数列的概念与等差数列单元检测B卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列的概念与等差数列单元检测B卷 班级 学号 姓名 参考答案 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下面四个结论中正确的是 (　　) A.数列的项数是无限的 B.数列的图象是一系列孤立的点 C.数列0,0,0,1,…是常数列 D.数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数 答案：B 解析：A选项,有限数列的项数是有限的,故A错误; B选项,因为数列的项数均为正整数,若将项数作为横坐标,项作为纵坐标画在平面直角坐标系中,则相应图象为一系列孤立的点,故B正确; C选项,数列中的项并不完全相同,因此不为常数列,故C错误; D选项,数列的项数均为正整数,项数与项一一对应,且分为有限数列与无限数列,则数列可看作定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数,故D错误.故选B. 2.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为(　　) A．21 B．24 C．27 D．30 答案：C 解析：令插入的3个数依次为a1，a2，a3，即3，a1，a2，a3，15成等差数列， 因此2a2＝3＋15，解得a2＝9，所以插入的3个数之和为a1＋a2＋a3＝3a2＝27. 故选C. 3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A．－2 B. C．1 D．2 答案：B 解析：由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，得a8＝0， 则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝.故选B. 4.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为(　　) A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺 答案：D 解析：设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列{an}，则立春当日日影长为a4＝9.5尺，春分当日日影长为a7＝6尺， 所以立夏当日日影长为a10＝2a7－a4＝2.5尺. 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：解法一：设等差数列{an}的公差为d，由题设，＝＝，可得a1＝d，所以＝＝.故选D. 解法二：由题意知S8＝3S4，又S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S8－S4＝2S4，故S12－S8＝3S4，故S12＝6S4，S16－S12＝4S4，得S16＝10S4，所以＝.故选D. 6.已知数列{an}满足an＝n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，3) B.[2，3) C. D.(1，3) 答案：C 解析：当n≤6时，有3－a>0，即a<3； 当n>6时，有a>1， 又a7>a6，所以a>10－6a，解得a>. 综上，有<a<3，故选C. 7.已知项数为n的等差数列{an}的前6项和为10，最后6项和为110，所有项的和为360，则n＝(　　) A．48 B．36 C．30 D．26 答案：B 解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝10，an＋an－1＋…＋an－5＝110，两式相加得 6(a1＋an)＝120，所以a1＋an＝20，又＝360，所以n＝36.故选B. 8．在数列{an}中，a1＝1，向量a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100＝(　　) A. B．－ C．100 D．－100 答案：D 解析：因为a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，所以＝－，所以＝－，＝－，…，＝－.以上各式左右分别相乘，得＝－100，因为a1＝1，所以a100＝－100.故选D. 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是(　　) A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，则a1＋a2＝5 B．若a2＋a13＝4，则S14＝28 C．若S15<0，则S7>S8 D．若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0 答案：BC 解析：设等差数列{an}的公差为d. 对于A，由a3＋a4＝9，a7＋a8＝18， 可得(a7＋a8)－(a3＋a4)＝8d＝9，所以d＝， 所以a1＋a2＝(a3＋a4)－4d＝9－4×＝，所以A为假命题； 对于B，S14＝＝＝28，所以B为真命题； 对于C，因为S15＝＝15a8<0，所以a8<0，所以S8－S7＝a8<0，则S7>S8，所以C为真命题； 对于D，因为{an}为递增数列，可得公差d>0，因为{anan＋1}为递增数列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d>0，所以对任意的n≥2，an>0，但a1的正负不确定，所以D为假命题．故选BC. 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11<S10<S12，则(　　) A.d>0 B.a1>0 C.S22<0 D.S21<0 答案：AD 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 对于A，B，因为S11<S10<S12， 所以S11－S10＝a11<0，S12－S11＝a12>0， 故等差数列的首项为负，公差为正， 所以d>0，a1<0，故A正确，B错误； 对于C，由S10<S12， 可知S12－S10＝a12＋a11>0， 所以S22＝＝11(a11＋a12)>0，故C错误； 对于D，因为a11<0，所以S21＝21×＝21a11<0，故D正确. 故选AD. 11．对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”．下列关于“倒差数列”的描述中，正确的是(　　) A．若数列{an}是递增数列，则其“倒差数列”不一定是递增数列 B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值 C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值 D．若an＝1－，则其“倒差数列”有最大值 答案：ACD 解析：若数列{an}是递增数列，则bn－bn－1＝an－－an－1＋＝(an－an－1)，虽然有an＞an－1，但当1＋＜0时，bn＜bn－1，因此{bn}不一定是递增数列，A正确；an＝3n－1，则bn＝3n－1－，易知{bn}是递增数列，无最大值，有最小值为b1，B错误，C正确；若an＝1－，则bn＝1－－，∵函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，∴当n为偶数时，an＝1－∈(0，1)，∴bn＝an－＜0，当n为奇数时，an＝1＋＞1，显然an是递减的，因此bn＝an－也是递减的，即b1＞b3＞b5＞…，∴{bn}的奇数项中有最大值为b1＝－＝＞0，∴b1＝是数列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________. 答案：2n＋1 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1. 由于a1＝3也满足上式，∴an＝2n＋1. 13.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 022，－＝6， 则S2 025＝________. 答案：4 050 解析：∵为等差数列，设公差为d′， 则－＝6d′＝6， ∴d′＝1，首项为＝－2 022， ∴＝－2 022＋(2 025－1)×1＝2， ∴S2 025＝2 025×2＝4 050. 14.已知数列{an}满足2an＋1＝4＋anan＋1，且a3＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 024＝________. 答案：2 024 解析：由2an＋1＝4＋anan＋1得an＋1＝， 则an＋2＝＝＝2－， 则an＋3＝2－＝2－＝an， 所以数列{an}是以3为周期的周期数列. 在2an＋1＝4＋anan＋1中， 令n＝2，得2a3＝4＋a2a3， 即2＝4＋a2，则a2＝－2， 令n＝1，得2a2＝4＋a1a2， 即－4＝4－2a1，则a1＝4， 所以S2 024＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a2 020＋a2 021＋a2 022)＋a2 023＋a2 024 ＝674×(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2 ＝674×(4－2＋1)＋4－2＝2 024. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知数列的通项公式为an=. (1)求a4. (2)是不是该数列中的项?为什么? (3)在区间内是否有该数列中的项?若有,求出有几项;若没有,请说明理由. 答案：(1) . (2) 不是 (3) 有一项 解析：(1)因为an===,所以a4==. (2)由(1)知an=,令=,解得n=. 因为n∈N*,所以=无正整数解,即不是该数列中的项. (3)由(1)知an=,令<<, 则解得<n<. 因为n∈N*,所以n=3, 所以在区间内有该数列中的项,且只有一项. 16.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围. 答案：(1) an＝n. (2) λ＜2 解析：(1)∵2Sn＝(n＋1)an， ∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， ∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an， ∴＝，∴＝＝…＝＝1， ∴an＝n(n∈N*). (2)bn＝3n－λn2. bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2) ＝2·3n－λ(2n＋1). ∵数列{bn}为递增数列， ∴2·3n－λ(2n＋1)＞0， 即λ＜.令cn＝， 即＝·＝ ＝1＋＞1. ∴{cn}为递增数列，∴λ＜c1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2). 17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 答案：(1) an＝15-2n. (2) Tn＝ 解析：(1)设等差数列的公差为d， 由题意可得 即 解得 所以an＝13－2(n－1)＝15－2n. (2)因为Sn＝＝14n－n2， 令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*， 当n≤7时，an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2×(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98. 综上所述，Tn＝ 18.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 答案：(1)详见解析 (2) an＝ 解析：(1)证明　因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以当n≥2时，Sn＝， 代入＋＝2，可得＋＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn， 即bn－bn－1＝(n≥2). 又＋＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列. (2)由(1)可知，bn＝＋(n－1)＝， 则＋＝2，所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－＝－. 又a1＝不满足上式. 故an＝ 19．设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 答案：(1) an＝3n (2) d＝ 解析：(1)∵3a2＝3a1＋a3， ∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d， 又T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝， ∴S3＋T3＝6d＋＝21，即2d2－7d＋3＝0， 解得d＝3或d＝(舍去)， ∴an＝a1＋(n－1)d＝3n. (2)∵{bn}为等差数列， ∴2b2＝b1＋b3，即＝＋， ∴6＝＝＝， 即a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d， ∵d>1，∴an>0， 又S99－T99＝99， 由等差数列的性质知，99a50－99b50＝99， 即a50－b50＝1， ∴a50－＝1，即a－a50－2550＝0， 解得a50＝51或a50＝－50(舍去)． 当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51， 解得d＝1，与d>1矛盾，无解； 当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51， 解得d＝. 综上，d＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的概念与等差数列单元检测B卷 班级 学号 姓名 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下面四个结论中正确的是 (　　) A.数列的项数是无限的 B.数列的图象是一系列孤立的点 C.数列0,0,0,1,…是常数列 D.数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数 2.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为(　　) A．21 B．24 C．27 D．30 3．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A．－2 B. C．1 D．2 4.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为(　　) A.16.5尺 B.13尺 C.3.5尺 D.2.5尺 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝(　　) A. B. C. D. 6.已知数列{an}满足an＝n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A.(2，3) B.[2，3) C. D.(1，3) 7.已知项数为n的等差数列{an}的前6项和为10，最后6项和为110，所有项的和为360，则n＝(　　) A．48 B．36 C．30 D．26 8．在数列{an}中，a1＝1，向量a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100＝(　　) A. B．－ C．100 D．－100 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则下列命题为真命题的是(　　) A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，则a1＋a2＝5 B．若a2＋a13＝4，则S14＝28 C．若S15<0，则S7>S8 D．若{an}和{anan＋1}都为递增数列，则an>0 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S11<S10<S12，则(　　) A.d>0 B.a1>0 C.S22<0 D.S21<0 11．对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”．下列关于“倒差数列”的描述中，正确的是(　　) A．若数列{an}是递增数列，则其“倒差数列”不一定是递增数列 B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值 C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值 D．若an＝1－，则其“倒差数列”有最大值 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________. 13.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 022，－＝6， 则S2 025＝________. 14.已知数列{an}满足2an＋1＝4＋anan＋1，且a3＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 024＝________. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知数列的通项公式为an=. (1)求a4. (2)是不是该数列中的项?为什么? (3)在区间内是否有该数列中的项?若有,求出有几项;若没有,请说明理由. 16.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围. 17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 18.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. 19．设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 学科网（北京）股份有限公司 $