精品解析：北京市第五中学通州校区2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

北京市第五中学通州校区2025—2026学年 第一学期期中教学质量检测初二数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共四道大题，28个小题，满分100分．考试时间为120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：每小题2分，共16分，第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式需要满足“分子分母是整式且分母含有字母”是解题关键． 根据分式的定义，依次判断代数式是否符合条件． 【详解】解：选项A分母为2025，不含字母， 选项B分母为2，不含字母， 选项C分母为，含有字母， 选项D是整式，不是分式， 故选项C是分式． 故选：C． 2. 下列式子的变形正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 需检查每个选项的变形是否符合此性质． 【详解】A：∵， ∴A错误． B：∵， ∴B正确． C：∵，∴， ∴C错误． D：∵， ∴D错误． 故选：B． 3. 一等腰三角形两边长分别为、，则该等腰三角形的周长为（　　） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】解：当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意； ∴周长为， 故选：． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则的值为 D. 分式是最简分式 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义、分式的性质、分式值为0的条件、最简分式的概念等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据相关定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母是常数，不是字母，则 不是分式，故A错误； B．由当都扩大3倍时，分式变为 ，值扩大3倍，故B错误； C．由分式值为0需分子为0且分母不为0，则 且 ，解得 ，故C正确； D．由（当），分子分母有公因式，不是最简分式，故D错误． 故选C． 5. 如图BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，且BE交AC的延长线于点E．若∠A=30°，∠E=20°，则∠ACB的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形外角性质求出∠EBD的度数，进而可求出∠CBD的度数，再根据三角形的外角性质即可求出∠ACB． 【详解】解：∵∠A＝30°，∠E＝20°， ∴∠EBD＝∠A+∠E＝50°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠EBD＝50°，∠CBD＝2∠EBD＝100°， ∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝100°﹣30°＝70°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理． 6. 如图，△ACE≌△DBF，若AD＝8，BC＝2，则AB的长度等于( )． A. 6 B. 4 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵△ACE≌△DBF， ∴AC=DB， ∴AC-BC=BD-BC， 即AB=CD， ∵AD=8，BC=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出AB=CD是解题的关键． 7. 中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，证明，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴, ∴， 在中，由 得：， ∴, ∵的长度为奇数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 8. 如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定条件判定即可． 【详解】解：已知， 加上①，可用“”来判定． 加上②，可用“”来判定． 加上③，可用“”来判定 加上④不能判定 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握是解题的关键． 二、填空题：每小题2分，共16分 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】x≠ 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得2x-3≠0， 解得x≠， 故答案为：x≠． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 10. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 11. 对分式，，进行通分时，最简公分母是_____ 【答案】8xy2 【解析】 【分析】由于几个分式的分母分别是2x、4y、8xy2，首先确定2、4、8的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母． 【详解】根据最简公分母的求法得： 分式，，的最简公分母是8xy2， 故答案为8xy2． 【点睛】此题主要考查了几个分式的最简公分母的确定，确定公分母的系数找最小公倍数，确定公分母的字母找最高指数． 12. 如图．和中．．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定方法填写即可． 【详解】解：∵，， ∴添加或，根据“”可以证明； 添加或，根据“”可以证明； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用证明， 根据全等三角形的性质得出，结合直角三角形的性质求出， 再根据，求解即可．熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 15. 已知，请你用含，的代数式表示，_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查“等式的性质”“因式分解”，熟练运用等式的性质进行变形是解题关键． 通过等式的性质，将已知等式转化为关于 的表达式即可． 【详解】由 ，根据等式的性质2，可得 ， 根据等式的性质1，将含x的项移到等式左边，得， 根据等式的性质2，可得 ， 故答案为：． 16. 如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为_____． 【答案】8或4 【解析】 【分析】分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 故答案为：8或4． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 三、计算题：本题共3小题，每题5分，共15分． 17. 化简：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 先化除为乘，然后再运用分式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 19. 化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可. 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式型. 四、解答题：本题共9小题，共53分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证：． 【答案】 证明：在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据“”可得，即得，由邻补角的定义得到，然后根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】略 21. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． 先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 22. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 【答案】 证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【解析】 【分析】利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】略 23. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 24. 在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形． 【答案】（1）6； （2）①如图，即为所求， ②如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）用割补法求解即可； （2）根据“SSS”画图即可； （3）根据“SSS”画图即可； 【详解】解：（1）5×3-×3×3-×2×2-×5×1=6， 故答案为：6； （2）略 【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键． 25. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）【问题发现】如图1．在和中．，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为，请证明这个结论； （2）【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ， 又， ； （2）的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明得到，再由三角形内角和定理可得； （2）先由等边三角形的性质得到，再证明，并求出；进一步证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和均为等边三角形， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 26. “菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰富的维生素C．某水果基地决定将一批橙子送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱橙子且甲种货车装运1000箱橙子所用车辆数与乙种货车装运800箱橙子所用车辆数相等．求甲、乙两种货车每辆车分别可装多少箱橙子？ 【答案】甲种货车每辆可装100箱橙子，乙种货车每辆可装80箱橙子． 【解析】 【分析】设乙种货车每辆车可装x箱口罩，则甲种货车每辆车可装箱口罩，根据甲种货车装运1000箱口罩所用车辆数与乙种货车装运800箱口罩所用车辆数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出乙种货车每辆车可装口罩数量，再将其代入中，即可求出甲种货车每辆车可装口罩数量． 【详解】解：设乙种货车每辆车可装x箱橙子，则甲种货车每辆可装箱橙子， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种货车每辆可装100箱橙子，乙种货车每辆可装80箱橙子． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 27. 观察下列等式：；；…… 根据以上规律，解决下列问题． （1）若为正整数，猜想_____； （2）计算：_____； （3）解关于的分式方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律类问题，发现数列规律是解题的关键． （1）根据已知的算式进行归纳即可解答； （2）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并即可解答； （3）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并，最后解方程即可． 【小问1详解】 解：； ； ； …… ． 故答案为：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 经检验，是原分式方程的解． 28. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围： （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，倍长中线法； （1）延长使得，连接，先证明得到，在中，根据三角形三边关系即可求解； （2）由（1）中即可求解； （3）延长使得，连接，同（1）可得，进而判断出，进而证明，即可求解． 【小问1详解】 解：延长使得，连接，如图2， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：； 由（1）得：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：； 延长使得，连接，如图， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五中学通州校区2025—2026学年 第一学期期中教学质量检测初二数学 考生须知： 1．本试卷共6页，共四道大题，28个小题，满分100分．考试时间为120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题：每小题2分，共16分，第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子的变形正确的是（） A. B. C. D. 3. 一等腰三角形两边长分别为、，则该等腰三角形的周长为（　　） A. B. 或 C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则的值为 D. 分式是最简分式 5. 如图BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，且BE交AC的延长线于点E．若∠A=30°，∠E=20°，则∠ACB的度数是（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 6. 如图，△ACE≌△DBF，若AD＝8，BC＝2，则AB的长度等于( )． A. 6 B. 4 C. 2 D. 3 7. 中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 8. 如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题：每小题2分，共16分 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 若分式的值为0，则x的值是______． 11. 对分式，，进行通分时，最简公分母是_____ 12. 如图．和中．．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____（写出一个即可）． 13. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则______． 14. 如图，，若，，则的度数为______． 15. 已知，请你用含，的代数式表示，_____． 16. 如图，，，，P、Q两点分别在线段和射线上运动，且．若与全等，则的长度为_____． 三、计算题：本题共3小题，每题5分，共15分． 17. 化简：． 18. 计算：． 19. 化简：． 四、解答题：本题共9小题，共53分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证：． 21. 解分式方程：． 22. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 23. 先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 24. 在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形． 25. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）【问题发现】如图1．在和中．，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为，请证明这个结论； （2）【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数． 26. “菊润初经雨，橙香独占秋”，橙子是一种甘甜爽口的水果，富含丰富的维生素C．某水果基地决定将一批橙子送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱橙子且甲种货车装运1000箱橙子所用车辆数与乙种货车装运800箱橙子所用车辆数相等．求甲、乙两种货车每辆车分别可装多少箱橙子？ 27. 观察下列等式：；；…… 根据以上规律，解决下列问题． （1）若为正整数，猜想_____； （2）计算：_____； （3）解关于的分式方程：． 28. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】 （1）直接写出图1中的取值范围： （2）猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $