3， ∴b2＝c2﹣a2＝9﹣4＝5． 故所求轨方程为：（x≤﹣2）．故选：C． 7．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即.故选：B. 8．双曲线：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与双曲线的一个交点满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意直线过点且倾斜角为，则， 又，，可得， 因为，所以，， 由双曲线定义，，即， 解得.故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】把直线代入双曲线中，消，得 当，即时，直线与双曲线相交有一个交点 当，，即，时，直线与双曲线相切，有一个交点 的值为， 故选:AD 10．已知椭圆的左、右焦点分别为且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则椭圆的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】依题意，则， 由于在椭圆内部，所以，则， 即，令，则，解得，即，所以， 所以，即， 所以AB选项正确，CD选项错误. 故选：AB 11．设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别为，则下列结论正确的为（    ） A．是直角 B．以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切 C．若A、B 的纵坐标分别为，，则 D．弦AB 长度的最小值为p 【答案】ABC 【解析】设过抛物线焦点的直线方程为：， 代入得，， 则，，故C正确， ，， 当直线与轴垂直时，，最小为，故D错误； 以为直径的圆：圆心，，半径为， 圆心与准线的距离， 圆与准线相切，故B正确， ， 所以，故， 故，故为直角，A正确，故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和，则 ． 解析】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，因此，所以56 13．抛物线C：的焦点为，为抛物线上一动点，，则的最小值为 ． 【解析】由题意知抛物线的准线为：， 点到直线的距离为，则，所以． 结合图形可知，当时，最小， 故的最小值为，故答案为：. 14．设数列满足.的通项公式__________-； 14 由题意知数列满足①， 则时，； 当时，②， 则②-①得：，故，也适合该式， 故； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【解析】（1）依题意，可设双曲线的标准方程为， 则，解之可得，则双曲线的方程为； （2）依题意，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 则，解之可得，则双曲线的标准方程为． 16．设为数列的前n项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【解析】（1）数列的前n项和, 则当时，； 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知，当时，， 因此（常数），所以数列是等差数列. 17．已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【解析】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为. （2）记双曲线的左焦点为，则， 可得，当三点共线时，最小， 且最小值为.故的最小值为. 18．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 【解析】（1）设，则，化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； （2）设，联立，消得， ，则， 所以.    19．已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程； (2)已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 【解析】（1）由点在定圆M：内， 知圆N与圆M内切，于是有， 由椭圆的定义可知，动圆的圆心N的轨迹为一个以，为焦点，以4为长轴长的椭圆， 即，所以，故点N的轨迹P的方程为. （2）当直线PQ斜率为零时，或两点重合，不满足题意， 设直线PQ方程为， 由，得，易知， 设点，所以， 于是 . 故为定值（与直线的斜率无关）. 第 1 页 共 8 页 咸阳市高新一中2024级高二年级阶段性质量检测（三）数学试题 学科网（北京）股份有限公司 $