精品解析：广东省深圳市深圳外国语学校（集团）龙华学校2025-2026学年上学期九年级数学期中调研卷

深圳外国语学校（集团）龙华学校2025—2026学年第一学期期中调研卷九年级数学 说明： 1．答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．请将答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共有8小题，每题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 2. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解． 【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等， 抽到《九章算术》是其中1种可能， 因此概率为成功事件数除以总事件数，即， 故选：C． 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，将根代入方程求解的值． 【详解】是方程 的根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 4. 跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：结合物理知识可得， ∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，同时自变量是正数． 故选：D． 5. 如图，小位用两根长度不等的木条可测得花瓶内口径的宽度．如果，且量得，则的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先连接，先根据“两边成比例且夹角相等”得∽，进而得出，此题可解． 【详解】解：连接， ， ∴， 即． ， ∽， ． 又， ， 即宽度为： 故选：． 6. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵镜子垂直于地面， ∴入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确找出两个相似三角形是解题关键． 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP=AB=a，即可得出答案． 【详解】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化， 理由是：连接OP，设 ∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a， ∴OP=AB=a， 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a； 故选：B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，求出，然后通过，进一步求出即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共有5小题，每题3分，共15分） 9. 写出一个两根分别1和2的一元二次方程____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和根与系数的关系，注意：以为根的一元二次方程为．根据以为根的一元二次方程为写出即可． 【详解】解：两根分别为1和2的一元二次方程是， 即． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根高的灯柱的影长为，在同一时刻，他们测得树的影长为，则该树的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的运用，设这棵树的高度是米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果．熟记同一时刻的物高与影长成比例是解题的关键． 【详解】解：设该树的高度为， 依题意得：， 解得：， 则该树的高度为， 故答案为：． 11. 在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用频率估计概率，根据频率公式先求出摸到黄球的概率，再乘以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：∵共摸了1000次球，发现有400次摸到黄球， ∴摸到黄球的概率为， ∴袋中的黄球大约有（个）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的k的几何意义的应用，相似三角形的性质与判定．关键是正确作出辅助线构造相似三角形． 过点作轴于轴于，可证，由线段关系求得的面积，再根据反比例函数的的几何意义即得结果． 【详解】解：如图，过点作轴于轴于， ， ， ， ， ∵的面积为，则， ， ， ， ， 由图可知， ， 故答案为：． 13. 如图，已知中，，E是的中点，过点B作，交的延长线于点D，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点F，先根据题意作出辅助线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，利用勾股定理推出，即，解出x的值，可求出、、和的长，根据和推出，可求出和的长，再求出的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， 设，则， ∵在中，点E为的中点， ， ， ， ，即， 解得：， ，， ， ， ， 又， ， ，即， 解得： ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线及利用直角三角形的性质是解决问题的关键． 三、解答题（本题共有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ，． 15. 中国人工智能公司深度求索推出人工智能助手成为全球范围内广泛关注的焦点．某学校为了解学生对的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题： （1）求接受随机调查的学生人数，及条形统计图中m的值； （2）如果该校共有学生1000人，根据上述调查结果，求该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是多少； （3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50人， （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，各频数之和等于样本容量计算即可； （2）利用样本估计总体的思想，计算解答即可； （3）画树状图，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 (人)， (人)． 【小问2详解】 解：该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是 (人)， 答：校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是660人． 【小问3详解】 解：根据题意，有女生2名，男生2名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种， 故一男一女的概率是 【点睛】本题考查了样本容量，频数的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将按照1：2放大后的位似图形； （3）利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 如图，为所作； （3） 如图，为所作． 【解析】 【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）取格点M、N，连接与相交于点D，则即为所求作的中线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了位似变换：画位似图形的一般步骤为：确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换和平行四边形的性质． 17. 如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接． （1）下列条件： ①D是边的中点； ②是的角平分线； ③点E与点F关于直线对称． 请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求的长． 【答案】（1） 证明：选择条件②： ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 选择条件③： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵点E与点F关于直线对称， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】（1）选择条件②：先由角平分线的定义得到，再由，，可得四边形是平行四边形，，进一步证明，得到，即可证明平行四边形是菱形；选择条件③：同理可证四边形是平行四边形，再由轴对称的性质得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）由菱形的性质得到，则，证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，轴对称的性质等等，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 18. 荔枝是广东省的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． （1）任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； （3）任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为____________．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】（1）荔枝平均每株产量的年平均增长率为；（2）此时纸盒的高为；（3）． 【解析】 【分析】（1）设荔枝平均每株产量的年平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设裁掉正方形的边长为，根据题意，列出方程，即可求解； （3）设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为，纸盒的高为，根据正六边形的性质以及直角三角形的性质可得，，，从而得到，，再由四边形为矩形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）任务1：设荔枝平均每株产量的年平均增长率为， 由题意得：， ； ，（不符合题意舍去） 答：荔枝平均每株产量的年平均增长率为； （2）任务2：设裁掉正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：此时纸盒的高为； （3）任务3： 如图，设底面正六边形为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为，纸盒的高为， 正六边形的每条边相等，每个内角都为， 为等腰三角形，， ， 由正六边形的性质可得平分， ， ， 直角三角形中，，， 同理直角三角形中，， ，， ①， 左侧小三角形顶点的角度， 左侧小三角形为边长的等边三角形， 根据图形的上下对称可得与长方形纸板的左右两边垂直， 为等边三角形的高， ， 同理可得，， 四边形为矩形， ， ， ②， 联立①②式可得， 答：纸盒的高为cm． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键． 19. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）①点_________“美好点”（填“是”或“不是”）； ②若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值． （2）①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则_________； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． （3）在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标． 【答案】（1）①不是；② （2）①18；② （3）G点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）①根据“美好点”的定义判断即可得解；②先求出矩形的周长，矩形的面积，再结合点是“美好点”，得出，求解即可； （2）①根据“美好点”的定义求出，再利用待定系数法求解即可；②由①可知，该双曲线解析式为，求出，过点F作轴，垂足为G，则，，，，从而可得，再结合计算即可得解； （3）设，结合平行四边形的性质分三种情况：若以为对角线；若以为对角线；若以为对角线；分别求解即可． 【小问1详解】 解：①如图，在平面直角坐标系中，，四边形为矩形， ，， ，， 矩形的周长，矩形的面积， 又， 点不是“美好点”； ②如图，四边形为矩形，， ，， ，， 矩形的周长，矩形的面积， 若点是“美好点”，则， 解得：， ； 【小问2详解】 解：①点（）为“美好点”， ，， 四边形为矩形， ，， 矩形的周长为，矩形的面积， ， 解得：， ， 点在双曲线的图象上，将点E的坐标代入得：， 解得：， 故答案为：18； ②由①可知，该双曲线解析式为， 点在双曲线上，将点F的坐标代入得：， ， 如图，过点F作轴，垂足为G， 则，，，， ， ∴ ； 【小问3详解】 解：G点坐标为或或．理由如下： 如图， 设， ，，， 若以为对角线，依题意得：，， 解得：，， ； 若以为对角线，依题意得：，， 解得：，， ； 若以为对角线，依题意得：，， 解得：，， ， 综上所述，G点坐标为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数的应用、平行四边形的性质，理解“美好点”的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 20. 我们把一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．已知P是四边形对角线上一点，将沿折叠得到，交于O． （1）如图1，若四边形是正方形，． ①求证：； ②若四边形是等对边四边形，则 _____； （2）如图2, 已知四边形是菱形，．若四边形是等对边四边形，求等对边四边形的面积； （3）如图3，已知四边形是矩形，直线恰好经过的中点H，若四边形是等对边四边形，且，请直接写出的值． 【答案】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴； ② （2）12 （3）的值为或1． 【解析】 【分析】（1）①先证得到，从而即可得到； ②由题易得，进而可证垂直平分，据此设参求解即可； （2）先证，再证，由，可得，再证，据此得解； （3）由中点可联想倍长中线，延长至点F，使，连接，易得，所以，再证，，导角可得，据此设参求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②由题可知当四边形是等对边四边形时，则， ∵ ∴， ∴， ∴此时点O在垂直平分线与交点位置， ∴O为中点， ∵正方形， ∴， 设，则由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，四边形是等对边四边形， ∴可得， ∴， 由菱形的性质和折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接交于Q，则垂直平分， ∴，， ∴等对边四边形的面积． 【小问3详解】 解：如图，延长至点F，使，连接， ∵H为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由已知以及翻折可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴ ∴， 在上取一点G，使， ∵ ∴， ∴， 过A作于点K，则可设 ∴， ∴， 解得（负值舍去）； ∴， ∴， 如图，当点为中点时， 此时，符合题意， ∴； 综上，的值为或1． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校（集团）龙华学校2025—2026学年第一学期期中调研卷九年级数学 说明： 1．答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．请将答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共有8小题，每题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C 液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 2. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小位用两根长度不等的木条可测得花瓶内口径的宽度．如果，且量得，则的宽度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ） A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有5小题，每题3分，共15分） 9. 写出一个两根分别1和2的一元二次方程____________． 10. 为测量广场上一棵树的高度，数学小组在阳光下测得广场上一根高的灯柱的影长为，在同一时刻，他们测得树的影长为，则该树的高度为_____． 11. 在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是_________． 12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点B，若，的面积为3，则k的值为________． 13. 如图，已知中，，E是的中点，过点B作，交的延长线于点D，若，，则_____． 三、解答题（本题共有7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 中国人工智能公司深度求索推出人工智能助手成为全球范围内广泛关注的焦点．某学校为了解学生对的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题： （1）求接受随机调查的学生人数，及条形统计图中m的值； （2）如果该校共有学生1000人，根据上述调查结果，求该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是多少； （3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为A，B，C． （1）画出关于x轴对称的； （2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将按照1：2放大后的位似图形； （3）利用网格和无刻度的直尺作出的中线（保留作图痕迹）． 17. 如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接． （1）下列条件： ①D是边的中点； ②是的角平分线； ③点E与点F关于直线对称． 请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求的长． 18. 荔枝是广东省的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年荔枝平均每株产量是250千克，2025年达到了360千克，每年的增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． （1）任务1：求荔枝平均每株产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； （3）任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），则此时纸盒的高为____________．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 19. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． （1）①点_________“美好点”（填“是”或“不是”）； ②若点是第一象限内的一个“美好点”，求b的值． （2）①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则_________； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． （3）在（2）的条件下，平面内找一点G，使O，E，F，G四点组成平行四边形，直接写出G点坐标． 20. 我们把一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．已知P是四边形对角线上一点，将沿折叠得到，交于O． （1）如图1，若四边形是正方形，． ①求证：； ②若四边形是等对边四边形，则 _____； （2）如图2, 已知四边形是菱形，．若四边形是等对边四边形，求等对边四边形的面积； （3）如图3，已知四边形是矩形，直线恰好经过的中点H，若四边形是等对边四边形，且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $