吉林省吉林市某重点学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

永吉实验高级中学高二年级12月份月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线l过点A（0，2），且直线l的一个方向向量为，则直线l的方程是（　　） A．y＝x+2 B．y＝2x+2 C．y＝x﹣2 D．y＝2x﹣2 【答案】B 2. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 4若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为. .5. 已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）. A. 15 B. 31 C. 63 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知求出的值即得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题得. 所以. 故选：B 6. 已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 由题知轴且过右焦点，令，得，. 则的面积，解得. 双曲线（），，解得. 故选：. 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 8. 定义：对任意，都有（为常数），称数列为“等和”数列.设“等和”数列的首项为 ，直线过定点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由直线过定点求出的值，再根据等和数列性质求解即可. 【详解】由直线变形得： ，当时， 所以直线过定点，即， 由数列为“等和”数列且（为常数）， 所以， 所以等和”数列的奇数项为1，偶数项为2， 所以 ， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答. 【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确； 当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确； 当时，直线，而直线，显然，即，C正确； 当时，有，解得，即直线， 因此直线之间的距离，D正确. 故选：CD 10. 公差为的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 中最大 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D. 【详解】A：由，得， 由，得，所以，所以，故A错误； B：由选项A的分析知，，故B错误； C：因为，，，所以数列是递减数列， 其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确； D：由选项A的分析知，，，， 所以，且，即，所以，故D正确. 故选：CD 11. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时， C. 离心率为 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误. 【详解】由题意知，所以． 因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确． 当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确． 由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得， 所以椭圆的短轴长为，故A正确． 易得，所以，故C错误． 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共4小题，共20分） 12. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______． 【答案】 13. 两个正数、的等差中项是，等比中项是，且，则椭圆的离心率为（ ） . 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于、的等式组，解出、的值，可得出的值，由此可得出该椭圆的离心率的值. 【详解】因为两个正数、的等差中项是，等比中项是，且， 则，解得，所以，故. 故选：C. 14. 已知P是抛物线上一动点，过点P作圆C：两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设求得的最小值，进而可得利用二倍角的余弦公式可求. 【详解】由题意知圆故半径为1， 设则当且仅当即时，等号成立， 即当时，取得最小值，且 所以又 所以 故答案为：. 15．椭圆（）的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于、两点，面积为，求的方程． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）由题意得，，解得， 故， 故椭圆的标准方程为， 离心率为； （2）由题意，直线斜率不存在时，不能构成， 故设直线方程为， 联立得，， 设， ，解得或， 则， 所以 ， 设到直线的距离为，则， 所以， 解得， 所以直线的方程为或. 16已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）计算出公比、公差即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【解答过程】（1）设公比为，公差为， 所以，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； （2）因为， 所以数列的前n项和. 17. 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点.若，. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据题意易证四边形为平行四边形，从而得到，再根据线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量运算公式即可求解； （3）利用线面夹角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示： 因为分别为的中点，所以，且. 又因为是的中点，所以，. 所以，，则四边形为平行四边形，即. 因为平面，平面，，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系. ，，则，，，，，，，，. 设平面的法向量，则，即， 设，则. 又，则点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）知平面的法向量，， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可； （2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解； （3）判断数列的单调性，求出最大项得解. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 又也符合上式，所以（）. 因为， 所以数列是等差数列. 【小问2详解】 由，得， 故， ， 则， 两式相减得 ， 即. 【小问3详解】 因为， 当时，，即，当时，易得， 所以，故是数列中的最大项，且. 要使对一切恒成立，只需即可， 故实数m的取值范围为. . 19. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值，并求出该定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，；（ii） 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为，所以，即， 据，得，即. 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点， 联立方程组整理得， 所以，， （i）所以 为定值，得证； （ii）法一：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故 联立方程组整理得， 解得或0（舍），， 所以的面积 ， 由（i）可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，， 当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级12月份月考数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意南项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知直线1过点A(0,2),且直线1的一个方向向量为ā=(1,2)，则直线1的方程是() A.y=x+2 B,y=2x+2 C.y=x-2 D.y=2x-2 2若双曲线名-，1(Q>0,b>0的离心率为5，则其渐近线方程为() A.2x±3y=0 B.3x±2y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 3.已知圆C,:x2+y2-4x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0,则两圆的位置关系为（) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 4若抛物线y=的准线为直线1，则！截圆C:+-1所得的弦长为（) A.万 B.. 5 c.3万 D.3 4 8 5.已知等比数列{a}中，4=1，且%十8=8，郑么S,的值是(). az+as A.15 B.31 C.63 D.64 6.己知双曲线xy =1(m>0)的两条渐近线为l,42,过双曲线右焦点F且垂直于x轴 Am m 的直线交4，h分别于点P,2,0为坐标原点，若△OP2的面积为)，则m=() A.1 B.√2 C.5 D.2 1/4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平 面直角坐标系中的“太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分（包括边界） 的动点，则)的最小值为() x-2 2 A.3 D 2-3 2 -2 8.定义：对任意n∈N,都有an+al=c（c为常数)，称数列{an}为“等和数列.设“等和” 2025 数列{a,}的首项为a，直线c-0+)+2=0(keR)过定点P(a,a),则∑a,=（) n-1 A.2025 B.2562 C.3036 D.3037 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线：4x-3y+4=0,2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则（) A.直线过定点(-2，-1) … B.当m=1时，1⊥2 C.当m=2时，12 D.当2时，两直线，l2之间的距离为1 10.公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,>0,S2<.0,则（) A.d>0 B.a,>0 C.{S}中S6最大 D.lal<lal 214 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 皿，已知椭圆+0<b<2的左、右焦点分别为，乃，过点的直线1交椭圆于 B两点，若AF+BF的最大值为5，则() A.椭圆的短轴长为2√3 B.当A+BF最大时，AF=BR C,离心率为 D.AB的最小值为3 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共4小题，共20分) 12.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设AB=8,AC=已，D=g,请用，马， e的线性组合表示DE=。 D 1以，两个正数Q、b的等差中项是号，等比中项是25，且G>,则箱题号+岁=1的离心率 为 14.已知P是抛物线y2=4x上一动点，过点P作圆C:x2+y2-8x+15=0的两条切线，切点分 别为A,B,则cos∠APB的最小值为 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15(B分)椭圆导+苦1(a6>0)的左右焦点分别为，B,其中0,0为限点：箱 圆上任意一点到F,F距离之和为2√反， (1)求椭圆的标准方程及离心率； ②)过点P(O,3列的直线I交椭圆于A、B两点，△0AB面积为5 ,求1的方程。 19 3/4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 16(15分)已知数列(a是等差数列，[bn是等比数列，且b2=2,b5=16,a1=b1,a4=b3 (1)求数列(an),{bn的通项公式： 2 (2)令Cn= 求数列{cn)的前n项和Tn anan+l 17(15分).如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形，E、F分 别是AB、PD的中点.若PA=AD=4,CD=2. (1)求证：AF∥平面PCE: (2)求点F到平面PCE的距离； (3)求直线FC与平面PCE所成角的正弦值 6+1 1817分).已知数列{a,}和6，}，数列6，}的前n项和S,=什，a,= (neN), 数列{c,}满足cn=anb, (1)求证：数列{b}是等差数列： (2)求数列{cn}的前n.项和Tn: (3)若Cn≤m对一切n∈N恒成立，求实数m的取值范围. 917分).在平面直角坐标系0中，点A,B分别是辅圆C:寺+茶=e>60)的右顶 点，上项点，若C的离心率为，且O到直线B的距离为5， 2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点P(2,1)的直线l与椭圆C交于M,N两点，其中点M在第一象限，点N在x轴下方 且不在y轴上，设直线BM,BN的斜率分别为店，k2. (i)求证： 飞店为定值，并求出该定值： (i)设直线BM与x轴交于点T,求△BNT的面积S的最大值 4/4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP