专题06 数据的分析（必备知识+6大题型+分层训练）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理数据的分析核心考点，明确复习目标与考情规律，分知识点呈现算术平均数、中位数、方差等概念公式及易错点，结合示例构建知识脉络，突出各统计量的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型化解题技巧指导，如求中位数强调排序关键步骤，加权平均数结合成绩计算情境培养数据意识，分层设计基础与重难练习。通过典例与变式题提升运算能力，助力不同层次学生掌握，为教师精准教学提供系统支持。

专题06 数据的分析（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平均数（算术、加权） 能区分算术平均数与加权平均数，熟练计算并结合实际情境解释“权”的实际意义 基础必考点，常出现在小题（选择/填空）或大题计算环节，易与实际应用结合 中位数、众数 能正确排序求中位数，识别单/多众数，明确三者刻画集中趋势的适用场景 高频易错点，易因“未排序”错求中位数；常结合实际情境考查统计量的选择 极差、方差与标准差 能计算极差、方差/标准差，理解其刻画数据离散程度的意义（方差越小越稳定） 重点考查点，常出现在小题或大题的“稳定性分析”部分，计算需注意公式细节 频数、频率与统计图表 能计算频数/频率，解读频数分布表、直方图；掌握箱线图的五值（最值、四分位数、中位数）并分析数据分布 综合应用题常考，需从图表提取数据，箱线图易考查“数据集中/分散程度”的描述 用样本估计总体 能通过样本的统计量（平均数、方差等）估计总体的对应特征 中考常考思想，多结合实际调查情境，考查数据的分析与决策能力 知识点01 算术平均数与加权平均数 概念： 算术平均数：一组数据的总和除以数据个数，公式： = 加权平均数：考虑各数据“权重”的平均数，公式：=（w为权重） ·示例： - 算术平均数：求数据3, 5, 7的平均数→= = 5 - 加权平均数：某科成绩中，平时作业占20%、测验占30%、期末占50%，若小明三项得分分别为80、90、85，则最终成绩→80×0.2 + 90×0.3 + 85×0.5 = 85.5 ·易错点： - 计算加权平均数时，混淆“权重”的形式（如把“份数”“百分比”直接当数据相加）； - 忽略数据个数，漏算或多算数据导致算术平均数错误。 知识点02 中位数与众数 概念： - 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排序后，中间位置的数（数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数）； - 众数：一组数据中出现次数最多的数（可多个）。 ·示例： - 中位数：求数据2, 4, 5, 7, 9的中位数→排序后中间数为5；求2, 4, 6, 8的中位数→ = 5 - 众数：数据3, 3, 5, 5, 5, 7的众数是5；数据2, 2, 4, 4, 6的众数是2和4 ·易错点： - 求中位数前未对数据排序（如直接取原始数据的中间数）； - 误认为“众数只有一个”，忽略多众数的情况。 知识点03 极差、方差与标准差 概念： - 极差：一组数据中最大值与最小值的差，公式：极差=最大值 - 最小值； - 方差：刻画数据波动程度的统计量，公式：s2 = [(x1-)2 + (x2-)2 ++ (xn-)2]； - 标准差：方差的算术平方根，公式：s = 。 ·示例：- 极差：数据4, 6, 8, 10的极差→10 - 4 = 6 - 方差：求数据1, 2, 3, 4, 5的方差→=3，s2 = [(1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2] = 2 ·易错点：- 计算方差时，漏除数据个数n； - 混淆“方差与稳定性的关系”（方差越小，数据越稳定），误认为方差大更稳定。 知识点04 箱线图 概念：箱线图通过“五值”（最小值、下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3、最大值）展示数据分布，其中：- 下四分位数Q1：排序后前半部分数据的中位数； - 上四分位数Q3：排序后后半部分数据的中位数； - 四分位距：Q3 - Q1（刻画中间50%数据的波动）。 ·示例：对数据1, 3, 5, 7, 9, 11, 13画箱线图： - 最小值=1，最大值=13； - 中位数Q2=7； - Q1（前半部分1,3,5的中位数）=3； - Q3（后半部分9,11,13的中位数）=11； - 箱线图的箱从3到11，线延伸至1和13。 ·易错点：- 计算四分位数时，错误划分“前半部分/后半部分”（如数据个数为偶数时，重复或遗漏中间数）；- 误将箱线图的“箱的长度”等同于极差（实际是四分位距）。 知识点05 频数、频率与统计图表 概念： - 频数：某组数据出现的次数； - 频率：频数与总数据个数的比值（频率 = ）； - 常见统计图表：频数分布表、频数分布直方图、箱线图等。 ·示例： 一组数据5, 5, 6, 7, 7, 7, 8中，“7”的频数是3，频率是。 ·易错点：- 频率计算时，混淆“组频数”与“总数”； - 解读直方图时，误将“矩形高度”当频数（实际是“矩形面积”对应频数，若组距相等则高度对应频数）。 知识点06 用样本估计总体 概念：通过样本的统计量（平均数、方差等）估计总体的对应特征（适用于样本具有代表性的情况）。 ·示例： 从某校八年级抽取50名学生的数学成绩，计算样本平均数为82，则估计该校八年级学生数学平均成绩约为82。 ·易错点：- 用“不具有代表性的样本”（如样本容量过小、抽样偏向）估计总体，导致结果偏差。 题型一 求一组数据的中位数、众数 解｜题｜技｜巧 ### 中位数解题技巧 先将数据按从小到大（或从大到小）排序；若数据个数为奇数，中间那个数就是中位数；若为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数，排序是关键步骤。 ### 众数解题技巧 统计数据中出现次数最多的数，若有多个数出现次数相同且均最多，那么这些数都是众数；若所有数出现次数一样，则这组数据没有众数。 【典例1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图为某市7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求中位数和众数，把数据从高到低排列，再根据众数和中位数的定义进行判断即可． 【详解】解：这七天气温从高到低排列为：， ∴排在中间一位的是，出现次数最多的是 ∴中位数是：，众数是：． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）数据5、3、8、7、8、7、7的众数是 ，中位数是 ． 【答案】 7 7 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】解：∵在这组数据中，7出现的次数最多， ∴其众数是7． 将这组数据按从小到大进行排序为，排在第4个数是中位数， ∴其中位数是7， 故答案为7，7． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量（t） 户  数 2 3 2 2 1 则这户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查众数，中位数，根据出现次数最多的叫众数，坐中间的叫中位数求解即可得到答案； 【详解】解：由表可得， 出现3次，出现的最多， 故答空1答案为：， ∵，， ∴第5第6个数据是和， ∴中位数是：， 故答空2答案为：． 题型二 求一组数据的平均数 解｜题｜技｜巧 ### 算术平均数解题技巧 先算出所有数据的总和，再数清数据的总个数，最后用“总和÷总个数”得出结果。若数据重复，可先算“重复数据×次数”的和，再除以总个数，减少计算量。 ### 加权平均数解题技巧 先明确各数据对应的“权重”（如次数、百分比），计算“每个数据×对应权重”的总和，再除以所有权重的总和，权重不同时切勿直接算算术平均数。 【典例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了位同学，得到如表数据：这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是 小时． 时长（小时） 人数 【答案】 【分析】本题考查了求平均数． 根据平均数的运算法则计算即可． 【详解】解：这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是： （小时） 故答案为：． 【典例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）2025年4月28日，我县东坡庙会·文化旅游推介周启动仪式在牛车河月亮湾露营基地隆重举行，旨在让更多人走进团风、读懂团风、爱上团风．我校文学社团举行了“我爱团风”演讲比赛．团员的演讲内容、演讲效果、演讲技巧三项按如图所示的权重计算得分．已知某团员的三项原始得分分别是内容96分，效果95分，技巧90分，那么该团员最终比赛成绩为 分． 【答案】95 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，求出加权平均数即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：95 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了位同学，得到如表数据：这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是 小时． 时长（小时） 人数 【答案】 【分析】本题考查了求平均数． 根据平均数的运算法则计算即可． 【详解】解：这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是： （小时） 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：则这批灯泡的平均使用寿命是 h． 使用寿命 灯泡只数 30 30 40 【答案】124 【分析】本题考查了求平均数，根据平均数的定义计算即可得解，熟练掌握平均数的定义是解此题的关键． 【详解】解：这批灯泡的平均使用寿命是， 故答案为：124． 【变式3】（24-25八年级下·云南德宏·期末）书法是汉字的书写艺术，它不仅是中华民族的文化瑰宝，而且在世界文化艺术宝库中独放异彩．某校举办以“传承民族文化·弘扬书法魅力”为主题的书法比赛活动，比赛分笔法、结构、章法三项进行打分，各项成绩均按百分制计．八（1）班的小明和小红在本次比赛中的三项成绩如下： 姓名 笔法 结构 章法 小明 85 95 96 小红 95 85 93 (1)若这三项成绩同等重要，应该选派谁去参加全校的书法比赛； (2)若按照笔法占、结构占、章法占来计算个人参赛的综合成绩，应该选派谁去参加全校的书法比赛． 【答案】(1)应该选派小明去参加全校的书法比赛 (2)应该选派小红去参加全校的书法比赛 【分析】本题主要考查了平均数和加权平均数． （1）根据平均数的公式计算出小明和小红的成绩，通过比较选取成绩较好的小明去参加全校的书法比赛； （2）根据每项成绩的权重，利用加权平均数的公式分别计算出小明和小红的成绩，通过比较选取成绩较好的小红去参加全校的书法比赛． 【详解】（1）解：小明、小红两个人的平均成绩分别是： ， ， ∵， ∴应该选派小明去参加全校的书法比赛； （2）解：小明、小红两个人的综合成绩分别是： ， ， ∵， ∴应该选派小红去参加全校的书法比赛． 题型三 求方差 解｜题｜技｜巧 ### 基本方差解题技巧 先算数据的算术平均数，再求每个数据与平均数的差，将差平方后求和，最后除以数据总个数。步骤可简记为“算平均→求偏差→平方→求和→除个数”，避免漏步。 ### 简化计算技巧 若数据较大，可先将所有数据减去同一个常数（如接近平均数的数），计算新数据方差，结果与原数据方差相同，能减少大数运算的误差，尤其适合数据集中的情况。 【典例1】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）甲市和乙市6月某五天的最高气温如表所示： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲市 乙市 已知甲市这五天最高气温的平均数是37℃，方差是5.2．请计算乙市这五天最高气温的方差，并判断哪个市这五天的最高气温波动较大． 【答案】乙市这五天最高气温的方差为，甲市这五天的最高气温波动较大 【分析】本题考查方差的计算与应用，解题的关键是掌握方差的计算公式并理解方差的意义（方差越大，数据的波动越大）． 计算乙市这五天最高气温的平均数，根据方差公式计算乙市这五天最高气温的方差，再与甲市的方差比较，判断波动大小． 【详解】解：乙市这五天最高气温的平均数是（℃）， 乙市这五天最高气温的方差是： ， ∵， 答：乙市这五天最高气温的方差为，甲市这五天的最高气温波动较大． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）某校为培养学生的数学思维，激发学生的学习兴趣，开展了学生数学说题比赛．八年级（1）班和八年级（2）班各选出5位选手参赛，成绩（满分为100分）如下： 八（1）班：82，88，90，75，90；           八（2）班：78，95，85，82，85． 数据整理分析如下： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 88 b c 八（2）班 a 85 85 (1)表中______，______，并且求方差c的值． (2)你认为选哪个班代表八年级参加学校的决赛比较好，说明理由． 【答案】(1)85，90， (2)八（2）班代表八年级参加学校的决赛比较好，理由见解析 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立； （1）根据平均数、众数以及方差公式即可得出答案； （2）根据方差的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：， 出现了2次，出现的次数最多， 众数是90，即； 八（1）班的方差是：， 则； （2）解：八（2）班代表八年级参加学校的决赛比较好，理由如下： 因为两个班的平均数相同，但八（2）班的方差小于八（1）班的方差，所以八（2）班代表八年级参加学校的决赛比较好． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）甲、乙两台机器同时生产一种零件．在10天中，甲、乙两台机器每天生产出相同数量的零件，其中两台机器生产优等品零件的数量及天数如下表： 优等品（单位：个） 10 11 12 13 14 甲（单位：天） 2 2 2 2 2 乙（单位：天） 1 3 3 1 2 (1)分别计算甲、乙两台机器生产优等品零件的平均数和方差； (2)如果只选择一台机器生产此零件，请选择适当的统计量进行分析，判断应选择哪台机器？ 【答案】(1)甲机器优等品数量平均数为12个，方差为2；乙机器优等品数量平均数为12个，方差为1.6 (2)乙机器更稳定，应选乙机器 【分析】本题考查统计应用，涉及平均数和方差的意义及求法，将统计表中的数据代入求值，再分析作出决策即可得到答案，熟记平均数和方差的意义及求法公式是解决问题的关键． （1）由平均数和方差的计算公式，将统计表中的数据代入求解即可得到答案； （2）由（1）中计算的平均数和方差，结合平均数和方差的统计意义作出决策即可得到答案． 【详解】（1）解：（个） （个） 答：甲机器优等品数量平均数为12个，方差为2；乙机器优等品数量平均数为12个，方差为1.6； （2）解：由（1）可知，甲、乙优等品平均数相同，且， ∴乙机器更稳定，应选乙机器． 题型四 已知平均数、众数、中位数求未知数据的值 解｜题｜技｜巧 ### 利用已知量列方程技巧 先设未知数据为x，根据数据个数确定中位数位置，结合中位数列出等式锁定x范围；再根据众数定义（出现次数最多），判断x可能值；最后代入平均数公式，计算验证x是否符合所有条件。 ### 验证与取舍技巧 算出x后，需回代数据组，检查中位数、众数是否与已知一致，避免因漏考虑数据排序或众数多个可能值导致错解；若有多个x，需根据实际场景（如人数、次数）取舍。 【典例1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如果一组数据，0，1，3，的平均数是1，那么这组数的众数是 ． 【答案】 【分析】此题考查平均数和众数，根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的众数即可． 【详解】解：∵数据，0，1，3，的平均数是1， ∴， 解得， 在这组数据中出现次，次数最多，故众数为， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知数据的平均数为3，方差为2，则数据，的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 9 8 【分析】此题考查了方差和平均数，当数据都乘上一个数时，平均数也乘上这个数，方差变为这个数的平方倍，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减上这个数，方差不变，即数据的波动情况不变．根据平均数和方差的计算公式或者根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵数据的平均数是3， 即， ∴ ， 即数，的平均数是； ∵数据的方差是2， 即， ∴ ， ∴数，的方差是； 故答案为：9，8． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是 ，平均数是 ． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了样本容量和平均数，通过方差公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是方差计算中统一减去的数值． 【详解】解：方差公式中的求和项：共有4个数据项， 分别为，每个数据点对应一个样本， 样本容量为4， 方差公式中的每个数据点均减去同一个数（即平均数）， 根据公式，每个数据点被减去的数为6， 平均数． 故答案为：4，6． 题型五 中位数、众数、平均数与方差的综合问题 解｜题｜技｜巧 ### 数据特征关联分析技巧 先分别计算或明确已知的中位数、众数、平均数与方差，再找它们的关联：比如方差反映数据波动，可结合平均数判断数据分散度；众数体现最常见值，能辅助验证中位数是否合理，建立特征间的逻辑联系。 ### 综合应用题解题技巧 先梳理题干中各数据特征的已知条件，优先用中位数或众数锁定未知数据范围，再通过平均数公式求出具体值，最后代入方差公式计算并验证，每步都要结合数据实际意义（如整数、正数）排查。 【典例1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务质量等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9； 乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 8 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；比较大小：______（填“”“”或“”）； (2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由（写出一条即可）； (3)有200家网店店主对乙快递公司的配送速度进行评价，估计配送速度得分不小于8分的有多少个店主？ 【答案】(1)；； (2)甲公司，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平均数、方差、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平均数、方差和众数的定义解答即可； （2）从配送速度和服务质量两方面分析即可得解； （3）用乘以乙快递公司的配送速度进行评价分数不小于8分所占的比例即可得解． 【详解】（1）解：将甲数据从小到大排列为：6、6、7、7、8、8、9、9、9、10，其中出现的次数最多，故； ， ， ， 故； （2）解：小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好， 服务质量方面，二者的平均数相同，但甲的方差明显小于乙，说明甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司； （3）解：（个） 估计配送速度得分不小于8分的有个店主． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）为传承经典文化，某校开展了“诗词达人”竞赛活动．为了解七、八年级竞赛情况，从七、八年级各随机抽取10名学生成绩(单位：分)进行如下统计分析． 【收集数据】 七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 【整理数据】 【分析数据】 统计量 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 方差 七年级 89 90 39 八年级 90 90 根据以上信息回答下列问题： (1)请直接写出表格中，，的值； (2)求八年级学生成绩的方差； (3)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)． (3)八年级的学生成绩比较好，理由见解析． 【分析】本题考查数据的整理、中位数和众数的概念，方差的求解公式，利用统计量做决策等知识，掌握相关计算公式是解题的关键． （1）本小题考查数据的整理、中位数和众数的概念，理解概念即可解题．注意在找中位数时，要先将数据按顺序排列，且还需注意数据个数的奇偶性； （2）本小题考查方差的求解公式，灵活运用公式即可求解； （3）本小题从平均数、中位数、众数、方差分析即可． 【详解】（1）解：由题知，七年级10个数据中有2个85， ， 由表格可知七年级出现次数最多的分数是90， ， 由题知，八年级有10个数据，将数据从小到大排列，第五位和第六位数据是90和90， ． （2）解：由题知：． （3）解：八年级的学生成绩比较好，理由如下： 七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上所述，八年级的学生成绩比较好． 【变式2】（2025·宁夏银川·三模）某校甲乙两班联合举办了数学竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78、86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80、77，85，80，73，90，74、75、81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 79 a 乙班 80 80 b 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______； (2)判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； (3)甲班共有学生45人，乙班其有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】(1)79，27 (2)乙班成绩比较好，理由见解析 (3)42人 【分析】本题考查方差、中位数、众数、频数（率）分布表和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据众数和方差的定义进行求解即可； （2）根据平均数和方差的意义判断即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及80分以上的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：甲班成绩中79分的最多， 所以众数， 乙班成绩的方差， 故答案为：79，27； （2）解：乙班成绩比较好， 理由如下：两个班的平均数相同，乙班的方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定， 所以乙班成绩比较好； （3）解：（人）， 答：估计这两个班可以获奖的总人数是42人． 题型六 箱线图 解｜题｜技｜巧 ### 箱线图核心信息提取技巧 先识别五数概括：最小值（箱左端）、下四分位数（箱左边界）、中位数（箱内横线）、上四分位数（箱右边界）、最大值（箱右端），明确数据分布的集中与离散范围，快速判断是否有异常值。 ### 数据特征分析技巧 通过箱的长短看四分位距（数据中间50%波动），箱线位置判断数据偏态（箱偏左则右偏，反之左偏），对比多组箱线图时，重点比较中位数和箱体范围，分析组间差异。 【典例1】（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【分析】本题考查中位数，以及数字变化，属于中档题．根据题意逐一分析即可． 【详解】解：箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； 箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； 箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； 箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（   ） A．该地区2025年3月有重度污染天气 B．该地区2025年3月的值比2月集中 C．该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，熟练掌握箱线图的特征以及值与空气质量的关系是解题的关键， 通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项，从箱线图中可见月有值在之间， ∵值在之间说明重度污染， ∴该地区年月有重度污染天气，故选项正确． 选项，观察箱线图，月的箱形更窄，数据更集中，月的箱形更宽，数据更分散， ∴该地区年月的值不如月集中，故选项错误． 选项，从箱线图中可看出月值的中位数对应的位置高于月， ∴该地区年月的值中位数大于月值的中位数，故选项正确． 选项，∵值越小，空气质量越好，月的值整体小于月， ∴整体看，该地区月的空气质量好于月，故选项正确． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 【答案】(1)3.635，4.125 (2)见解析 【分析】（1）首先将B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列，然后根据和的定义求解即可； （2）作出图形，根据数据分析即可． 【详解】（1）B团队负责经营12项理财产品收益率从小到大排列为： ∴3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44     ∴a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数 ∴，； （2）如图所示， 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等， 故可知两个团队的经营效益基本一样， 但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动大， 即团队B的经营水平更稳健， 故对于稳健型的投资者， 选择团队B的理财产品更合适． 【点睛】本题考查统计图，统计表，中位数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）在一次体育测试中，八（6）班的15名女生的仰卧起坐成绩如下表： 成绩（次/分钟） 38 39 40 41 42 43 44 45 人数 1 0 2 3 4 3 1 1 该15名女生的仰卧起坐成绩的中位数和众数分别是（    ） A．41，42 B．41，43 C．42，42 D．43，42 【答案】C 【分析】本题考查了众数及中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数．当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数． 中位数是从小到大排列顺序后第8个数据，众数是出现次数最多的数据． 【详解】解：∵总人数， ∴中位数为第个数据． ∵成绩38有1人，40有2人，41有3人，42有4人，43有3人，44有1人，45有1人， ∴数据序列为：38，40，40，41，41，41，42，42，42，42，43，43，43，44，45． 第8个数据为42， ∴中位数为42； ∵42出现4次，出现的次数最多， ∴众数为42； ∴中位数和众数分别为42和42． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解∶A．观察箱线图知∶二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误； B．观察箱线图知∶ 一班成绩的下四分位数是80分，故原说法正确； C．观察箱线图知∶ 一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误； D．观察箱线图知∶ 一班的平均分低于二班的平均分， 故原说法错误； 故选∶B． 二、填空题 3．（24-25八年级下·云南·期末）某移动公司为了调查手机发送短信的情况，在本区域的1000位用户中抽取了10位用户来统计他们某月份发送短信息的条数，结果如下表所示： 手机用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 发送短信息条数 85 78 83 79 84 85 86 88 80 85 则本次调查中抽取的样本容量是 ，中位数是 ，众数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了样本容量、中位数、众数的定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键．根据样本容量、中位数、众数的定义分别进行计算． 【详解】解：样本容量是抽取的样本数量，这里抽取了位用户，所以样本容量是． 将发送短信息条数从小到大排列：，，，，，，，，，． 一共有个数，中位数是第个数和第个数的平均数，即． 众数是一组数据中出现次数最多的数，出现了次，出现的次数最多，所以众数是． 故答案为：；；． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击次，甲的成绩单位：环为：，，，，，，乙的成绩单位：环为：，，，，，，这两名射击运动员的平均成绩均为环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 填写“甲”或“乙”． 【答案】甲 【分析】该题考查了方差，通过计算方差比较稳定性，方差较小的运动员发挥更稳定． 【详解】解：甲的方差：， 乙的方差：， 由于 ，即 ，因此甲运动员发挥更稳定． 故答案为：甲． 三、解答题 5．（24-25八年级下·云南普洱·期末）国家安全，人人有责．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．当天，某校组织七、八年级全体学生开展了国家安全知识竞赛活动．为了解竞赛情况，该校从七、八两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分100分），并收集整理数据如下： 七年级：85，90，85，100，80，90，90，95，90，75． 八年级：90，80，90，85，95，90，80，95，100，85． 分析数据： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 90 46 八年级 89 90 39 根据相关信息，解答下列问题． (1)填空：______，______． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】(1)，； (2)八年级竞赛成绩较好，七、八年级竞赛成绩众数和中位数相同，但八年级平均数高，方差小． 【分析】本题考查了统计的应用． （1）根据众数和中位数的定义作答即可； （2）分析数据作答即可． 【详解】（1）解：七年级：85，90，85，100，80，90，90，95，90，75中，出现次，出现次数最多，即； 八年级数据从小到大排列的：80，80，85，85，90，90，90，95，95，100，即； 故答案为：，； （2）解：八年级竞赛成绩较好． 理由：七、八年级竞赛成绩众数和中位数相同，但八年级平均数高，方差小． 6．（23-24八年级下·河南开封·期末）某公司为了到高校招聘大学生，为此设置了三项测试：笔试，面试、实习，学生的最终成绩由笔试、面试、实习依次按的比例确定．公司初选了若干名大学生参加笔试面试，并对他们的两项成绩分别进行了整理和分析．下面给出了部分信息 ①公司将笔试成绩（百分制）分成了四组，分别为组：，组：，组：，组：；并绘制了如下的笔试成绩频数分布表及频数分布直方图 笔试成绩频数分布表 分组 人数 频率 A组 3 组 9 组 12 D组 6 其中，组的分数由低到高依次为 80，81，82，83，83，84，84，85，88，88，88，88． ②这些大学生的笔试、而试成绩的平均数、中位数、众数、最高分如下表： 平均数 中位数 众数 最高分 笔试成绩 81 92 97 面试成绩 84 86 92 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，___________，这批大学生中笔试成绩高于88分的人数所占百分比为___________； (2)若甲同学参加了本次招聘，他的笔试，面试成绩都是83分，那么该同学成绩排名靠前的是哪一项成绩？并说明理由； (3)乙同学也参加了本次招聘，笔试成绩虽不是最高分，但也不错，分数在组；面试成绩为88分，实习成绩为80分；若该公司最终录用的最低分数线为86分，请通过计算说明，该同学最终能否被录用？ 【答案】(1)；； (2)该同学成绩排名靠前的是笔试成绩，理由见解析 (3)乙同学不能被录用 【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，解题的关键是根据频数分布直方图得出解题所需数据及众数、中位数的概念． （1）根据频数之和为1可求出a的值，根据中位数的概念可得m的值，用成绩高于88分的人数除以样本容量可求出成绩高于88分的人数所占百分比； （2）根据中位数的意义可判断笔试成绩与面试成绩的排名情况； （3）先结合笔试成绩的中位数及88分的个数、最高分可判断出D组分数的分布情况，再由乙同学不是最高分即可得答案，利用加权平均数的概念求解可得． 【详解】（1）解：； ∵共有个数据，从小到大排列后第15、16个数据分别为82，83， ∴中位数（分）； 这批大学生中笔试成绩高于88分的人数所占百分比为：. 故答案为：；；； （2）该同学成绩排名靠前的是笔试成绩，理由如下： ∵其笔试成绩大于中位数分，面试成绩小于中位数84分， ∴该同学成绩排名靠前的是笔试成绩； （3）∵笔试成绩的众数为92分，结合C组中88分的有3个，最高分为97分， ∴D组的5个数据中4个数92分，1个97分， ∴乙同学笔试成绩不是最高分， ∴乙同学的笔试成绩为92分， 乙同学的最终得分为（分）， ∵， ∴乙同学不能被录用． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则这组数据下列说法正确的是（　　） A．平均数是30岁 B．中位数是31岁 C．众数是29岁 D．方差是2 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，通过计算数据的平均数、中位数、众数和方差，逐一判断各选项的正确性即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、平均数为，故A错误； B、排序为：29，29，31，31，31，32，故中位数为，故B正确； C、数据中出现次数最多的为31，故众数是31，故C错误； D、方差为：，故D错误； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下面是根据八年2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（   ） A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 【答案】D 【分析】本题考查箱线图，‌箱线图‌是一种通过五个关键统计量（最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值）和异常值标识来展示数据分布的统计图表，据此求解即可． 【详解】解：由箱线图可得，下四分位数是132，中位数136，上四分位数144，最小值115，最大值162， ∴各个选项中，由图不能确定这组数据的平均数， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）若一组数据，，…，的平均数是2，方差为1，则另一组数据，，…，的平均数是 ，方差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平均数和方差的变换特点，根据平均数和方差的性质及计算公式直接求解可得，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数据，，…，的平均数是2， ∴数据，，…，的平均数是， ∵数据，，…，的方差为1， ∴数据，，…，的方差是， ∴数据，，…，的方差是， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10次射击训练成绩的方差 （填“>”，“<”或“=”），可知射击成绩更稳定的运动员是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】 甲 【分析】本题考查的是方差、折线统计图的有关内容．分析折线统计图，容易看出甲的成绩比较稳定，乙的成绩波动较大． 【详解】解：由图可知，乙的波动大， ∴乙的方差大，即； ∴射击成绩更稳定的运动员是甲． 故答案为：；甲． 三、解答题 5．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）暑假来临，小明一家计划去泰山旅游，为了选择一个合适的酒店，小明对甲、乙两个酒店进行了调查与评估．他依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）．两个酒店的得分如表所示： 安全保障 价格 地理位置 住宿条件 甲 7 8 6 9 乙 8 7 6 8 (1)若通过平均分来确定最终评分，请通过计算回答：小明会选择哪家酒店？ (2)但小明一家认为各项都有不同的“重要程度”．小明爸爸认为应该按确定最终评分，小明则认为应该按确定最终评分．请你从小明爸爸和小明两人中挑选一个方案，推荐更合适的酒店，并通过计算说明． 【答案】(1)小明会选择甲酒店； (2)按小明爸爸方案，推荐乙酒店；按小明方案，推荐甲酒店． 【分析】（1）分别计算甲、乙酒店四项得分的平均分，比较平均分大小，平均分高的即为会选择的酒店． （2）根据所选方案（小明爸爸或小明的权重方案），利用加权平均数公式分别计算甲、乙酒店的最终评分，比较评分高低来推荐合适酒店． 本题主要考查了算术平均数和加权平均数的计算与应用，熟练掌握平均数的计算公式（算术平均数为数据总和除以个数，加权平均数为各数据乘对应权重之和除以权重总和）是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， 小明会选择甲酒店． （2）解：小明爸爸方案（权重）， 甲酒店加权得分：， 乙酒店加权得分：， ， 按小明爸爸方案，推荐乙酒店； 小明方案（权重）， 甲酒店加权得分：， 乙酒店加权得分：， ， 按小明方案，推荐甲酒店． 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）为贯彻落实垃圾分类工作，某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩进行了数据处理，根据图表，解答问题： 七、八年级测试成绩统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7.5 7 7 2.8 八年级 a b c 2.35 (1)填空：表中的 ， ， ； (2)你认为______年级的成绩更整齐，理由是______； (3)若规定6分及以上为合格，该校八年级共1500名学生参加了此次测试活动，估计此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 【答案】(1)7.5；8；7.5 (2)八；八年级成绩的方差小于七年级 (3)1350人 【分析】（1）根据平均数，众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）用总人数40乘以样本八年级成绩在6分及6分以上人数所占比例即可． 【详解】（1）解∶由表可知， 八年级成绩的平均数， 八年级的成绩中，8分的人数最多，即众数， ∵， ∴八年级成绩最中间的2个数据分别为7、8， ∴中位数， 故答案为：7.5；8；7.5． （2）解∶八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级． 故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级； （3）解∶ （人）． 答：估计参如此次测试活动成绩合格的学生有1350人． 【点睛】本题考查条形统计图，平均，中位数，众数，方差的意义，用样本估计总体，读懂条形统计图，掌握各个统计量是解题的关键． 7．（24-25八年级下·四川内江·期末）某校在进行数学测试后，从两个班级中各随机抽取了10名学生分成两队，整理成绩、描述和分析如下，成绩得分用x表示，共分成四组：A、，B、，C、，D、，甲队的成绩是：95，95，80，95，97，97，91，99，90，81，乙队成绩在C组中的数据是：94，90，92，某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛．根据信息，解答下列问题： 甲、乙两队的成绩统计表 队伍 平均数 中位数 众数 方差 甲队 92 m n 乙队 92 93 100 50.4 (1)直接写出上述m、n、a的值； ， ， ； (2)学校欲选派成绩更稳定的队伍参加数学竞赛，学校应选派哪一个队？请说明理由； 【答案】(1)95，95，40； (2)学校应选派甲队，理由见解析 【分析】（1）根据中位数，众数，扇形统计图的性质解答即可 ； （2）计算各队的方差，根据方差越小越稳定，判断解答即可； 本题考查了平均数，中位数，方差及众数的意义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，众数是出现次数最多的数据。 【详解】（1）解：∵乙队C组占的百分比为 ∴，； 甲队10名学生的成绩，从小到大排列为80，81，90，91，95，95，95，97，97，99，第5和6位置的数是95和95， ∴中位数； ∵甲队10名学生成绩中，95分出现的次数最多， ∴众数； 故答案为：95，95，40； （2）解：学校应选派甲队，理由如下： ∵甲队的方差为：      ∵两队的平均数相同，但甲队的方差小于乙队的方差， ∴这次竞赛中甲队的成绩更稳定； ∴学校应选派甲队． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数据的分析（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平均数（算术、加权） 能区分算术平均数与加权平均数，熟练计算并结合实际情境解释“权”的实际意义 基础必考点，常出现在小题（选择/填空）或大题计算环节，易与实际应用结合 中位数、众数 能正确排序求中位数，识别单/多众数，明确三者刻画集中趋势的适用场景 高频易错点，易因“未排序”错求中位数；常结合实际情境考查统计量的选择 极差、方差与标准差 能计算极差、方差/标准差，理解其刻画数据离散程度的意义（方差越小越稳定） 重点考查点，常出现在小题或大题的“稳定性分析”部分，计算需注意公式细节 频数、频率与统计图表 能计算频数/频率，解读频数分布表、直方图；掌握箱线图的五值（最值、四分位数、中位数）并分析数据分布 综合应用题常考，需从图表提取数据，箱线图易考查“数据集中/分散程度”的描述 用样本估计总体 能通过样本的统计量（平均数、方差等）估计总体的对应特征 中考常考思想，多结合实际调查情境，考查数据的分析与决策能力 知识点01 算术平均数与加权平均数 概念： 算术平均数：一组数据的总和除以数据个数，公式： = 加权平均数：考虑各数据“权重”的平均数，公式：=（w为权重） ·示例： - 算术平均数：求数据3, 5, 7的平均数→= = 5 - 加权平均数：某科成绩中，平时作业占20%、测验占30%、期末占50%，若小明三项得分分别为80、90、85，则最终成绩→80×0.2 + 90×0.3 + 85×0.5 = 85.5 ·易错点： - 计算加权平均数时，混淆“权重”的形式（如把“份数”“百分比”直接当数据相加）； - 忽略数据个数，漏算或多算数据导致算术平均数错误。 知识点02 中位数与众数 概念： - 中位数：将数据从小到大（或从大到小）排序后，中间位置的数（数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数）； - 众数：一组数据中出现次数最多的数（可多个）。 ·示例： - 中位数：求数据2, 4, 5, 7, 9的中位数→排序后中间数为5；求2, 4, 6, 8的中位数→ = 5 - 众数：数据3, 3, 5, 5, 5, 7的众数是5；数据2, 2, 4, 4, 6的众数是2和4 ·易错点： - 求中位数前未对数据排序（如直接取原始数据的中间数）； - 误认为“众数只有一个”，忽略多众数的情况。 知识点03 极差、方差与标准差 概念： - 极差：一组数据中最大值与最小值的差，公式：极差=最大值 - 最小值； - 方差：刻画数据波动程度的统计量，公式：s2 = [(x1-)2 + (x2-)2 ++ (xn-)2]； - 标准差：方差的算术平方根，公式：s = 。 ·示例：- 极差：数据4, 6, 8, 10的极差→10 - 4 = 6 - 方差：求数据1, 2, 3, 4, 5的方差→=3，s2 = [(1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2] = 2 ·易错点：- 计算方差时，漏除数据个数n； - 混淆“方差与稳定性的关系”（方差越小，数据越稳定），误认为方差大更稳定。 知识点04 箱线图 概念：箱线图通过“五值”（最小值、下四分位数Q1、中位数Q2、上四分位数Q3、最大值）展示数据分布，其中：- 下四分位数Q1：排序后前半部分数据的中位数； - 上四分位数Q3：排序后后半部分数据的中位数； - 四分位距：Q3 - Q1（刻画中间50%数据的波动）。 ·示例：对数据1, 3, 5, 7, 9, 11, 13画箱线图： - 最小值=1，最大值=13； - 中位数Q2=7； - Q1（前半部分1,3,5的中位数）=3； - Q3（后半部分9,11,13的中位数）=11； - 箱线图的箱从3到11，线延伸至1和13。 ·易错点：- 计算四分位数时，错误划分“前半部分/后半部分”（如数据个数为偶数时，重复或遗漏中间数）；- 误将箱线图的“箱的长度”等同于极差（实际是四分位距）。 知识点05 频数、频率与统计图表 概念： - 频数：某组数据出现的次数； - 频率：频数与总数据个数的比值（频率 = ）； - 常见统计图表：频数分布表、频数分布直方图、箱线图等。 ·示例： 一组数据5, 5, 6, 7, 7, 7, 8中，“7”的频数是3，频率是。 ·易错点：- 频率计算时，混淆“组频数”与“总数”； - 解读直方图时，误将“矩形高度”当频数（实际是“矩形面积”对应频数，若组距相等则高度对应频数）。 知识点06 用样本估计总体 概念：通过样本的统计量（平均数、方差等）估计总体的对应特征（适用于样本具有代表性的情况）。 ·示例： 从某校八年级抽取50名学生的数学成绩，计算样本平均数为82，则估计该校八年级学生数学平均成绩约为82。 ·易错点：- 用“不具有代表性的样本”（如样本容量过小、抽样偏向）估计总体，导致结果偏差。 题型一 求一组数据的中位数、众数 解｜题｜技｜巧 ### 中位数解题技巧 先将数据按从小到大（或从大到小）排序；若数据个数为奇数，中间那个数就是中位数；若为偶数，取中间两个数的平均数作为中位数，排序是关键步骤。 ### 众数解题技巧 统计数据中出现次数最多的数，若有多个数出现次数相同且均最多，那么这些数都是众数；若所有数出现次数一样，则这组数据没有众数。 【典例1】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图为某市7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）数据5、3、8、7、8、7、7的众数是 ，中位数是 ． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下： 月用水量（t） 户  数 2 3 2 2 1 则这户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ． 题型二 求一组数据的平均数 解｜题｜技｜巧 ### 算术平均数解题技巧 先算出所有数据的总和，再数清数据的总个数，最后用“总和÷总个数”得出结果。若数据重复，可先算“重复数据×次数”的和，再除以总个数，减少计算量。 ### 加权平均数解题技巧 先明确各数据对应的“权重”（如次数、百分比），计算“每个数据×对应权重”的总和，再除以所有权重的总和，权重不同时切勿直接算算术平均数。 【典例1】（24-25八年级下·广东广州·期末）某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了位同学，得到如表数据：这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是 小时． 时长（小时） 人数 【典例2】（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）2025年4月28日，我县东坡庙会·文化旅游推介周启动仪式在牛车河月亮湾露营基地隆重举行，旨在让更多人走进团风、读懂团风、爱上团风．我校文学社团举行了“我爱团风”演讲比赛．团员的演讲内容、演讲效果、演讲技巧三项按如图所示的权重计算得分．已知某团员的三项原始得分分别是内容96分，效果95分，技巧90分，那么该团员最终比赛成绩为 分． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期末）某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了位同学，得到如表数据：这位同学一周参加课外体育锻炼时长的平均数是 小时． 时长（小时） 人数 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示：则这批灯泡的平均使用寿命是 h． 使用寿命 灯泡只数 30 30 40 【变式3】（24-25八年级下·云南德宏·期末）书法是汉字的书写艺术，它不仅是中华民族的文化瑰宝，而且在世界文化艺术宝库中独放异彩．某校举办以“传承民族文化·弘扬书法魅力”为主题的书法比赛活动，比赛分笔法、结构、章法三项进行打分，各项成绩均按百分制计．八（1）班的小明和小红在本次比赛中的三项成绩如下： 姓名 笔法 结构 章法 小明 85 95 96 小红 95 85 93 (1)若这三项成绩同等重要，应该选派谁去参加全校的书法比赛； (2)若按照笔法占、结构占、章法占来计算个人参赛的综合成绩，应该选派谁去参加全校的书法比赛． 题型三 求方差 解｜题｜技｜巧 ### 基本方差解题技巧 先算数据的算术平均数，再求每个数据与平均数的差，将差平方后求和，最后除以数据总个数。步骤可简记为“算平均→求偏差→平方→求和→除个数”，避免漏步。 ### 简化计算技巧 若数据较大，可先将所有数据减去同一个常数（如接近平均数的数），计算新数据方差，结果与原数据方差相同，能减少大数运算的误差，尤其适合数据集中的情况。 【典例1】（23-24八年级下·陕西商洛·期末）甲市和乙市6月某五天的最高气温如表所示： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲市 乙市 已知甲市这五天最高气温的平均数是37℃，方差是5.2．请计算乙市这五天最高气温的方差，并判断哪个市这五天的最高气温波动较大． 【变式1】（24-25八年级上·广东佛山·期末）某校为培养学生的数学思维，激发学生的学习兴趣，开展了学生数学说题比赛．八年级（1）班和八年级（2）班各选出5位选手参赛，成绩（满分为100分）如下： 八（1）班：82，88，90，75，90；           八（2）班：78，95，85，82，85． 数据整理分析如下： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 88 b c 八（2）班 a 85 85 (1)表中______，______，并且求方差c的值． (2)你认为选哪个班代表八年级参加学校的决赛比较好，说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·浙江台州·期末）甲、乙两台机器同时生产一种零件．在10天中，甲、乙两台机器每天生产出相同数量的零件，其中两台机器生产优等品零件的数量及天数如下表： 优等品（单位：个） 10 11 12 13 14 甲（单位：天） 2 2 2 2 2 乙（单位：天） 1 3 3 1 2 (1)分别计算甲、乙两台机器生产优等品零件的平均数和方差； (2)如果只选择一台机器生产此零件，请选择适当的统计量进行分析，判断应选择哪台机器？ 题型四 已知平均数、众数、中位数求未知数据的值 解｜题｜技｜巧 ### 利用已知量列方程技巧 先设未知数据为x，根据数据个数确定中位数位置，结合中位数列出等式锁定x范围；再根据众数定义（出现次数最多），判断x可能值；最后代入平均数公式，计算验证x是否符合所有条件。 ### 验证与取舍技巧 算出x后，需回代数据组，检查中位数、众数是否与已知一致，避免因漏考虑数据排序或众数多个可能值导致错解；若有多个x，需根据实际场景（如人数、次数）取舍。 【典例1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如果一组数据，0，1，3，的平均数是1，那么这组数的众数是 ． 【变式1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知数据的平均数为3，方差为2，则数据，的平均数为 ，方差为 ． 【变式2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是 ，平均数是 ． 题型五 中位数、众数、平均数与方差的综合问题 解｜题｜技｜巧 ### 数据特征关联分析技巧 先分别计算或明确已知的中位数、众数、平均数与方差，再找它们的关联：比如方差反映数据波动，可结合平均数判断数据分散度；众数体现最常见值，能辅助验证中位数是否合理，建立特征间的逻辑联系。 ### 综合应用题解题技巧 先梳理题干中各数据特征的已知条件，优先用中位数或众数锁定未知数据范围，再通过平均数公式求出具体值，最后代入方差公式计算并验证，每步都要结合数据实际意义（如整数、正数）排查。 【典例1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务质量等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9； 乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 8 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；比较大小：______（填“”“”或“”）； (2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由（写出一条即可）； (3)有200家网店店主对乙快递公司的配送速度进行评价，估计配送速度得分不小于8分的有多少个店主？ 【变式1】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）为传承经典文化，某校开展了“诗词达人”竞赛活动．为了解七、八年级竞赛情况，从七、八年级各随机抽取10名学生成绩(单位：分)进行如下统计分析． 【收集数据】 七年级：90，95，95，80，90，80，85，90，85，100； 八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 【整理数据】 【分析数据】 统计量 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 方差 七年级 89 90 39 八年级 90 90 根据以上信息回答下列问题： (1)请直接写出表格中，，的值； (2)求八年级学生成绩的方差； (3)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由． 【变式2】（2025·宁夏银川·三模）某校甲乙两班联合举办了数学竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理，分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78、86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80、77，85，80，73，90，74、75、81 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 79 a 乙班 80 80 b 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______； (2)判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； (3)甲班共有学生45人，乙班其有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 题型六 箱线图 解｜题｜技｜巧 ### 箱线图核心信息提取技巧 先识别五数概括：最小值（箱左端）、下四分位数（箱左边界）、中位数（箱内横线）、上四分位数（箱右边界）、最大值（箱右端），明确数据分布的集中与离散范围，快速判断是否有异常值。 ### 数据特征分析技巧 通过箱的长短看四分位距（数据中间50%波动），箱线位置判断数据偏态（箱偏左则右偏，反之左偏），对比多组箱线图时，重点比较中位数和箱体范围，分析组间差异。 【典例1】（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）如图为某地区2025年2月和3月的空气质量指数()箱线图．值越小，空气质量越好；值在201~300之间，说明重度污染．则下列说法错误的是（   ） A．该地区2025年3月有重度污染天气 B．该地区2025年3月的值比2月集中 C．该地区2025年3月的值中位数大于2月值的中位数 D．整体看，该地区2月的空气质量好于3月 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）某银行有A和B两个理财经营团队．2024年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：）如下： A：4.77  3.98  4.88  4.89  2.15  3.85  3.64  3.21  3.18  2.02  4.11  4.10 B：3.18  3.84  3.99  3.67  3.40  3.60  4.10  4.21  4.15  4.44  3.87  3.91 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数． 两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：） 团队 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b    请根据以上信息，完成下列问题： (1)表中______，______； (2)该同学基于四分位数绘制了团队A的箱线图如图所示，获得了团队A数据的直观表示．请你根据团队A的箱线图在图中补全团队B的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）在一次体育测试中，八（6）班的15名女生的仰卧起坐成绩如下表： 成绩（次/分钟） 38 39 40 41 42 43 44 45 人数 1 0 2 3 4 3 1 1 该15名女生的仰卧起坐成绩的中位数和众数分别是（    ） A．41，42 B．41，43 C．42，42 D．43，42 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩（分）的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 二、填空题 3．（24-25八年级下·云南·期末）某移动公司为了调查手机发送短信的情况，在本区域的1000位用户中抽取了10位用户来统计他们某月份发送短信息的条数，结果如下表所示： 手机用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 发送短信息条数 85 78 83 79 84 85 86 88 80 85 则本次调查中抽取的样本容量是 ，中位数是 ，众数是 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击次，甲的成绩单位：环为：，，，，，，乙的成绩单位：环为：，，，，，，这两名射击运动员的平均成绩均为环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 填写“甲”或“乙”． 三、解答题 5．（24-25八年级下·云南普洱·期末）国家安全，人人有责．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．当天，某校组织七、八年级全体学生开展了国家安全知识竞赛活动．为了解竞赛情况，该校从七、八两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分100分），并收集整理数据如下： 七年级：85，90，85，100，80，90，90，95，90，75． 八年级：90，80，90，85，95，90，80，95，100，85． 分析数据： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 90 46 八年级 89 90 39 根据相关信息，解答下列问题． (1)填空：______，______． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）． 6．（23-24八年级下·河南开封·期末）某公司为了到高校招聘大学生，为此设置了三项测试：笔试，面试、实习，学生的最终成绩由笔试、面试、实习依次按的比例确定．公司初选了若干名大学生参加笔试面试，并对他们的两项成绩分别进行了整理和分析．下面给出了部分信息 ①公司将笔试成绩（百分制）分成了四组，分别为组：，组：，组：，组：；并绘制了如下的笔试成绩频数分布表及频数分布直方图 笔试成绩频数分布表 分组 人数 频率 A组 3 组 9 组 12 D组 6 其中，组的分数由低到高依次为 80，81，82，83，83，84，84，85，88，88，88，88． ②这些大学生的笔试、而试成绩的平均数、中位数、众数、最高分如下表： 平均数 中位数 众数 最高分 笔试成绩 81 92 97 面试成绩 84 86 92 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，___________，这批大学生中笔试成绩高于88分的人数所占百分比为___________； (2)若甲同学参加了本次招聘，他的笔试，面试成绩都是83分，那么该同学成绩排名靠前的是哪一项成绩？并说明理由； (3)乙同学也参加了本次招聘，笔试成绩虽不是最高分，但也不错，分数在组；面试成绩为88分，实习成绩为80分；若该公司最终录用的最低分数线为86分，请通过计算说明，该同学最终能否被录用？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次，以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则这组数据下列说法正确的是（　　） A．平均数是30岁 B．中位数是31岁 C．众数是29岁 D．方差是2 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下面是根据八年2班学生1分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（   ） A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 二、填空题 3．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）若一组数据，，…，的平均数是2，方差为1，则另一组数据，，…，的平均数是 ，方差是 ． 4．（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图．观察图形，甲、乙这10次射击训练成绩的方差 （填“>”，“<”或“=”），可知射击成绩更稳定的运动员是 （填“甲”或“乙”）． 三、解答题 5．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）暑假来临，小明一家计划去泰山旅游，为了选择一个合适的酒店，小明对甲、乙两个酒店进行了调查与评估．他依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）．两个酒店的得分如表所示： 安全保障 价格 地理位置 住宿条件 甲 7 8 6 9 乙 8 7 6 8 (1)若通过平均分来确定最终评分，请通过计算回答：小明会选择哪家酒店？ (2)但小明一家认为各项都有不同的“重要程度”．小明爸爸认为应该按确定最终评分，小明则认为应该按确定最终评分．请你从小明爸爸和小明两人中挑选一个方案，推荐更合适的酒店，并通过计算说明． 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）为贯彻落实垃圾分类工作，某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩进行了数据处理，根据图表，解答问题： 七、八年级测试成绩统计表： 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 7.5 7 7 2.8 八年级 a b c 2.35 (1)填空：表中的 ， ， ； (2)你认为______年级的成绩更整齐，理由是______； (3)若规定6分及以上为合格，该校八年级共1500名学生参加了此次测试活动，估计此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 7．（24-25八年级下·四川内江·期末）某校在进行数学测试后，从两个班级中各随机抽取了10名学生分成两队，整理成绩、描述和分析如下，成绩得分用x表示，共分成四组：A、，B、，C、，D、，甲队的成绩是：95，95，80，95，97，97，91，99，90，81，乙队成绩在C组中的数据是：94，90，92，某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛．根据信息，解答下列问题： 甲、乙两队的成绩统计表 队伍 平均数 中位数 众数 方差 甲队 92 m n 乙队 92 93 100 50.4 (1)直接写出上述m、n、a的值； ， ， ； (2)学校欲选派成绩更稳定的队伍参加数学竞赛，学校应选派哪一个队？请说明理由； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $