第15讲 函数的应用与反函数（知识清单+11题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版2020必修一）

第15讲 函数的应用与反函数 知识点01：函数的零点 题型05 求函数零点或方程根的个数 知识点02：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 题型06 求零点的和 知识点03：用二分法求函数的零点 题型07 根据函数零点的个数求参数范围 知识点04：反函数 题型08 根据二次函数零点的分布求参数的范围 题型01 分段函数模型的应用 题型09 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型02 利用二次函数模型解决实际问题 题型10 用二分法求函数的零点 题型03 分式型函数模型的应用 题型11 反函数 题型04 求函数的零点 强化训练 知识点01 函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点02 一元二次方程根的分布与方程系数的关系 设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 知识点03 用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 知识点04 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 题型01 分段函数模型的应用 【例1-1】（25-26高一上·上海·期中）“”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为千元，用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完，其销售额为（单位：千元）． (1)求“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y（千元）关于产量x（千支）的函数关系式； (2)当产量为多少千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大？ 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用销售额减去成本就等于利润来分段表达即可； (2)利用分段求函数的最大值，从而可作出判断. 【详解】（1）依题意，“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润为， 则当时，； 当时，. 所以y关于x的函数关系式为； （2）当时，， 因在上单调递增，故； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立.  因， 故当产量为11千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大. 【例1-2】（25-26高一上·上海·期中）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：   其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），当，时，问发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 【答案】(1)当地铁的发车时间间隔为5分钟时，地铁载客量； (2)发车时间间隔为6分钟，最大净收益为120元. 【分析】（1）根据给定的函数，直接得答案. （2）分段计算净收益，并求最值，再比较大小得解. 【详解】（1）依题意，的实际意义是：当地铁的发车时间间隔为5分钟时，地铁载客量. （2）当时， ，当且仅当时取等号； 所以当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. 【例1-3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． (1)计算的值，并说明其的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【答案】(1)，答案见解析 (2)当发车时间间隔为6分钟时，每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元 【分析】（1）根据的解析式代入求得，其意义为间隔时间的载客量.（2）将的解析式代入即可求得的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间. 【详解】（1）由函数的解析式可得：， 其实际意义是：当地铁的发车时间隔为10分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量； （2）①当时， 当且仅当，即时，等号成立， ②当时，. 当且仅当时等号成立， 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元． 【变式1-1】（24-25高一上·上海浦东新·月考）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业的人力资源部门研究对开发该软件的团队进行奖励：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元. (1)若该公司采用函数，作为奖励函数模型，试判断该函数是否符合公司奖励要求，并说明理由； (2)若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围. 【答案】(1)满足，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性求出在上的值域，最大值与作比较可得答案； （2）利用单调性求出分段函数在上的值域，最大值与作比较可得答案. 【详解】（1）， 因为在上是减函数， 所以在上增函数， 因为，所以， 因为，则函数满足，奖金金额不超过20万元， 故满足公司奖励的要求； （2）当时，易知是增函数， 且当时，， 当时，，即满足奖金且不超过20万的要求； 故当时，符合企业奖励要求. 当时，函数是增函数， 即对任意，且时， 成立， 故当且仅当，即时，此时函数在上是增函数. 由，得； 进一步可知，，故成立， 即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求. 依据函数模型是符合企业的奖励要求， 即此函数为增函数， 于是，有，解得. 综上，所求实数的取值范围是. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）某次展会上，跨国A公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元：现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； (2)产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额－成本） 【答案】(1) (2)产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）. 【分析】（1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式； （2）根据（1）中所求函数关系式，求函数的最大值即可. 【详解】（1）因为当生产10千台空调需另投入的资金万元， 故，解得； 则， 即； （2）当时，， 当时，取得最大值为； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值为； 综上所述，当时，取得最大值， 即产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）. 【变式1-3】（24-25高一上·上海奉贤·月考）经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路.某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培有管理､施肥等人工费）为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)请问：如何控制单株施肥量，使该水果树的单株利润不少于500元？（精确到0.01，参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本其它成本，从而可求出函数关系式； （2）分两段求解不等式即可得. 【详解】（1）， 所以； （2）当时， ， 所以， 当时，， 所以，所以， 则单株的施肥量控制在内，该水果树的单株利润不少于500元. 【变式1-4】（24-25高一上·上海·期末）如图所示，已知三地在海岸线上，地在地正东方向12千米处，地在地正东方向3千米处，海岛在地正南方向3千米处，一艘小船正从海岛以10千米/小时的速度沿直线向海岸线航行，最终在海岸线上的地登岸，地在地正东方向千米处，其中． (1)已知，若小明从海岛乘坐小船出发，登岸后立即以5千米/小时的速度沿海岸线从地径直匀速走向地，求小明从海岛出发抵达地所花的时间（精确到0.1小时）； (2)小明在网上叫了“准时达”的外卖，已知他从海岛乘坐小船出发时，外卖员正沿着海岸线从地出发匀速驶向地，若小明登岸时恰好遇见外卖员，求外卖员行驶的最大速度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形性质可计算各线段长度，再根据速度可得时间； （2）根据时间相等可列方程，再结合基本不等式可得最值. 【详解】（1）如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为； （2）如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 题型02 利用二次函数模型解决实际问题 【例2】（25-26高一上·上海·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在农庄内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为米，宽为米． (1)若所用篱笆总长为10米，求育苗区面积S关于长的函数表达式（注明定义域）； (2)若育苗区面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值，并指出此时的取值； (3)若使用的篱笆总长为12米，求的最小值． 【答案】(1)； (2)时，所用篱笆总长取得最小值12米； (3)． 【分析】（1）用表示出，再计算面积，并由边长为正得定义域； （2）利用基本不等式求最小值； （3）结合“1”的代换，利用基本不等式求最小值． 【详解】（1）由已知，由得，所以， ， 所以函数式为； （2）由题意，篱笆总长为，当且仅当即时取等号， 所以时，所用篱笆总长取得最小值12米； （3）由已知， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以时，取得最小值． 【变式2-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，建立不等式关系，即可求解； （2）根据条件得到，再分和两种情况，分别求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）由题知，所以当时，，不符题意； 当时，由，整理得到，即，解得，即， 所以交通流量，道路密度的取值范围为. （2）由题意得时，，得到， 当时，， 当时，， 由于，所以当时，取得最大值， 又，所以车辆密度的最大值为. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好 (1)若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【答案】(1)为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. (2)变好了，理由见解析 【分析】（1）由题意列不等式求的最小值并求此时的值； （2）设列不等式组化简求解；设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得，且， 所以， 又矩形面积 设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小， 此时由（1）可得或， 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （2）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，则， 因为， 所以. 又，所以， 因此，即， 所以窗户和地板同时增加相等似面积，采光条件变好了. 题型03 分式型函数模型的应用 【例3】（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为． (1)用表示； (2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为 【分析】（1）由题得，化简即得解； （2）利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）； （2）， ， 当且仅当即时等号成立， 当为40m时，蔬菜的种植面积S最大，最大值为． 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）某电动摩托车企业计划在2024年投资生产一款高端的电动摩托车.经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，.已知该款电动摩托车售价为（单位：元/台），并且当年内生产的该款摩托车能全部部售完. (1)求2024年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（年利润=销售所得-投入资金-设备改造费）； (2)当2024年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润的多少？ 【答案】(1) (2)万台，年利润最大为万元 【分析】（1）根据已知条件求出解析式整理化简即可； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）根据题意， （2），， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 所以， 所以当时，年利润最大，最大值为. 【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·月考）某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税．某外资企业第一个月A型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为（，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少p万件． (1)试求第二个月政府对该商品征收的税收（万元）的表达式（用p表示），并求P的取值范围． (2)要使第二个月该企业的税收不少于1万元，求p的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出月销售收入，从而求出政府对该商品征收的税收； （2）解不等式，求出的范围即可. 【详解】（1）依题意，第二个月该商品销量为万件， 月销售收入为万元， 政府对该商品征收的税收（万元）, 所以所求函数为， 由及得，所求函数的定义域为； （2）由（1）， 由得化简得， 即，解得， 所以当，税收不少于１万元. 题型04 求函数的零点 【例4-1】（24-25高一上·上海·月考）函数的零点是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，令，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，解得或， 所以函数的零点是或. 故答案为：或 【例4-2】（24-25高一上·上海浦东新·月考）设常数，函数. (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)当时，求函数的零点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，列出等式求解即可； （2）由解方程即可； 【详解】（1）由题意知：函数的定义域为， 是奇函数，，即， 即，整理可得：. （2）若，则， ， . 【变式4-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是 . 【答案】6 【分析】令，解方程求得答案. 【详解】令，即， 则，， 解得或（舍去）， 所以函数的零点为6. 故答案为：6. 【变式4-2】（24-25高一上·上海静安·月考）已知函数的定义域为D，其中a为常数 (1)若，讨论的奇偶性，并说明理由； (2)当时，求函数的零点. 【答案】(1)答案见详解 (2)和0 【分析】（1）根据奇偶性的定义并结合两种情况进行讨论； （2）分成两种情况打开绝对值，结合一元二次方程以及指数幂运算得出结果； 【详解】（1）由已知可得， 当时，即， 当时，为奇函数； 当时，为非奇非偶函数. （2）当时，， 令，得，即. 当时，，即， 解得(舍)，或，； 当时，，即，解得，； 则函数的零点为和0. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）定义，且，例如.回答以下问题： (1)若，求的最小值； (2)若且，求的取值范围； (3)函数定义域为，且满足，若恰有99个零点分别记作，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把变形成，再利用基本不等式即可求解； （2）利用和基本不等式消去中的和，再解关于的一元二次不等式即可； （3）分析可知1是函数的零点，若是的零点，则也是的零点，则可令，再根据基本不等式即可求取值范围． 【详解】（1）若，即， 则， 当且仅当取等号， 所以的最小值为. （2）若，即，所以， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）因为函数定义域为，且满足， 令，则， 即，可知是函数的零点， 不妨设， 若是的零点，则， 则，即，可知也是的零点， 不妨令， 则， 由于，（由，即等号取不到）， 可得， 所以的取值范围是． 题型05 求函数零点或方程根的个数 【例5-1】（24-25高一上·上海·月考）已知，有，则实数的值有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义判断为偶函数，则可得，再分析得时，，从而得解. 【详解】因为的定义域为， 又， 所以可知为偶函数，若， 可得或， 解之可得或，则的值有4个， 当时，，若此时， 化简求交集可得，此时恒成立，故的值有无数个， 综上，的值有无数个. 故选：D 【例5-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则方程不同解的个数为 ． 【答案】3 【分析】分段函数，分段讨论方程解的个数即可. 【详解】当时，方程，即， ，，解得或， 当时，方程，即， ，，解得或， 因为，故此时. 故方程不同解的个数为3. 故答案为：3 【例5-3】（24-25高一上·上海·期中）已知函数在R上连续，且恒成立，则在上至少有几个不同的解？ 【答案】666 【分析】利用求出的周期为3，然后利用不等式的性质求出在上至少有一个解，然后结合函数的周期求解即可. 【详解】 故 两式作差得： 即 所以或者 当时，， 此时，因为方程组无解，故， 所以即周期为3， ， 故， 所以， ， 故， ， 则，， 且函数在R上连续，故在上至少有一个解， 且周期为3，故在一个周期内至少有2个解， 在上共有333个周期， 则在上至少有666个不同的解. 【变式5-1】（24-25高一上·上海宝山·月考）已知为实数 ， ，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为 【答案】 【分析】令，由时，，的零点一一对应求解. 【详解】令， 设，显然，则， 所以除外，的零点一一对应， 又存在，，，使得， 所以或， 则或， 故答案为： 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，其中． (1)若，函数为奇函数，求实数的值； (2)若，求函数在内的零点个数； (3)若且，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得到结果； （2）令可求得函数的零点个数； （3）由得到，将其代入函数，再根据不等式恒成立，通过分析函数的单调性可得到结果. 【详解】（1）若，则，即， 因为函数为奇函数，所以， 即，解得； （2）若，则， 令，因为分母不可能为零， 所以，即， 解得或， 当时，函数在内有两个零点和， 当时，函数在内只有一个零点； （3）因为，所以，则， 即， 因为，，所以， 要使不等式对任意恒成立， 只需对任意恒成立， 令，其对称轴为，函数在上单调递增， 所以， 要使恒成立，则， 即，解得，又，所以， 所以实数的取值范围为. 题型06 求零点的和 【例6】（23-24高一上·上海·期末）已知函数，则该函数的所有零点的和是 ． 【答案】 【分析】令，求出零点后相加即可. 【详解】令，解得， 函数的所有零点的和为. 故答案为：. 【变式6-1】（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【详解】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一上·上海·月考）如果关于的一元三次方程（且）有三个实数根，则 （用表示） 【答案】 【分析】根据方程实数根的性质，结合整式的乘法运算法则进行求解即可. 【详解】因为关于的三次方程的3个实根为， 所以， 而， 所以， 故答案为： 【变式6-3】（22-23高三上·广东潮州·期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为 . 【答案】18 【分析】判断出的对称性、周期性，画出与的图象，结合图象求得的所有零点之和. 【详解】∵满足，则关于直线对称， 又∵是定义在上的奇函数，则， 即，则， ∴是以4为周期的周期函数， 对，可得，则， ∴关于点对称， 令，则， 可知：与均关于点对称，如图所示： 设与的交点横坐标依次为， 则， 故函数的所有零点之和为. 故答案为：18. 题型07 根据函数零点的个数求参数范围 【例7-1】（25-26高一上·上海·期中）设是定义在R上的偶函数，且当时，．若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由偶函数的性质和二次函数的判别式以及对称轴可解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以的图象关于轴对称， 又函数恰有4个零点，所以当时，有两个零点， 所以，解得或， 又二次函数的对称轴，且， 所以. 故答案为：. 【例7-2】（25-26高一上·上海青浦·月考）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)函数在R上是增函数；； (3). 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）根据函数的单调性和奇偶性将函数不等式转化成不等式存在性问题，参变分离转换成最值问题，求出函数最值即可得出答案； （3）将零点问题转换成方程解的个数问题，换元，进一步转成一元二次方程根的分布问题. 【详解】（1）由题定义域为R，关于原点对称，任意的 ，所以为奇函数； （2）函数在R上是增函数； 所以， 即， 所以原问题转化为存在，使成立， 令，， 对称轴为，且开口向上，所以， 所以； （3）令， 即， 令，得， 所以原问题转化成关于的方程存在两个不同的正数解， ， 故. 【变式7-1】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据解析式易知是的零点，结合零点个数及指数函数的性质确定参数范围. 【详解】由，可得是唯一的零点， 所以在上无零点，又在定义域上单调递增， 所以，故只需. 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高一上·上海·期中）设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意可知或，进而可得且，并分析函数的构成，即可确定的范围 【详解】因为对于任意，的值为或，可得且， 又因为关于的方程无实数解，则且， 可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的， 若，只需取，则无解； 若，只需取，则无解； 若，只需取，则无解； 所以的取值范围是. 故答案为：． 【变式7-3】（25-26高一上·上海·期中）已知二次函数，其中， (1)若满足，求； (2)若，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围； (3)当，若对任意实数，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由是偶函数，问题转化为时，与有两个不同的交点，进而分析求解即可； （3）问题转化为，分情况讨论的最值求解. 【详解】（1）由已知， ， 所以，解得， 所以； （2）因为为偶函数，所以若关于的方程有四个不同的实根， 则时，方程有两个不同的实根， 即时，与有两个不同的交点， 当时，，， 而时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，开口向下，对称轴在轴右侧，且最大值大于. 所以，解得且， 所以实数的取值范围为； （3）由已知可知，对任意实数，在恒成立， 因为的对称轴为，， 若，则在单调递增， ， 所以在恒成立， 因为在单调递增，所以，解得； 若，即，则在单调递减， ， 所以在恒成立， 因为在单调递减， 所以，解得； 当，即， ， 所以在恒成立， 因为在单调递增， 所以，解得； 当，即时， ， 所以在恒成立， 因为在单调递减， 所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 题型08 根据二次函数零点的分布求参数的范围 【例8-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）关于x的方程有两个不同的正实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用根的判别式以及韦达定理来确定参数的取值范围. 【详解】对于一元二次方程，因为方程有两个不同的根， 所以，且，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 【例8-2】（24-25高一上·上海·期末）若函数在上存在零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用判别式列不等式来求得正确答案. 【详解】依题意，函数在上存在零点， 所以， 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式8-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析函数在区间上的单调性，结合题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在区间上单调递减，且该函数在区间内有零点， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高一上·上海·月考）若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用根的分布列出限制条件可得答案. 【详解】要满足题意，则，解得． 故答案为： 【变式8-3】（24-25高一上·上海·月考）已知函数 (1)若的两根为 且 求实数m的值； (2)若函数的图象在区间上与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根与系数关系可得，即可求解； （2）由题意分情况讨论有一个根和二个根，然后列出相应的不等式组，从而可求解. 【详解】（1）由题意可得：，， 由， 化简得，解得. 故. （2）当只有一个根，且此根位于区间， 则得，解得， 所以； 当有两个根时，有一个根在区间内，且另一个根位于之外， 则，解得，即； 当有两个根位于区间内，且只有一个根在区间内，则另一个根为时，可得， 此时，解得另一个根，故此种情况不符题意； 当有两个根位于区间内，且只有一个根在区间内，则另一个根为时，可得， 此时，解得另一个根，故此种情况符合题意； 综上所述：的取值范围为. 题型09 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【例9-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据方程解与函数零点的关系，结合函数零点存在性定理解不等式即可求解. 【详解】因为关于x的方程有负根，所以有负根. 根据单调性的性质可知：函数的定义域为，且在和上单调递增. 当时，在上单调递增，当时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得； 当时，，若时，，，则恒成立，函数在上无零点； 当时，在和上单调递增， 当时，，，，故函数在上无零点； 当时，时，，，， 根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得. 综上，a的取值范围是. 故答案为：. 【例9-2】（24-25高一上·上海金山·月考）如果函数）在区间上存在满足则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据新定义转化为方程在上有解问题求解． 【详解】根据题意由，可得； 又因为函数在上存在均值点，即方程在上有解， 设，则有在上有解；即， 因此函数与图象有交点， 而二次函数对称轴为，其在上的值域为 所以可得实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式9-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的方程的根为负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题设方程变形为，依题意，将其转化成函数与的图像交点的横坐标为负数，结合图象观察，即得，解之即得. 【详解】方程可变形为，则原方程的根为负数等价于的根为负数， 即函数与图象交点的横坐标为负数．如图，    则由图知，只需使，解得． 【变式9-2】（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【答案】 【分析】判断函数关于直线对称，画出函数的大致图象，由函数与有4个交点，进而求出的取值范围，由利用函数 和换元法并结合二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】当时，，函数关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示 ，方程有四个不相等的实根， 函数与有4个交点， 由函数的图象可知， 即的取值范围为：， 由函数的图象可知：，，且，， ，，，， 令，，，设，则，， 根据对勾函数单调性其单调递增，则， 又， 设，，对称轴为，则 即，即范围为 故答案为：． 【变式9-3】（23-24高一上·上海·月考）已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知条件做出函数的图象，利用图象得出的范围关系，结合不等式的性质及对数函数的性质即可求解. 【详解】如图所示， 要使，则. 因为,,, 所以,即，于是有， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 题型10 用二分法求函数的零点 【例10-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二分法的概念判断． 【详解】由题意零点在区间上，因此应计算， 故选：C． 【例10-2】（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 【例10-3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为 ． 【答案】2.75 【分析】计算出，，，结合二分法得到答案. 【详解】， ，， 故由零点存在性定理知，内存在零点，下一步需计算. 故答案为：2.75 【变式10-1】（24-25高一上·上海·月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，结合“二分法”的概念，可得答案. 【详解】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根. 故选：C. 【变式10-2】（25-26高一上·上海·月考）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 【答案】 【分析】由“调日法”的计算方法即可求得答案. 【详解】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则= ． 【答案】 【分析】根据二分法，计算函数值的正负即可作答. 【详解】由于，， 故，故零点位于 因此， 故答案为： 【变式10-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 【答案】 【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 题型11 反函数 【例11-1】（25-26高一上·上海·期中）函数 的反函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由原函数可求，交换后可得原函数的反函数. 【详解】由已知，得，再将两边平方，得，即； 将、对换，得，其定义域为； 故选：A. 【例11-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 【答案】 【分析】利用互为反函数的关系，列式求出即可. 【详解】依题意，点和都在函数的图象上， 则，解得， 所以. 故答案为： 【变式11-1】（25-26高一上·上海·期中）对数函数 的反函数是 . 【答案】 【分析】用x表示y，再把互换即得反函数. 【详解】由得， 故的反函数为， 故答案为：. 【变式11-2】（24-25高一上·上海·期末）已知，则 . 【答案】； 【分析】理解原函数在指定定义域下的性质，然后基于此求解其反函数即可. 【详解】，其图象是开口向上的抛物线， 对称轴为 ，所以在上单调递减， 所以， 当时，；即当趋向于时，趋向于， 因此，函数的值域为. 令，求解方程，得， 因为原函数的定义域为， 因此当时，解在定义域内，而不在定义域内， 故只取. 将和互换，得到反函数为，其定义域为. 故答案为：. 【变式11-3】（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则 . 【答案】0 【分析】根据反函数性质解方程即可得出结果. 【详解】令可得，即， 解得； 即在函数的图象上，由反函数性质可得在函数的图象上， 因此可得. 故答案为：0 【变式11-4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用反函数与原函数的关系求出，再结合函数的单调性求解不等式. 【详解】由函数的图象经过点，得函数的图象过点， 则，解得，即， 而函数都是R上的增函数， 因此函数在R上单调递增，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理可求解. 【详解】由得， 又函数的图象是连续不断的，且单调递增 根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点，且唯一， 即方程的根所在的区间是， 故选：B 2．（24-25高一上·上海·期末）对如下两个命题，说法正确的是（    ） （1）存在定义域为的单调函数，使得是上的严格减函数，是上的严格增函数； （2）存在2个二次函数，使得函数的全体零点为； A．（1）（2）均真 B．（1）（2）均假 C．（1）真（2）假 D．（1）假（2）真 【答案】B 【分析】对于（1）根据复合函数的单调性判定方法可以得出矛盾，从而判断（1）假；对于（2）利用二次函数的图象的对称性可以得到否定的结论. 【详解】对于命题（1）： 是上的严格减函数，要求的单调性相反， 是上的严格增函数，要求单调性相同，两者发生矛盾， 故（1）为假命题； 对于（2）： 设，，根据已知，它们都是二次函数， 由于关于的二次方程①至多有2个不等实数根，最多的情况两个不等实数根记为， 关于的二次方程②，③都是至多有2个不等的实数根， 假设函数有4个零点，所以有4个不同实数根， 所以方程①②③都必须有2个实数根， 于是直线必须和二次函数的图象分别有2个不同交点， 因为这四个交点的横坐标从小到大依次是， 由二次函数的图象的对称性和单调性可知是其中一条直线与函数的图象的两个交点的横坐标， 是另一条直线与函数的图象的两个交点的横坐标， 由图象对称性知两点的对称轴也即二次函数图象的对称轴为， 两点的对称轴也即二次函数图象的对称轴为， 这与二次函数的图象只有一条对称轴矛盾，故命题（2）是假命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：对于复合函数的单调性和零点问题，一般将其通过换元，转化成内外函数分别考查它们在各自定义域上的单调性和零点特征，尤其是注意内函数的值域是外函数的定义域，同时按照“同增异减”的法则进行判断. 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（    ）． A．2415 B．2053 C．2871 D．3025 【答案】C 【分析】根据已知及函数关系式列方程得、，再将其代入求即可. 【详解】由题意可得，两式相除得，两边取对得， 所以，则，可得， 由，则，可得， 两边取对得， 则m. 故选：C 4．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 【答案】D 【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 二、填空题 5．（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为 . 【答案】 【分析】利用反函数的定义求解即可. 【详解】因为的反函数为， 所以，则. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·月考）已知函数，，则 . 【答案】3 【分析】求反函数的值的问题，只需利用原函数与反函数的内在联系，使原函数的函数值取反函数的自变量的值，在原函数的定义域内求得自变量的值即反函数的对应函数值. 【详解】根据原函数与其反函数的关系，要求的值， 只需使函数()的函数值取，即，解得， 因，故，即得： 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海·期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求出的反函数，由原函数的值域即为反函数的定义域，即可求出反函数的值域，从而求出原函数的定义域. 【详解】由，则，， 即函数的值域是的反函数为，， 当时，所以， 当时，所以， 即反函数，的值域为， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 8．（23-24高一上·上海·月考）定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意函数在上不存在反函数，即函数在区间上不是单调函数，由此得出的不等关系式，求解即可. 【详解】由题意当时，， 若函数在上不存在反函数， 则，所以. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海长宁·期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先分析函数在区间上的图象特征，再结合方程有两个不同解，即直线与函数在区间上的图象有两个不同交点，进而确定实数的取值范围. 【详解】先分析函数在区间上的图象，已知， 方程在区间上有两个不同的解，意味着直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点. 由上述分析可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点. 实数的取值范围为. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：.        11．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围 【答案】 【分析】根据题意得，再根据二次函数单调性列方程求解；再用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围. 【详解】， 因为，当时，，为常函数，不满足题意； 所以，，在上单调递增， 因为函数在时有最大值和最小值， 所以，解得， 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，， 因为方程有三个不同的实数解， 所以，画出的图像如下图所示， 所以，，有两个根､，且或，. 记， 所以，，即，此时 或得，此时无解， 综上，，即实数的取值范围. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，进而结合题意，数形结合得，，有两个根､，且或，，再根据零点存在性定理求解即可. 三、解答题 12．（25-26高一上·上海·期中）2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)当的长为m时，总造价最低，为59000元 【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案. （2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为十字形区域面积为， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 所以，. （2）四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 13．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 【答案】(1)， (2)最大利润，生产B投入 【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可； （2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：， 从而，故； 芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式， 由图像可知，的图像过点，即，解得， 故所求函数关系式为. （2）由题意可知，，， 由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值. 即投入千万时，利润最大，最大值为千万. 14．（25-26高一上·上海·期中）国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 (1)当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ (2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)万元，万元，万元 (2)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元 【分析】（1）根据给定条件，按、、分段求出函数关系即可； （2）由（1）分段，结合函数单调性、二次函数及基本不等式求出最大值并比较大小即得． 【详解】（1）设利润为 当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，， 所以 当， 当， 当． （2）由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元． 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元． 15．（23-24高一上·上海·月考）画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重    (1)[旧方法]利用描点法画出函数的图象 (2)[新技巧]求：函数的反函数并在图中画出其图象 (3)[小规律]可知函数与它的反函数关于直线___________对称 (4)[做实践]画出函数的图象 【答案】(1)图象见详解； (2)，图象见详解； (3)； (4)图象见详解. 【分析】（1）先列表，然后描点连线可得； （2）由用表示出，然后可得反函数，通过列表描点连线可得图象； （3）根据（2）中图象观察可得； （4）先作出反函数图象，然后作反函数关于的对称图形即可. 【详解】（1）列表： 0 3 0 1 2 描点连线得图象如图：    （2）由得，所以的反函数为， 列表： 0 1 2 0 3 描点连线得的图象如图：    （3）由（2）观察可知，函数与它的反函数关于直线对称. 故答案为： （4）由得， 所以的反函数为， 作出函数的图象如图：    作函数关于直线对称的图形即可得的图象如图：    16．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)当时，求函数的定义域； (2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； (3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由对数及分式的性质求函数定义域； （2）将问题化为有唯一解，且，利用二次函数的性质求参数范围，注意保证且即可； （3）根据解析式判断函数的区间单调性，进而化为在上恒成立，整理并应用换元法、对勾函数性质求右侧的最大值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，则且，即， 所以函数的定义域为； （2）由，则有唯一解， 所以，而在定义域上单调递增， 则有唯一解，而， 所以，即，此时， 又且，则，显然、时满足， 所以； （3）当，，在上的最大值与最小值的差都不超过， 由在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，则， 所以，则在上恒成立， 由，显然时，， 若，，则， 而在上单调递减，故在上单调递增， 所以，故参数范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，把问题化为在上恒成立为关键. 17．（25-26高一上·上海·月考）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，实数 (3) 【分析】（1）对进行分类讨论求解即可； （2）由韦达定理及进行求解； （3）不等式化为，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）由，得， 当时，得，即，此时解集为， 当时，则， 得方程的两根为， 则当时，由得，或， 当时，由得，， 综上知，当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：． （2）假设存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，由（1）知， 由韦达定理得，， 则， 解得， 故存在实数，使得方程有两个不相等的实数根且成立． （3）由得，，即， 因为， 所以当时，显然成立，此时可以取任意实数； 当时，，不等式变为， 而函数在上都是单调递增， 则在上是单调递增，其值域为,则，故， 当时，，不等式变为， 而函数在上都是单调递增， 则在上是单调递增，其值域为,则，故， 综上知，实数的取值范围为： 18．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由. (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)函数表示不超过的最大整数，如.若为的“2025重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 【答案】(1)是，1 (2) (3) 【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解； （2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得； （3）作出的图象，结合图象可解. 【详解】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数 ，使得（其中）， 即， ，且为增函数， 对于任意，都有唯一一个，使得， 是的“重覆盖函数”，； （2）可得的定义域为， 即，存在2个不同的实数，使得，其中， ， ，即， 即对任意有2个实根， 当时，已有一个根，故只需时仅有1个根. 当时，，符合题意， 当时，若对称轴， ，且， 在上单调递减，上单调递增， 则一定存在使得有两个根，舍去； 若对称轴，则无解，舍去； 若对称轴，则在上必须单调递减，且， ，解得； 当时，对称轴， 且， 时，，无解； 当时，单调递减且， 因此仅有1个根，符合题意. 综上，实数的取值范围是； （3）当时，； 当时，，其中为双勾函数， 该函数在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故 对于任意要有2025个根， ， 作出函数的图像，如下图： 的第2025段为， 令，得， 要使有2025个根，需， 又，解得， 所以正实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 函数的应用与反函数 知识点01：函数的零点 题型05 求函数零点或方程根的个数 知识点02：一元二次方程根的分布与方程系数的关系 题型06 求零点的和 知识点03：用二分法求函数的零点 题型07 根据函数零点的个数求参数范围 知识点04：反函数 题型08 根据二次函数零点的分布求参数的范围 题型01 分段函数模型的应用 题型09 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 题型02 利用二次函数模型解决实际问题 题型10 用二分法求函数的零点 题型03 分式型函数模型的应用 题型11 反函数 题型04 求函数的零点 强化训练 知识点01 函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 知识点02 一元二次方程根的分布与方程系数的关系 设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 知识点03 用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 知识点04 反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 题型01 分段函数模型的应用 【例1-1】（25-26高一上·上海·期中）“”科技公司新研发了一款取名“灵犀”的智能笔，每生产x千支“灵犀”笔的总成本为千元，用AI软件对市场的相关数据进行分析得知，“灵犀”笔投放市场后可以全部销售完，其销售额为（单位：千元）． (1)求“”科技公司生产销售“灵犀”笔的利润y（千元）关于产量x（千支）的函数关系式； (2)当产量为多少千支时，“”科技公司在生产销售“灵犀”笔中所获得的利润最大？ 【例1-2】（25-26高一上·上海·期中）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：   其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），当，时，问发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 【例1-3】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． (1)计算的值，并说明其的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【变式1-1】（24-25高一上·上海浦东新·月考）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业的人力资源部门研究对开发该软件的团队进行奖励：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元. (1)若该公司采用函数，作为奖励函数模型，试判断该函数是否符合公司奖励要求，并说明理由； (2)若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）某次展会上，跨国A公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金万元：现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式； (2)产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额－成本） 【变式1-3】（24-25高一上·上海奉贤·月考）经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路.某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培有管理､施肥等人工费）为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)请问：如何控制单株施肥量，使该水果树的单株利润不少于500元？（精确到0.01，参考数据：，） 【变式1-4】（24-25高一上·上海·期末）如图所示，已知三地在海岸线上，地在地正东方向12千米处，地在地正东方向3千米处，海岛在地正南方向3千米处，一艘小船正从海岛以10千米/小时的速度沿直线向海岸线航行，最终在海岸线上的地登岸，地在地正东方向千米处，其中． (1)已知，若小明从海岛乘坐小船出发，登岸后立即以5千米/小时的速度沿海岸线从地径直匀速走向地，求小明从海岛出发抵达地所花的时间（精确到0.1小时）； (2)小明在网上叫了“准时达”的外卖，已知他从海岛乘坐小船出发时，外卖员正沿着海岸线从地出发匀速驶向地，若小明登岸时恰好遇见外卖员，求外卖员行驶的最大速度． 题型02 利用二次函数模型解决实际问题 【例2】（25-26高一上·上海·期中）如图，为了开展劳动教育，某校在农庄内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为米，宽为米． (1)若所用篱笆总长为10米，求育苗区面积S关于长的函数表达式（注明定义域）； (2)若育苗区面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值，并指出此时的取值； (3)若使用的篱笆总长为12米，求的最小值． 【变式2-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度.已知某道路的交通流量 ， (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； (2)若道路密度时，测得交通流量，，求车辆密度的最大值. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好 (1)若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 题型03 分式型函数模型的应用 【例3】（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为． (1)用表示； (2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？ 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）某电动摩托车企业计划在2024年投资生产一款高端的电动摩托车.经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设备改造费1000万元，生产该款电动摩托车万台需投入资金万元，且，.已知该款电动摩托车售价为（单位：元/台），并且当年内生产的该款摩托车能全部部售完. (1)求2024年该款摩托车的年利润（单位：万元）关于年产量（单位：万台）的函数解析式；（年利润=销售所得-投入资金-设备改造费）； (2)当2024年该款摩托车的年产量为多少时，年利润最大？最大年利润的多少？ 【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·月考）某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税．某外资企业第一个月A型产品出厂价为每件10元，月销售量为6万件；第二个月，当地政府开始对该商品征收税率为（，即销售1元要征收元）的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少p万件． (1)试求第二个月政府对该商品征收的税收（万元）的表达式（用p表示），并求P的取值范围． (2)要使第二个月该企业的税收不少于1万元，求p的取值范围． 题型04 求函数的零点 【例4-1】（24-25高一上·上海·月考）函数的零点是 ． 【例4-2】（24-25高一上·上海浦东新·月考）设常数，函数. (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)当时，求函数的零点. 【变式4-1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是 . 【变式4-2】（24-25高一上·上海静安·月考）已知函数的定义域为D，其中a为常数 (1)若，讨论的奇偶性，并说明理由； (2)当时，求函数的零点. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）定义，且，例如.回答以下问题： (1)若，求的最小值； (2)若且，求的取值范围； (3)函数定义域为，且满足，若恰有99个零点分别记作，求的取值范围． 题型05 求函数零点或方程根的个数 【例5-1】（24-25高一上·上海·月考）已知，有，则实数的值有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【例5-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，则方程不同解的个数为 ． 【例5-3】（24-25高一上·上海·期中）已知函数在R上连续，且恒成立，则在上至少有几个不同的解？ 【变式5-1】（24-25高一上·上海宝山·月考）已知为实数 ， ，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，其中． (1)若，函数为奇函数，求实数的值； (2)若，求函数在内的零点个数； (3)若且，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 题型06 求零点的和 【例6】（23-24高一上·上海·期末）已知函数，则该函数的所有零点的和是 ． 【变式6-1】（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 【变式6-2】（23-24高一上·上海·月考）如果关于的一元三次方程（且）有三个实数根，则 （用表示） 【变式6-3】（22-23高三上·广东潮州·期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为 . 题型07 根据函数零点的个数求参数范围 【例7-1】（25-26高一上·上海·期中）设是定义在R上的偶函数，且当时，．若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围是 ． 【例7-2】（25-26高一上·上海青浦·月考）已知定义在R上的函数的表达式为. (1)证明为奇函数； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数取值范围. 【变式7-1】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数有唯一的零点，则实数的取值范围是 . 【变式7-2】（25-26高一上·上海·期中）设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为 . 【变式7-3】（25-26高一上·上海·期中）已知二次函数，其中， (1)若满足，求； (2)若，存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围； (3)当，若对任意实数，总存在，使得，求实数的取值范围． 题型08 根据二次函数零点的分布求参数的范围 【例8-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）关于x的方程有两个不同的正实数根，则实数a的取值范围是 ． 【例8-2】（24-25高一上·上海·期末）若函数在上存在零点，则实数的取值范围是 ． 【变式8-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为 . 【变式8-2】（24-25高一上·上海·月考）若函数在区间内有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【变式8-3】（24-25高一上·上海·月考）已知函数 (1)若的两根为 且 求实数m的值； (2)若函数的图象在区间上与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围. 题型09 根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【例9-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是 . 【例9-2】（24-25高一上·上海金山·月考）如果函数）在区间上存在满足则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数m的取值范围是 ． 【变式9-1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的方程的根为负数，求的取值范围． 【变式9-2】（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数 的表达式为，若方程 有四个不相等的实根 ，且，则取值范围是 . 【变式9-3】（23-24高一上·上海·月考）已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为 . 题型10 用二分法求函数的零点 【例10-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（    ） A． B． C． D． 【例10-2】（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【例10-3】（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为 ． 【变式10-1】（24-25高一上·上海·月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高一上·上海·月考）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为 ． 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则= ． 【变式10-4】（24-25高一上·上海徐汇·期末）用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 题型11 反函数 【例11-1】（25-26高一上·上海·期中）函数 的反函数为（    ） A． B． C． D． 【例11-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则 ． 【变式11-1】（25-26高一上·上海·期中）对数函数 的反函数是 . 【变式11-2】（24-25高一上·上海·期末）已知，则 . 【变式11-3】（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则 . 【变式11-4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25高一上·上海·期末）对如下两个命题，说法正确的是（    ） （1）存在定义域为的单调函数，使得是上的严格减函数，是上的严格增函数； （2）存在2个二次函数，使得函数的全体零点为； A．（1）（2）均真 B．（1）（2）均假 C．（1）真（2）假 D．（1）假（2）真 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数．已知海拔为、两地的大气压强分别为、，若测得某地的大气压强为，则该地海拔为（    ）． A．2415 B．2053 C．2871 D．3025 4．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 二、填空题 5．（23-24高一上·上海·期末）函数的反函数为 . 6．（23-24高一上·上海·月考）已知函数，，则 . 7．（23-24高一上·上海·期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 8．（23-24高一上·上海·月考）定义在上的函数不存在反函数，则实数的取值范围是 . 9．（24-25高一上·上海长宁·期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为 ． 10．（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 . 11．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围 三、解答题 12．（25-26高一上·上海·期中）2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 13．（25-26高一上·上海·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式； (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金） 14．（25-26高一上·上海·期中）国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 (1)当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ (2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 15．（23-24高一上·上海·月考）画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重    (1)[旧方法]利用描点法画出函数的图象 (2)[新技巧]求：函数的反函数并在图中画出其图象 (3)[小规律]可知函数与它的反函数关于直线___________对称 (4)[做实践]画出函数的图象 16．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)当时，求函数的定义域； (2)若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； (3)设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 17．（25-26高一上·上海·月考）已知函数 (1)求不等式的解集； (2)是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由. (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)函数表示不超过的最大整数，如.若为的“2025重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $