精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期数学周考测试（12）

襄阳四中2024级高二上学期数学测试（12） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合共面向量定理，得到共面向量的坐标，结合选项，即可求解. 【详解】设向量与共面，则存在实数使得， 即， 结合选项，选项C满足题意， 所以与共面的向量坐标可以是. 故选：C. 2. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面、面面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A：且相交，可得，故A错； 对于B：若，则或相交或在内，故B错； 对于C：设的方向向量为，的法向量分别为， 由可得：， 即， 所以， 所以，故C正确， 对于D，若，则，或在内，故D错； 故选：C 3. 学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定分层抽样人数得出抽样比，从而得出来自各社团的抽取人数，再计算5人中抽取2人的总组合数，结合对立事件定义求出“两人均不来自绘画社”的组合数，进行概率计算得出“至少有一名来自绘画社”的概率． 【详解】学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人， 总人数为人，抽样比为， 抽取人数：书法社，绘画社，摄影社， 从5人中随机抽取2人，总组合数为， “至少一名来自绘画社”的对立事件是“两人均不来自绘画社”，组合数为， 2名负责人至少有一名来自绘画社的概率． 故选：A． 4. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点坐标得到空间向量坐标，由向量数量积得到，即可求得点到直线的距离. 【详解】直线的方向向量， ， ∵，∴， 到直线的距离为. 故选：D. 5. “双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线夹角为求出，再根据必要不充分条件的概念进行判断. 【详解】双曲线的两渐近线夹角为， 所以或，所以或. “或”是“”的必要不充分条件. 故选：C 6. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】曲线  是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，由得圆心  到直线  的距离为，设直线  的方程为  ，  ，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由 ，则 ，  ，即 ， 所以曲线 是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，如图． 因为， ，即 ，所以 ， 所以圆心 到直线 的距离为  ． 设直线 的斜率为  ，则直线 的方程为 ， ， 圆心 到直线 的距离 ，解得 ， 因为 ，所以 ． 故选：C． 7. 已知圆，圆，动圆与圆，圆都相切，若动圆圆心的轨迹是两个椭圆，且两个椭圆的离心率分别为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，当动圆M与圆内切，与圆外切，此时离心率为，当动圆M与圆，圆均内切，此时离心率为，计算可求答案. 【详解】由题意可得，如图1，动圆M与圆内切，切点为， 与圆外切，切点为， 此时， 所以 ， 故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆， 此时，故，故离心率为， 如图2，当动圆M与圆，圆均内切，切点分别为，， ， 则 ， 故圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，此时， 故，故离心率为，所以. 故选：D. 8. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知曲线,则下列结论正确的是（ ） A. 若,则曲线C为双曲线 B. 若,且,则曲线C为椭圆 C. 若曲线C为双曲线，则其渐近线方程为 D. 若曲线C表示椭圆，则其焦距为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的方程和焦距逐项分析判断. 【详解】若,则C表示双曲线，其渐近线方程为，故AC正确； 若，例如当时不表示任何曲线，故B错误； 对于D，若曲线C表示椭圆，则,且， 当时，则焦点在x轴上，且， 则，即其焦距为； 同理当时，焦点在y轴上，此时的焦距为，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的实轴长为4 C. 的面积为1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据直线与渐近线平行求出双曲线的，关系，进而求出离心率、实轴长等，再联立直线与双曲线方程求出点坐标，从而计算的面积以及的值. 【详解】双曲线，其渐近线方程为.  已知过的直线与的一条渐近线平行，则，即.  又在直线上，所以，解得.  由，，可得，解得.  离心率，实轴长，选项正确，选项错误.   联立直线与双曲线方程，将代入双曲线方程可得： ，即，解得，则，即.  已知，，则，点到轴的距离即中边上的高.  根据三角形面积公式，可得，选项正确.   根据两点间距离公式，可得： ， .  所以，选项正确.   故选：ACD. 11. 如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点（不包括端点），三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在点，使得 C. ，，三点共线 D. 球球面上点到平面距离最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法可得A、B，由墙角模型可得C，利用球面上点到平面的最大距离等于球心到平面的距离加上半径可得D. 【详解】在三棱锥中，平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，由是线段上的动点，设 对于A，，，A正确； 对于B，则，， 由，则不存在点，使得，B不正确； 对于C，由题意易得三棱锥的外接球为球即为墙角模型的的外接球球心，其球心位于正方体的体对角线的中点，所以， 同理三棱锥的外接球为球， 由可得，，三点共线，故C正确； 对于D，球心在以为顶点为棱的正方体的中心，其半径为， 又，易得平面的法向量为，且 所以到平面距离为，所以球球面上点到平面距离最大值是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果直线过点，且直线的方向向量为，则直线的一般式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设  为直线上的动点，根据关系列方程求结论. 【详解】设  为直线上的动点， 则  ， 因为  是直线的方向向量， 所以  ， 得 ， 即 ， 所以直线的方程为 ． 故答案为：. 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 14. 已知点在椭圆上运动，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为直线与椭圆有公共点求解. 【详解】设，因为点在椭圆上运动， 所以直线与椭圆有公共点， 由得，则， 解得， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 根据条件，求下列曲线的标准方程： （1）一个焦点坐标为，且椭圆经过点； （2）与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点位置，设椭圆的方程，结合条件列关于的方程，解方程求可得结论. （2）根据共渐近线的双曲线方程的特点设双曲线的方程，代入点的坐标，解方程求参数可得结论. 【小问1详解】 由题意，设椭圆的标准方程为， 则，解方程可得， 所以椭圆的标准方程为  ． 【小问2详解】 设所求双曲线的方程为  ． 将点  代入双曲线方程得  ，解得  ， 因此，所求双曲线的标准方程为  ． 16. 在平面直角坐标系中，已知两个定点，，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过直线上一动点作曲线C的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点． 【答案】（1） （2）过定点 【解析】 【分析】（1）设点，根据列方程化简即可； （2）先得到M，N都在以CD为直径的圆上，结合已知条件得到圆的方程，由M，N是两圆的公共点，所以直线MN为两圆公共弦所在的直线．进而联立方程化简即可. 【小问1详解】 设点， 由，得， 平方化简得，， 即曲线C的方程为 【小问2详解】 设直线上一点，曲线C的圆心为C， 则，，则M，N都在以CD为直径的圆上． 因为圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 即． 因为M，N是两圆的公共点，所以直线MN为两圆公共弦所在的直线． 由 得直线MN的方程为，即． 由得，，所以直线MN过定点 【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解； （2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，若M为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点N． （1）求椭圆C的方程； （2）若过作直线与椭圆C交于两点，且椭圆C上存在点，满足，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）结合圆的切线性质分析可以得到点在轴上，且，得到b的值，进而求得椭圆的方程； （2）先判定直线l的斜率必然存在，然后，设斜率为k,写出直线l的方程，联立方程组，利用韦达定理求得P的坐标，代入椭圆的方程，求得斜率k的值，进而得到直线l的方程. 【详解】（1）如图所示，由已知得,,不妨设在轴上方，因为圆的圆心为原点，半径为1，所以切线斜率为1，点在轴上，且，所以椭圆中心在原点，,所以，所以椭圆C的方程为； （2）当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，A,B关于x轴对称，此时，而显然不在椭圆C上； 于是可设直线l的方程为， 代入椭圆C的方程，消去y并整理得：, ， 设点，，则． 则 ，则点， 又点在椭圆上， 则有， 整理得，解得， 所以椭圆上存在点，使得， 此时直线的方程为，即或. 18. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点，连接、， 因为是三棱锥的高，所以平面，平面， 所以、， 又，所以，即，所以， 又，即，所以，， 所以 所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，如图建立空间直角坐标系， 因为，，所以， 又，所以，则，， 所以，所以，，，， 所以， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，则，，所以； 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以； 所以. 设二面角的大小为，则， 所以，即二面角的正弦值为. 19. 已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点. （1）若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）定圆， 【解析】 【分析】（1）由，结合三角形的面积公式可得，再由椭圆的方程代入计算，即可得到结果； （2）由点差法代入计算，即可得到结果； （3）联立直线与椭圆方程，即可表示出点的坐标，然后联立直线与椭圆方程，表示出点的坐标，从而表示出直线的方程，即可得到直线过定点， 从而得到结果. 【小问1详解】 设，由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得，即点Q的横坐标的取值范围为； 【小问2详解】 设，， 则，两式相减作差可得， 即，即，即， 又，所以， 由直线的点斜式可得， 化简可得， 所以直线的方程为； 【小问3详解】 ，， 设直线的方程为， 直线的方程为，， 联立，消得， 则，所以， 所以，故， 联立，消得， 则， 所以，所以， 故， 当，即时，， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时，此时， 直线过定点， 设，因为，，所以过点A，H，O（为坐标原点）三点的圆即为过点A，，O（为坐标原点）三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点A，H，O（为坐标原点）三点的圆是定圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2024级高二上学期数学测试（12） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. “双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，圆，动圆与圆，圆都相切，若动圆圆心的轨迹是两个椭圆，且两个椭圆的离心率分别为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知曲线,则下列结论正确的是（ ） A. 若,则曲线C为双曲线 B. 若,且,则曲线C为椭圆 C. 若曲线C为双曲线，则其渐近线方程为 D. 若曲线C表示椭圆，则其焦距为 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的实轴长为4 C. 的面积为1 D. 11. 如图，在三棱锥中，，平面，，，，，分别为，，，的中点，是的中点，是线段上的动点（不包括端点），三棱锥的外接球为球，三棱锥的外接球为球，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在点，使得 C. ，，三点共线 D. 球球面上点到平面距离最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果直线过点，且直线的方向向量为，则直线的一般式为__________． 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 14. 已知点在椭圆上运动，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 根据条件，求下列曲线的标准方程： （1）一个焦点坐标为，且椭圆经过点； （2）与双曲线有公共的渐近线，且过点． 16. 在平面直角坐标系中，已知两个定点，，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）过直线上一动点作曲线C的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，若M为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点N． （1）求椭圆C的方程； （2）若过作直线与椭圆C交于两点，且椭圆C上存在点，满足，求直线的方程． 18. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 19. 已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点. （1）若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围； （2）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （3）记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $