安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

高三数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|y=ln(x-2)},B={1,2,3,4},则A∩B= A.{1,2,3,4} B.{3,4} C.{1,2,3} D.{2,3,4} 2.已知a,b∈R,则“ab<1”是“ln a+ln b<0”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知A,B分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的长、短轴的一个端点,且直线AB的斜率为,则C的离心率为 A. B. C. D. 4.已知直线l1:ax+(a-2)y+2=0和直线l2:3ax+y+13=0平行,则a= A. B. C.1 D.2 5.若函数f(x)=3cos(2x+φ)(φ>0)的图象向右平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则φ的最小值为 A. B. C. D. 6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),以F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P,若直线PF2与圆E:x-2+y2=相切,则该双曲线的渐近线方程是 A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x 7.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0,且λ≠1)的点的轨迹是圆,此圆被称为点A和B相关的阿波罗尼斯圆.现已知点A和B相关的阿波罗尼斯圆为圆O:x2+y2=4,其中点A(-4,0),且点P在该圆上,点Q在圆M:(x-5)2+(y-8)2=4上,则2|PQ|+|PA|的最小值为 A.16 B.8 C.12 D.6 8.已知f'(x)是定义在R上的奇函数f(x)的导数,且g(x)=f'(x)-2ex+2x也是定义在R上的奇函数,则关于x的不等式g(2a+1)+g(a-5)<0的解集为 A.-∞, B.,+∞ C.-1, D.,2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9.已知z=a+bi,其中a,b∈R,i为虚数单位,且复数z+1和(1+i)z均为纯虚数,则 A.b=-1 B.a=1 C.|z|= D.|z|= 10.在平面直角坐标系中,方程E:x2+y2cos α=1,α∈[-π,0]表示的曲线可能是 A.一条直线 B.一个圆 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 11.如图,一个半圆柱的轴截面为矩形ABCD,点E在上底面上,连接AE,BE.若AB=2,∠DCE=30°,该几何体的外接球的表面积为13π,则 A.BE=3 B.AE= C.△ABE的面积为 D.点C到平面ABE的距离为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知数列{an}是递增数列,且a5=4a1-1,请写出一个满足上述条件的数列{an}的通项公式:　　　　.  13.已知|a|=4,|b|=2,|a+b|=2,则向量a与b的夹角为　　　　.  14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x,y)为该抛物线上的动点,A是抛物线C的准线与坐标轴的交点,则的最小值是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知双曲线-=1(a>0)的一个焦点为(0,2),且双曲线的一个顶点与抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点重合. (1)求抛物线C的方程; (2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,且弦AB的中点的横坐标为-4,求直线l的斜率. 16.(15分)已知函数f(x)=x2-1+x++(a>0). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性. 17.(15分)如图,在三棱锥D-ABC中,平面DAC⊥平面ABC,AD=DC,∠ADB=∠BDC. (1)求证:AC⊥BD. (2)已知BD=,AC=2,AD=,F是线段BD上一点,当AF⊥BD时,求二面角F-AC-D的余弦值. 18.(17分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,右顶点为B,下顶点为D,△DBF1的面积为1+. (1)求椭圆C的方程. (2)设P,Q是椭圆上异于A,B的两点,直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,且满足=,求证:直线PQ过定点. 19.(17分)设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互质.若n为正整数且n≥2,集合Xn={1,2,…,n-1},规定函数φ(n)的值等于集合Xn中与n互质的正整数的个数. (1)试求φ(5),φ(7),φ(35)的值. (2)设p,q是两个不同的质数,写出φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系. (3)RSA算法是一种非对称加密算法,它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言: ①准备两个不同的、足够大的质数p,q;②计算φ(m),其中m=p·q;③选取一个大整数e,满足与φ(m)互质,③求正整数k,使得ke除以φ(m)的余数是1;④其中(m,e)称为公钥,(m,k)称为私钥. 已知某RSA加密算法中的公钥是(143,17).若满足私钥条件的正整数k按从小到大排列得到的一列数记为数列{bn},数列{an}满足120an=bn+7,Sn为数列{an}的前n项和,记Tn=+++…+,证明:Tn≥1. 参考答案 1.B 【解题分析】由题易知A={x|x>2},则A∩B={3,4}. 2.C 【解题分析】若ab<0,则a,b有可能为负数;若ln a+ln b<0,则ab∈(0,1).故“ab<1”是“ln a+ln b<0”的必要不充分条件. 3.D 【解题分析】由直线AB的斜率为,知=,故e==. 4.A 【解题分析】若直线l1:ax+(a-2)y+2=0和直线l2:3ax+y+13=0平行, 则解得a=. 5.B 【解题分析】依题意,函数f(x)=3cos2x+φ-是偶函数,则φ-=kπ,k∈Z, 即φ=+kπ,k∈Z,而φ>0,所以φ的最小值为. 6.C 【解析分析】如图所示, 设直线PF2与圆E:x-2+y2=相切于点M,且圆心E,0,半径|EM|=. 因为以F1F2为直径的圆过点P,所以PF1⊥PF2, 又圆E与直线PF2的切点为M,所以EM⊥PF2,从而EM∥PF1. 由△F2EM∽△F2F1P,得=,所以|PF1|===b. 又|PF2|=|PF1|+2a=b+2a,所以b2+(b+2a)2=4c2,解得b=2a, 因此该双曲线的渐近线方程为y=±2x. 7.A 【解题分析】2|PQ|+|PA|=2|PQ|+|PA|. 设P(x0,y0),则+=4,故=4-, 故|PA|=====, 可得B(-1,0),则|PA|=|PB|, 故|PQ|+|PA|=|PQ|+|PB|≥|PB|+|PM|-r☉M≥|MB|-r☉M=10-2=8, 当且仅当B,P,Q,M四点共线时,|PQ|+|PA|取得最小值8,则2|PQ|+|PA|的最小值为16. 8.B 【解题分析】因为g(x)=f'(x)-2ex+2x,所以f'(x)-2ex+2x+f'(-x)-2e-x-2x=0, 故f'(x)+f'(-x)=2ex+2e-x. 因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)+f(-x)=0, 故f'(x)-f'(-x)=0,故f'(x)=ex+e-x,故g(x)=-ex+e-x+2x, 此时g'(x)=-ex-e-x+2≤-2+2=0,故g(x)为R上的减函数. 而g(2a+1)+g(a-5)<0等价于g(2a+1)<g(5-a), 即2a+1>5-a,解得a>. 9.AD 【解题分析】已知z=a+bi,则z+1=a+1+bi,由题意可得a+1=0,且b≠0,得a=-1. 又(1+i)z=(1+i)(a+bi)=a-b+(a+b)i,则解得b=-1. 于是z=-1-i,|z|==. 10.BC 【解析分析】设m=cos α∈[-1,1],故曲线E的方程可表示为x2+my2=1(-1≤m≤1). 当m=0时,曲线E的方程为x2=1,可得x=±1,此时曲线E为两条直线,故A错误; 当m=1时,曲线E的方程为x2+y2=1,此时曲线E是一个圆,故B正确; 当0<m<1时,>1,曲线E的方程为x2+=1,此时曲线E是焦点在y轴上的椭圆,故C正确; 当-1≤m<0时,-≥1,曲线E的方程为x2-=1,此时曲线E是焦点在x轴上的双曲线,故D错误. 11.BD 【解题分析】由该几何体的外接球的表面积为13π,可知外接球的半径为,则2+1=,即AD=3.如图,连接AC,过点E作EF⊥CD于点F,易证EF⊥平面ABCD. 由条件可得DE=1,CE=,EF=, AE==,BE==2. 由余弦定理可得cos∠AEB==, ∴sin∠AEB==, ∴△ABE的面积S△ABE=××2×=. 设点C到平面ABE的距离为h,由三棱锥E-ABC与C-ABE的体积相等可得 ×h=×3×,故h=,即点C到平面ABE的距离为. 12.an=(答案不唯一,合理即可) 【解题分析】易知an=满足题意. 13. 【解析分析】由题意知|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=|a|2+2|a||b|cos<a,b>+|b|2=28, 将|a|=4,|b|=2代入,得cos<a,b>=,故<a,b>=. 14. 【解题分析】由题知F,0,A-,0,设点P在准线上的射影为点Q,则|PF|=|PQ|. 设直线PA的倾斜角为θ, 则===cos θ. 当cos θ最小时,的值最小, 所以当直线PA与抛物线C相切时,θ最大,即cos θ最小. 因为直线AP与抛物线C相切,所以可设直线PA的方程为y=kx+(k≠0), 与y2=2px联立并化简得k2x2+(k2-2)px+p2k2=0, 由Δ=(k2-2)2p2-p2k4=0, 解得k=±1,当k=±1时,cos θ=. 所以的最小值为. 15.【解析分析】(1)根据题意得,a2=28-12=16,则a=4,于是可得抛物线C的焦点为(0,4), 所以抛物线C的方程为x2=16y. 5分 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×(-4)=-8. 由得-=(x1-x2)(x1+x2)=16(y1-y2), 所以直线l的斜率为==-. 13分 16.【解题分析】(1)由题意知,f(1)=-+=-,f'(1)=0,则y+=0,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+=0. 4分 (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)=0,则x1=1,x2=.若a=1,则f'(x)≥0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上是增函数. 若0<a<1,则>1, 当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈1,时,f'(x)<0,f(x)是减函数; 当x∈,+∞时,f'(x)>0,f(x)是增函数. 若a>1,则0<<1, 当x∈0,时,f'(x)>0,f(x)是增函数; 当x∈,1时,f'(x)<0,f(x)是减函数; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增函数. 综上所述,当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当0<a<1,f(x)在(0,1)和,+∞上单调递增,1,上单调递减; 当a>1时,f(x)在0,和(1,+∞)上单调递增,,1上单调递减. 15分 17.【解析分析】(1)取AC的中点M,连接DM,BM, 因为DA=DC,DB=DB,∠ADB=∠CDB, 所以△ADB≌△CDB, 所以AB=BC. 因为M为AC的中点, 所以AC⊥DM,AC⊥BM. 又DM,BM⊂平面DBM,DM∩BM=M, 则AC⊥平面DBM,又BD⊂平面DBM,故AC⊥BD. 6分 (2)由平面DAC⊥平面ABC,且AC⊥BM,BM⊂平面ABC, 平面DAC∩平面ABC=AC, 所以BM⊥平面DAC. 又DM⊂平面DAC,故BM⊥DM, 即有BM,DM,AC两两垂直, 故以M为原点,建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz. 由BD=,AC=2,AD=,AD=DC,AB=BC, 知DM=AC=1,BM==2, 即M(0,0,0),D(0,0,1),B(0,2,0),A(1,0,0),C(-1,0,0), 则=(0,2,-1),=(-1,0,1),=(-2,0,0). 令=λ=(0,2λ,-λ),λ∈[0,1],则=+=(-1,2λ,1-λ), 由AF⊥BD,知2×2λ+(-1)×(1-λ)=0,解得λ=, 故=-1,,. 设平面FAC的法向量为m=(x,y,z), 则有令y=2,则有m=(0,2,-1). 由y轴⊥平面ACD,故平面ACD的一个法向量可为n=(0,1,0), 则cos<m,n>===, 因为二面角F-AC-D为锐二面角, 所以二面角F-AC-D的余弦值为. 15分 18.【解题分析】(1)依题意e==,得c=a,又a2=b2+c2=b2+a2,得b=a. 又=(a+c)b=a+a×a=×1+=1+, 得a2=4,b2=1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. 5分 (2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2). 若直线PQ的斜率为零,则点P,Q关于y轴对称,则k1=-k2,不合乎题意. 设直线PQ的方程为x=ty+n,由于直线PQ不过椭圆C的左、右顶点,则n≠±2, 由可得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0, 由Δ=4t2n2-4(t2+4)(n2-4)=16(t2+4-n2)>0,可得n2<t2+4, 由韦达定理可得y1+y2=-,y1y2=,则ty1y2=(y1+y2), 所以=·=== =·==,解得n=, 即直线PQ的方程为x=ty+,故直线PQ过定点,0. 17分 19.【解析分析】(1)由题中的定义知,不越过5且与5互质的正整数有1,2,3,4,则φ(5)=4.不越过7且与7互质的正整数有1,2,3,4,5,6,则φ(7)=6. 不越过35且与35互质的正整数有1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34,则φ(35)=24. 4分 (2)φ(pq)=φ(p)·φ(q),证明如下: p,q是两个不同的质数,得φ(p)=p-1,φ(q)=q-1, 在不超过pq-1的正整数中,p的倍数有q-1个,q的倍数有p-1个, 于是φ(pq)=pq-1-(p-1)-(q-1)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1), 所以φ(pq)=φ(p)·φ(q). 8分 (3)某RSA加密算法中的公钥是(143,17),则m=143,e=17, 由(2)得,φ(143)=φ(11×13)=(11-1)×(13-1)=120, 即正整数k满足的条件为17k=120x+1,x∈N, 则k=x+=7x+. 取x=17n-1,得k=120n-7,于是bn=120n-7, 因此120an=bn+7=120n, 得an=n,Sn=, 所以Tn=+++…+⇒Tn=+++…+, ==2- ⇒Tn=2×1-+-+-+…+-=21-. ∵n∈N*,∴n+1≥2,∴0<≤,∴1-≥, ∴Tn≥1,原式得证. 17分 ( 第 11 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $