精品解析：河北省石家庄市第二十八中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

九年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有一组数据：2，3，1，5，4，9．那么这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的求法问题，解题时应先把数据按照从大到小，或从小到大的顺序排列，再求中位数．把这组数据按照从小到大的顺序排列，取中间两个数据的平均值即为这组数据的中位数． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，， 这组数据的中位数是． 故选：B． 2. 如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 3. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可． 【详解】∵BC⊥AC， ∴△ABC是直角三角形， ∵∠ABC=α， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键． 4. 某组数据的方差，则该组数据的总和是（ ） A. 8 B. 20 C. 40 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，解题的关键是对方差公式的理解． 根据方差的求解公式可知这组数的平均数以及这组数的个数，据此即可作答． 【详解】解：∵数据的方差， ∴该组数据共有8个，平均数为5， ∴该组数据的总和是． 故选：C 5. 如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　） A. ， B. ，2 C. ， D. ，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识．两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于点， 点就是位似中心，坐标为， ． ． 故选：D． 6. 点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 根据反比例函数的性质判断出、的正负情况，然后比较大小即可． 【详解】解：反比例函数的， 反比例函数图象位于第一、三象限， ， ，， ． 故选：A． 7. 已知线段，点、是线段的两个黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 如图：根据黄金比值，求出的长，根据即可解答． 【详解】解：如图： ∵C、D是上的两个黄金分割点，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，需同时满足二次项系数非零和判别式非负． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，且判别式非负，列出不等式求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． ∵方程有实数根， ∴判别式， 解得，即． ∴且． 故选：C． 9. 河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题的比例命题，满分为120分．若小明容易题得分率、中档题得分率、较难题得分率，则他的最终成绩是（ ） A. 96分 B. 98分 C. 100分 D. 102分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，理解“权”的含义和掌握求加权平均数的方法是解答本题的关键．根据试卷命题比例计算各部分分值，再根据得分率计算各部分得分，求和得总成绩． 【详解】解：根据题意，得 （分） 则他的最终成绩是分． 故选：A． 10. 已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 11. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 丙： ∵新正方形与原正方形的四个角都为，且新正方形的边长都是，原正方形的边长都是， ∴新正方形与原正方形对应角相等，对应边的比值都是， ∴新正方形与原正方形相似； 故上述三人的说法正确的个数是2个． 故选：C． 12. 如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到的距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅱ和Ⅲ C. Ⅰ和Ⅲ D. Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 【答案】A 【解析】 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义可得，则可推出的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长，据此可判断Ⅰ；连接，可证明，，则由圆周角定理可证明，得到，则，解直角三角形求出的长即可判断Ⅱ；由圆周角定理可证明，则由三角形内角和定理可得，据此可判断Ⅲ． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ∴的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长， ∴的长与的长之和为定值，故结论Ⅰ正确； 当时，连接，如图所示， 则， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴，， ∴， ∴点到的距离是，故结论Ⅱ正确； 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴使得的值有无数个，故结论Ⅲ错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，求弧长，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知（），，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键． 利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数的关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 15. 正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和中点．若，则的值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、求反比例函数解析式，由四边形为正方形可知，设，则，，，从而可得，列出方程，求出的值即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 设，则，，， ∵的中点为点， ∴， ∵反比例函数的图像经过点和中点． ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是______，弦的长度是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，过点作于点，可得是直径，，，，，则，由勾股定理得，然后在中，由勾股定理得，再由弧，弦关系定理得；求出，，则，那么弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和等于扇形的面积减去的面积，最后再乘以2即可． 【详解】解：连接，，过点作于点， ∵为圆周上十二等分点， ∴是直径，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴同上可得，， ∴， ∴弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，角直角三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应用写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）解方程； （2）． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合计算，正确计算是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案； （2）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ． 18. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生5次引体向上的有效个数整理成如图的折线统计图，其中乙同学第5次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学5次引体向上测试成绩的平均数相同，乙同学测试成绩的方差． （1）①计算乙同学第5次的测试成绩，并补全折线统计图． ②乙同学5次引体向上测试成绩的中位数 ，众数 ，甲的方差 ； （2）现需从甲、乙两名同学中选择一名代表班级参加校级比赛： 嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少9个才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（1）的分析，选择其中一人的说法进行说理； （3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的5组数据合在一起，发现乙同学6次引体向上测试成绩的中位数发生变化，则乙同学第6次测试成绩的最大值为 个． 【答案】（1）①5个， 补全图形如下： ②9，9， （2） 选择淇淇的说法， 由于乙同学的中位数是9次，众数也是9次，获胜的可能性较大，而甲同学的众数和中位数都是8次，均低于9次，所以选择乙同学； （3）8 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）①先计算出甲成绩的平均数，再进一步求解即可； ②根据中位数，众数和方差的定义求解即可； （2）根据中位数、众数和方差的意义求解即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：①甲同学测试成绩的平均数为（个）， ∴乙同学测试成绩的平均数为8个， ∴乙同学第5次测试成绩为（个）， ②乙5次测试成绩为5、7、9、9、10， 所以其成绩的中位数为9，众数为9； 甲同学的方差为：， 故答案为：9，9，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：乙同学的5次测试成绩为5、7、9、9、10， 因为乙同学6次引体向上测试成绩的中位数发生变化， 所以乙同学第6次测试成绩的最大值为8个， 故答案为：8． 19. “这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） （1）求坡顶到地面的距离； （2）计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 【答案】（1）5米 （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于F，根据题意可得，设米，米，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）延长交于H， 可证明四边形是矩形，得到米，设米，则米，解得到米，解得到米，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点B作于F， ∵斜坡的坡比为， ∴， 设米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴米， 答：坡顶到地面的距离为5米； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于H，由题意得，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 由（1）可得米， 设米，则米， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∴， 解得， ∴米， 答：南城门城楼的高度约为米． 20. 在一次实践活动中，小明想借助如图所示直角的墙角搭建一个矩形场地，已知，，现在有的板材围成矩形． （1）时，则矩形的面积为 ； （2）若想围成面积为，求的长； （3）矩形的面积可否为？若可以，求出的长，若不可以，请说明理由． 【答案】（1）180 （2）12cm （3）不可以，理由： 设cm，矩形的面积为， 由题意得，， 当时，取最大值，此时， ∴矩形的面积不可以为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，正确列出方程和函数式并明确二次函数的性质是解题关键． （1）木板总长28cm，因为，所以，相乘得到矩形面积； （2）设cm，则cm，根据面积公式得到方程，解出x的两个值，结合场地的限制，舍去不符合要求的，剩下即为答案； （3）设cm，矩形的面积为，根据题意写出关于的表达式，利用二次函数的性质求出最值，判断能否达到要求即可． 【小问1详解】 解：∵木板总长，， ∴ ∴； 【小问2详解】 设cm，则cm， 由题意得，， 整理得，， 因式分解得，， ∴，， ∵，且， ∴舍去， ∴； 【小问3详解】 略 21. 如图，已知是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）当时， ； （2）当时， ；（用含的式子表示） （3）当时，求矩形零件的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法． （1）证，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解； （2）同（1）证明即可； （3）根据矩形的性质得到，由（2）可知，，求出，，根据矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵矩形， ∴，，， ∴． ∴，即， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， ∵矩形， ∴，，， ∴． ∴，即， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（2）可知，， ∴， 解得： ∴， ∴． 22. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒G恰好位于水面处，此时． 问题解决： （1）当时，盛水筒G运动到点位置，此时 ； （2）经过95秒后盛水筒G运动到点处，如图②所示，求盛水筒G运动的路径长； （3）一周内，当 秒时，盛水筒G与水面的距离为米． 【答案】（1） （2）米 （3）30或70 【解析】 【分析】（1）先求得该盛水筒的转动速度，转过的角度，再利用角的和即可求解； （2）求出95秒转过的角度，即可运用弧长公式求出转过的路径长度； （3）设与水面的交点为I，盛水筒在点E与点F处距水面米，连接，延长交于点G，交于点H，求出,由，得，可得，得，得，求出，得． 【小问1详解】 解：∵旋转一周用时120秒， ∴每秒旋转， ∵当时，盛水筒G运动到点位置， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，盛水筒G转过的角度为，， ∴盛水筒G转过的路径． 【小问3详解】 解：设与水面的交点为I，则， ∵， ∴， ∴, 设盛水筒在点E或点F处距水面米， 连接，延长交于点G，交于点H， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）, ∵， ∴， ∴（秒）． 故答案为：30或70． 【点睛】本题考查了圆的性质应用．熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，旋转性质，等腰三角形性质，分类讨论，是解答本题的关键． 23. 已知，（），为线段上一动点，反比例函数（）的图像经过点． （1）当反比例函数经过、时，则 ， ； 此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有 个； （2）当时， ①求线段的表达式； ②求点从点到点的运动过程中，的最大值． 【答案】（1），， （2）①线段的表达式为；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法确定反比例函数关系式，从而求出的值；直线的解析式为，分别取，求出一次函数和反比例函数对应的函数值，看符合整点的个数即可解答； （2）①利用待定系数法即可求出线段的解析式；②设，将点P的坐标代入，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得，解得， 则反比例函数关系式， ∵反比例函数经过点， ∴； ∵，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 综上，此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有个； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：①当时，则， 设线段的表达式为，则， 解得， ∴线段的表达式为； ②∵线段的表达式为； 设， ∵反比例函数（）的图像经过点， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 即点从点到点的运动过程中，的最大值为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的最值，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键． 24. 如图，在四边形中，，，，，点在边上． （1）当时， ①当时，与 （填“相似”，“不相似”）； ②当与相似时，求的长； （2）当与相似，满足条件的有三个不同的值时，直接写出的取值范围 ． 【答案】（1）①不相似；②或 （2），且 【解析】 【分析】本题考查了“相似三角形的性质与判定”，根据相等角，找到对应线段的关系，同时利用分类讨论思想找齐情况是解题关键 （1）①计算出对应线段的长，由于已知一个角相等，根据相似的判定，比较相等角邻边的比例是否相等即可判断是否相似； ②表示出对应线段，根据相似的判定，令邻边的比例相等，列方程求解即可，由于相似的对应关系不确定，需要分类讨论； （2）根据两种不同情况下所列关于的方程，判断不同情况下存在不同值的个数，从而找到关于的不等式，确定取值范围． 【小问1详解】 ①∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴不相似； ②∵， ∴分两种情况， 第一种：， ∴， 解得，或， 第二种：， ∴， 解得， 所以，或； 【小问2详解】 同②理，可知分两种情况， 设， 第一种：， ∴， 整理，得， 第二种：， ∴， 解得， 可知第一种情况有两个不同的值，第二种情况有一个值，且该值不与第一种情况的值相同， ∴， 又， ∴， 代入，得， 解得（负值已舍去）， ∴， 所以，且，即，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 有一组数据：2，3，1，5，4，9．那么这组数据的中位数是（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 2. 如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某组数据的方差，则该组数据的总和是（ ） A. 8 B. 20 C. 40 D. 无法确定 5. 如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　） A. ， B. ，2 C. ， D. ，2 6. 点，在反比例函数的图像上，若，则，，0的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段，点、是线段的两个黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 9. 河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题的比例命题，满分为120分．若小明容易题得分率、中档题得分率、较难题得分率，则他的最终成绩是（ ） A. 96分 B. 98分 C. 100分 D. 102分 10. 已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 12. 如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（ ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到的距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A. Ⅰ和Ⅱ B. Ⅱ和Ⅲ C. Ⅰ和Ⅲ D. Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知（），，则______． 14. 设，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图像经过点和中点．若，则的值为______． 16. 如图，为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则弦，弦与圆围成的阴影部分的面积和是______，弦的长度是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应用写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）解方程； （2）． 18. 在某次体育测试中，将甲、乙两名男生5次引体向上的有效个数整理成如图的折线统计图，其中乙同学第5次测试成绩尚未记录，已知甲、乙两位同学5次引体向上测试成绩的平均数相同，乙同学测试成绩的方差． （1）①计算乙同学第5次的测试成绩，并补全折线统计图． ②乙同学5次引体向上测试成绩的中位数 ，众数 ，甲的方差 ； （2）现需从甲、乙两名同学中选择一名代表班级参加校级比赛： 嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少9个才能获胜），我选择乙同学代表班级参加校级引体向上比赛．” 请结合（1）的分析，选择其中一人的说法进行说理； （3）若乙同学再做一次引体向上，与之前的5组数据合在一起，发现乙同学6次引体向上测试成绩的中位数发生变化，则乙同学第6次测试成绩的最大值为 个． 19. “这么近，那么美，周末到河北”成为河北旅游最响亮最脍炙人口的宣传口号，正定南城门的旅游人数屡创新高，某中学数学兴趣小组用无人机测量正定南城门城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为．（参考数据：，，） （1）求坡顶到地面的距离； （2）计算南城门城楼的高度（结果保留一位小数）． 20. 在一次实践活动中，小明想借助如图所示直角的墙角搭建一个矩形场地，已知，，现在有的板材围成矩形． （1）时，则矩形的面积为 ； （2）若想围成面积为，求的长； （3）矩形的面积可否为？若可以，求出的长，若不可以，请说明理由． 21. 如图，已知是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）当时， ； （2）当时， ；（用含的式子表示） （3）当时，求矩形零件的面积． 22. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为的，如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米，当时，某盛水筒G恰好位于水面处，此时． 问题解决： （1）当时，盛水筒G运动到点位置，此时 ； （2）经过95秒后盛水筒G运动到点处，如图②所示，求盛水筒G运动的路径长； （3）一周内，当 秒时，盛水筒G与水面的距离为米． 23. 已知，（），为线段上一动点，反比例函数（）的图像经过点． （1）当反比例函数经过、时，则 ， ； 此时线段与反比例函数图像围成的封闭图形（不含边界）中的整点有 个； （2）当时， ①求线段的表达式； ②求点从点到点的运动过程中，的最大值． 24. 如图，在四边形中，，，，，点在边上． （1）当时， ①当时，与 （填“相似”，“不相似”）； ②当与相似时，求的长； （2）当与相似，满足条件的有三个不同的值时，直接写出的取值范围 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $