精品解析：陕西省西安市雁塔区高新一中2025～2026学年上学期期中九年级数学试题

2025—2026学年度第一学期期中考试试题 九年级数学 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，正确的是（　　） A. a：d＝c：b B. a：b＝c：d C. c：a＝d：b D. b：c＝a：d 2. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 4. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，那么_______． 10. 在中，若，则_______． 11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为________． 12. “二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，其基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．小刚为了估计边长为的正方形二维码内部黑白部分的面积，他在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 13. 如图，已知点A，点C在反比例函数，轴，若，则与的面积比为________． 14. 如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE， AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积 等于___（结果保留根号）． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： （1） （2） 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，与的相似比为； （2）若是内部任意一点，点在内部的对应点的坐标为______． 17. 如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． （1）该几何体的名称是_______； （2）若，，，，求该几何体的体积． 18. 如图，在中，，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 19. 如图，有甲、乙两个完全相同的转盘均被分成两个区域，甲转盘中区域的圆心角是，乙转盘中区域的圆心角是，自由转动转盘（如果指针指向区域分界线则重新转动）． （1）转动甲转盘一次，求指针指向区域的概率． （2）自由转动两个转盘各一次，利用树状图或列表法，求两个转盘指针同时指向区域的概率． 20. “闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表： 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 6 4 3 （1）求出关于的反比例函数表达式； （2）机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间． 21. 如图，在等腰三角形中，，点在的平分线上，过点作线段分别交，于点，，已知． （1）求证：∽； （2）若，是的中点，求的值． 22. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． 23. 如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． （1）经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ （2）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 24. 【问题提出】（1）如图①，在矩形中，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点E，连接并延长与的延长线交于点G，连接交于点F，求证：； 【问题解决】（2）如图②，在矩形中，M是的中点，延长到P，连接并延长与的延长线交于点E，连接、，与交于点F，已知，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试试题 九年级数学 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，正确的是（　　） A. a：d＝c：b B. a：b＝c：d C. c：a＝d：b D. b：c＝a：d 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、a：d=c：b⇒ab=cd，故正确； B、a：b=c：d⇒ad=bc，故错误； C、c：a＝d：b ⇒bc=ad，故错误 D、b：c＝a：d ⇒ad =bc，故错误． 故选A． 【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换． 2. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可求解． 【详解】由图可知左视图是 故选B． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义． 3. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ） A. 中心投影 B. 平行投影 C. 既是平行投影又是中心投影 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 4. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C．若添加，不能证明，故本选项符合题意； D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 5. 如图，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例． 先由折叠可得，再根据矩形DMNC与矩形ABCD相似得出矩形对应边的比例式，求出AB的长即可． 【详解】解：由折叠可得， ∵矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴． 故选：A． 6. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是正确理解函数图象和性质． 观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， 不等式的解集是或． 故选：． 7. 如图，将放在边长均为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、锐角三角函数的定义，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 取格点，求出后，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知，， 在中，． 故选：． 8. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形及角平分线可得，进而得到，再根据平行得到，可得，然后由勾股定理求得，进而求得，则的周长可得． 【详解】解：∵中， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、角平分线的定义、勾股定理，关键是由相似三角形的性质得到线段的比例关系，进而求得线段长． 二、填空题．（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟悉掌握运算方法是解题的关键． 由已知比例关系，设参数表示变量，代入所求分式化简即可． 【详解】由，设，， 则， 故答案为：． 10. 在中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 11. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故答案为：． 12. “二维码”是一种用于编码和解码信息的图象，其基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图象的形式表现出来．小刚为了估计边长为的正方形二维码内部黑白部分的面积，他在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是用频率估计概率、几何概率，解题关键是理解频率与概率的关系，明确黑色部分面积与正方形面积之比等于概率． 先计算正方形面积，再由黑色部分面积与正方形面积之比等于概率即可求解． 【详解】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为， 边长为的正方形面积为， 黑色部分的总面积． 故答案为：． 13. 如图，已知点A，点C在反比例函数，轴，若，则与的面积比为________． 【答案】1∶5 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行线分线段成比例定理，过C作轴于E，由反比例函数的性先证明，设的面积为S，则的面积为，的面积为，再由平行线分线段成比例定理得到，则的面积为，从而求出的面积为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过C作轴于E， ∵轴于点B， ∴， ∴， 设的面积为S， ∵， ∴的面积为，的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴四边形的面积为， 即的面积为， ∴与的面积比为， 故答案为：． 14. 如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE， AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积 等于___（结果保留根号）． 【答案】3- 【解析】 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，然后求出其边长，过点F作FH⊥AE，过C作CM⊥AB，利用三角函数求出HF的值，即可得出三角形AFE的面积. 【详解】解：作CM⊥AB于M， ∵等边△ABC的面积是4， ∴设BM=x，∴tan∠BCM=， ∴BM=CM， ∴×CM×AB=×2×CM2=4， ∴CM=2，BM=2， ∴AB=4，AD=AB=2， 在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H， 则∠AFH=45°，∠EFH=30°， ∴AH=HF， 设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x． 又∵AH+EH=AE=AD=2， ∴x+x=2， 解得x=3-． ∴S△AEF=×2×（3-）=3-． 故答案为3- 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求一个数的绝对值、特殊角的三角函数值、实数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一个数的绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的混合运算法则，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，与的相似比为； （2）若是内部任意一点，点在内部的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标，解题关键是熟练掌握位似的相关性质． （1）根据位似比确定点的坐标，描点后顺次连接即可； （2）根据位似的性质即可得到对应点的坐标． 【小问1详解】 解：以点为位似中心，在第四象限作出与相似比为的位似图形， 【小问2详解】 解：是内部任意一点，与的相似比为，且点为位似中心， 点在内部的对应点的坐标为． 故答案为：． 17. 如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图． （1）该几何体的名称是_______； （2）若，，，，求该几何体的体积． 【答案】（1）三棱柱； （2）该几何体的体积为． 【解析】 【分析】（1）由三视图可知该几何体名称； （2）作交于点，结合锐角三角函数和勾股定理求出，，，继而求出，即可求得该几何体的体积． 【小问1详解】 解：根据三视图可知，该几何体为三棱柱， 故答案为：三棱柱； 【小问2详解】 解：作交于点， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 该三棱柱的体积为． 【点睛】本题考查的知识点是三棱柱的三视图、体积、锐角三角函数、勾股定理，解题关键是熟练掌握以上知识点． 18. 如图，在中，，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，解直角三角形求出的长，据此可得答案； （2）根据三角形中线的定义求出的长，进而求出，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 19. 如图，有甲、乙两个完全相同的转盘均被分成两个区域，甲转盘中区域的圆心角是，乙转盘中区域的圆心角是，自由转动转盘（如果指针指向区域分界线则重新转动）． （1）转动甲转盘一次，求指针指向区域的概率． （2）自由转动两个转盘各一次，利用树状图或列表法，求两个转盘指针同时指向区域的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）用除以即可求解； （）列表求出总的结果数和两个转盘指针同时指向区域的结果数，利用概率公式计算即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：转动甲转盘一次，指针指向区域的概率为； 【小问2详解】 解：列表如图： 乙 甲 由表可得，共有种等可能的结果，两个转盘指针同时指向区域的结果有种， ∴两个转盘指针同时指向区域的概率为． 20. “闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表： 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 6 4 3 （1）求出关于的反比例函数表达式； （2）机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间． 【答案】（1） （2）秒 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设这个反比例函数表达式为，根据表格中的数据求出即可； （2）分别求出、时的速度及相应的时间，比较后得出结论． 【小问1详解】 解：设这个反比例函数表达式为， ∵当时，， ∴， 反比例函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， （秒）， 当时，， （秒）， （秒）， 机器狗所用的最短时间为198秒． 21. 如图，在等腰三角形中，，点在的平分线上，过点作线段分别交，于点，，已知． （1）求证：∽； （2）若，是的中点，求的值． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、三线合一定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）利用角平分线定义推得即可证明∽； （2）由题意得，，再结合三线合一定理得，根据相似三角形性质得，代入、、即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ，平分， ， ，， 是的中点， ， ， ， 则， ． 22. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】楼与之间的距离的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长、分别于直线交于、，分别利用解三角形求出、、即可． 【详解】解：延长、分别交直线于、， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴楼与之间的距离的长约为． 23. 如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． （1）经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ （2）是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒或秒 （2）存在，秒或秒 【解析】 【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解； （2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； 【小问2详解】 由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 24. 【问题提出】（1）如图①，在矩形中，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点E，连接并延长与的延长线交于点G，连接交于点F，求证：； 【问题解决】（2）如图②，在矩形中，M是的中点，延长到P，连接并延长与的延长线交于点E，连接、，与交于点F，已知，，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∴，， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易证，．再根据相似比结合，即可得证； （2）过点E作，交、分别于点H、G，易得，可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）过点E作，交、分别于点H、G， 在矩形中，，，M是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $