精品解析：江西省南昌市雷式学校2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

南昌市雷式学校2025-2026年度上学期期中考试 初二数学试卷 一、选择题（共6小题，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题的关键．根据相关运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为与不是同类项，所以不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； B、，因为与不是同类项，所以不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、，故该选项计算正确，符合题意． 故选：D． 2. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、三角形的三边关系等知识点，掌握常见全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能画出，故A不符合题意； B、∠B是边的对角，不能画出唯一的，故B不符合题意； C、由判定能画出唯一的，故C符合题意． D、三个角对应相等的三角形不一定全等，故D不符合题意． 故选：C． 3. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．利用因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B. 三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C. 钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D. 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 已知中，I是角平分线交点，的面积为，的面积为，的面积为，且，则的值可能是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系；角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的两边之和大于第三边；过I点分别作，，，可得，再由三角形面积公式和，可得，即可求解 【详解】解：过I点分别作，，，如图所示， ∵I是角平分线交点， ∴ 可设，， ∴，，， ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴四个选项中只有D符合题意 故选：D 6. 设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 二、填空题（共6小题，共18分） 7. 炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方法固定，其依据的数学原理是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性这一特性是解题的关键．观察图形，空调通过三角形支架固定，思考三角形的特性来确定依据的数学原理． 【详解】解：安装空调时采用三角形支架固定，其依据的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 8. 因式分解∶_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：； 故答案为： 9. 如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得三角形的两角和它们的夹边是完整的，由此可利用定理作出完全一样的三角形，从而得解． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，故可以利用定理作出完全一样的三角形， 故答案为：． 10. 若，则的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的乘法和幂的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】∵ ∴． 故答案为：18． 11. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___． 【答案】135° 【解析】 【分析】直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 12. 如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当__________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 三、解答题（共5小题，共30分） 13. 计算： （1）． （2）．(因式分解) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和平方差公式进行因式分解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可； （2）运用平方差公式进行因式分解得，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 14. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图． （1）如图①，在上作格点，连接，使得 （2）如图②，在的内部作格点，连接、、，使得． （3）如图③，在内部作格点，连接、、，使得． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图所示，点即为所求； （3） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（）如图，取的中点，连接，由中点定义可得，即得到，故点即为所求； （）如图，取格点，连接、、，可知和的底相同，的高是的倍，所以，故点即为所求； （）如图，取格点，连接、、，利用割补法可求得，故点即为所求； 本题考查了三角形的中线性质，三角形面积与网格问题，认真识图是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 已知多项式，A与B的乘积中不含有x项，常数项是， （1）求m，n的值． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为，列方程即可得到答案； （2）把代入利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是， ∴， ∴， 把，代入，解得：， 故，； 【小问2详解】 根据（1）可知，， ∴， ． 17. 如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数． 【答案】（1）∠AFB=87°； （2）∠BAF=62°． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的外角性质计算即可； （2）利用三角形内角和定理构建方程求出∠ABF即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=42°，∠CAE=18°， ∴∠AEB=60°， ∵∠CBD=27°， ∴∠AFB=27°+60°=87°； 【小问2详解】 解：∵∠BAF=2∠ABF，∠AFB=87°， ∴3∠ABF=180°-87°， ∴∠ABF=31°， ∴∠BAF=62°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 四、应用题（共3题18分） 18. 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，则______，______；若，则______，______． （2）两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）24；；6；4 （2）图中阴影部分的面积为6 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，掌握熟练并运用完全平方公式的不同变形，结合已知条件求解代数式的值或图形面积是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，结合已知条件，逐步求出以及的值； （2）设两个正方形的边长分别为，利用完全平方公式的变形求出的值，再结合阴影部分面积的计算方法求解． 【小问1详解】 解：由，得，即， ， 解得， 由，得， ， ， 联立 解得． 【小问2详解】 解：设正方形的边长为，的边长为． 由题意知，，① ， ． ， ．② 联立①②，解得， 即， ， ， 图中阴影部分的面积为6． 19. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （）将“”看成整体，令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解； （）令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：令， ∴原式 ； 【小问2详解】 解：令， ∴ ． 20. 如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （2）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市雷式学校2025-2026年度上学期期中考试 初二数学试卷 一、选择题（共6小题，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B. 三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C. 钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D. 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 5. 已知中，I是角平分线交点，的面积为，的面积为，的面积为，且，则的值可能是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 6. 设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，共18分） 7. 炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方法固定，其依据的数学原理是_______． 8. 因式分解∶_______． 9. 如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为_________． 10. 若，则的值为______． 11. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___． 12. 如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当__________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 三、解答题（共5小题，共30分） 13. 计算： （1）． （2）．(因式分解) 14. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 15. 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，图①、图②、图③中三角形的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图． （1）如图①，在上作格点，连接，使得 （2）如图②，在的内部作格点，连接、、，使得． （3）如图③，在内部作格点，连接、、，使得． 16. 已知多项式，A与B的乘积中不含有x项，常数项是， （1）求m，n的值． （2）求的值． 17. 如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数． 四、应用题（共3题18分） 18. 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如： 若，求的值． 解：，即． 又． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，则______，______；若，则______，______． （2）两个正方形按如图所示的方式摆放，面积和为52，．求图中阴影部分的面积． 19. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 20. 如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． （1）求的度数； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $