河南省2025-2026学年高三上学期顶尖计划（二）数学（B）试卷

绝密★启用前 试卷类型：B 2025一2026学年（上）高三年级顶尖计划（二） 数学 r 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 p 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 郑 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 r 报 1.已知集合4={✉2eN}B=12,3,45,则4nB= 只 A.{2,4} B.{3,5} C.{1,3,5} D.{2,3,4} 2-的虚部为 2.复数z=3+i 救 A.-3 C.-2 D. 3.已知a,Be(0,π)，则“cosa=cosB”是“sina=sinB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 黛 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 已知椭圆C。女中 尔=1(a>b>0)的右焦点为F,若F到C的上顶点的距离是F到C的右 顶点距离的3倍，则C的离心率为 荞 A写 R C.2 D 34 5.已知{an}是递增的等差数列，a3=7,若a1,a4,a13成等比数列，则a5= A.10 B.11 C.12 D.13 数学(B卷)试题第1页（共4页） 6.已知0(2，且sm0=3,则sm9+cs号 A.6 B.23 C.-23 3 3 3 D.、6 7.已知函数fx)=2sinx+acos2x+）,若升-）=2，则f(x)在区间0，]上的值域为 a[-2 B0, c-引 Do,引 8.已知直四棱柱ABCD-AB,C,D1的棱长均为2，∠ABC=120°，设棱AD1,BC的中点分别为 M,N,若菱形ABCD内（含边界）的动点P满足PM·PV=0,则点P的运动轨迹的长度为 B.√3 c D.W3+1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.在如图所示的正方体中，已知A,B,C,D,E,F分别是所在棱的中点，则 子 E A.AB∥平面CDF B.BC∥平面AEF C.BC⊥DF D.AD⊥BE 10.已知函数x)的定义域为(-1,1)，满足)+f)=车)-1，当e(0,1)时， f)>-1,且f分)=0，则 A.f0)=1 Bf)=1 C.f(x)+1是奇函数 D.f(x)是增函数 11.在正项数列{an}中，已知a1=1,an+1=ln(an+1),则 A.an+1<an B.an -an+1>anan+1 C.a1+a2+a3+…+an<2 D.a+a+a+…+a2<4 数学(B卷)试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,3),b=(0,1),若(a+b)1(a-b),则入= 13已知双面线E:聋-古-1的左，右焦点分别为R,P是E上的动点，则P,十P IPFI·IPF2I 的最小值为 14.若函数f(x)=a-bx(a>0且a≠1，b≠0)没有零点，则ab的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 设等差数列{an}满足a1=1,a+1=a+8n. (1)求{an}的通项公式； (2)设6，=会，求数列6，的前n项和T. 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA-cosA=a-b (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)若abc=32,求acos A的最大值. 17.（15分) 已知函数f(x)=(x-1)(e-ax-a),a∈R. (1)若f(x)在x=1处取得极值，求a; (2)若当x≥0时，f(x)≥-a,求a的取值范围. 数学(B卷)试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AA1=A1C=BB1=B,C=2,CC1=1. (1)若AC⊥BC,求三棱台ABC-AB,C1的体积. (2)若直线A,C与平面ABB,4所成角的正弦值为， (i)求cos∠ACB. (ⅱ)三棱台ABC-A,BC1的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个 包含最多顶点的球面，计算该球的表面积S, (注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分). 19.(17分) 在平面直角坐标系x0y中，直线l过点P(4,0)且与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两 点，OA⊥OB. (1)求C的方程. (2)如图，分别以AP,BP为直径作圆C1,C2: (i)求圆C1,C2的面积之和的最小值； (ⅱ)当1变化时，求圆C1,C2的公切线的所有交点的运动轨迹的方程. 数学(B卷)试题第4页（共4页） 2025一2026学年（上）高三年级顶尖计划（二） 数学(B卷)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查集合的表示与运算 解析A表示大于1的奇数组成的集合，故A∩B={3,5}. 2.答案C 命题透析本题考查复数的四则运算 解折由题意可得：号：8昌-若分言放其建部为-分 3.答案A 命题透析本题考查充分条件与必要条件的判断： 解析y=cosx在(0，T)上单调递减，所以cosa=cosB台a=B→sina=sinB,故充分性成立，反过来则不一定， 如sin号=sin,但cos号≠cas,即必要性不成立 4.答案C 命题透析本题考查椭圆的几何性质。 解析由题意可得a=3(a-0),整理得2a=3c,故C的离心率为子 5.答案B 命题透析本题考查等差数列与等比数列的性质， 解析设{a.}的公差为d,则d>0.因为a1,a4,a3成等比数列，所以a=a1a3,即(7+d)2=(7-2d)(7+ 10d),化简得d-2d=0,解得d=2或d=0(舍去)，所以a5=7+2d=7+2×2=11. 6.答案B 命题透析本题考查二倍角公式的应用 解析当0e(受)时，号e(保)(s如号+os)=im号+s2号+2s如号s号=1+血0= 4 39 所以n号+ 号-29（负值含去）。 7.答案D 命题透析本题考查三角恒等变换与三角函数的性质， 解析由-）=2(-哥）+ao(-）=2×(-}+号=2，解得a=1,所以)=2sinx+ 一1 m(2:+号）其中2i=1-w2,om(2x+号）2s2-n2x,所以)=1-2m2x- 2 sin 2x= 1-sim(2x+）,当xe[o,]时，2x+g∈[石，7石]，所以sin(2x+)e[-2,小，故f(x)在 [0,]上的值域为[0，] 8.答案A 命题透析本题考查棱柱与球的结构特征及相关计算. 解析由PM·P=0,知点P在以MN为直径的球面与底面ABCD的交线上.以B为坐标原点，垂直于向 量BC的方向，向量BC,BB的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则N(0,1,0),M(√3,0,2)，故球 的直径MN的长为22，球心为MN的中点（汽，7，小 因为球心到底面ABCD的距离为1，所以底面ABCD截 球所得裁面圆的半径为√2)P-下=1，圆心为5，}，0)，则点P在以D为直径的圆与菱形A8CD的交线 上，如图，由平面几何知识得，交线长为圆周长的了，故点P的运动轨迹的长度为罗 B 0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查空间平行、垂直关系的判断. 解析对于A,由AB∥CF,AB丈平面CDF,可知AB∥平面CDF,故A正确； 对于B,由BC∥EF,AB∥CF,可知A,B,C,E,F五点共面，BCC平面AEF,故B错误； 对于C,易知DF⊥平面BCD,所以BC⊥DF,故C正确； 对于D,如图，BE∥B'E',而AD⊥B'E,所以AD⊥BE,故D正确. B 10.答案BCD 命题透析本题考查抽象函数的性质. —2 解析对于A,令x=y=0,得2f(0)=f八0)-1，所以f(0)=-1,故A错误； 对于B,令x=y=7,得(2）+2）=号)-1=0，所以号)=1，放B正确： 对于C,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)-1=-2,即f(x)+1+f(-x)+1=0,所以f(x)+1是奇函数，故C 正确； 对于D,设-1<<<1，则)-)=)+-)+2=（作1，因为-1<离<1，所以 0<-名<2，-1<西<1，且1-为-（场-名）=(1+名)1-)>0，从而0<-<1，所四 作)+1>0，即)->0，所以)是增函数，故D正确 11.答案AD 命题透析本题考查递推数列，数列与函数、导数的综合 解析对于A,aa+1-an=ln(an+1)-an,易知当x>0时，n(x+1)<x,所以a+1-an<0,故A正确； 对于B,假设a.->aa则a<。即a(a,+1)<1子。构造函数)=h(+1)-则当 >0时f()=>0)>0)-0,即ha(+1>1所以h(a+)>12故B错误： 对于C,在(x+)>x4中，用替换，得n(生+小>+所以=h(1+1)>24>n(分+> 11 11+1=25> 号，a>(小7，所以a++a+…+a>1+子+3+…+，而1+2+号+子-8 2,故C错误； 对于D,由对A的分析知，当n≥2时，0<a,<1,构造函数g)=l(x+1)-x+千，则当0<≤1时，g()= 蓝克≤0（仅当x=1时取等号），g()<g0)=0,所以当0<≤1时，n(x+1)<x-若，所以a1<a,-子， 2x+21 整理可得a2<4(a.-a+1),所以a+a+a+…+a<4(1-a2）+4(a2-a3)+4(a-a4)+…+4(an- an+1)=4-4am+1<4,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案4 命题透析本题考查平面向量的坐标运算， 解析由题意可得a+b=(2,4),a-λb=(2,3-入)，由(a+b)⊥(a-b),得2×2+4×(3-入)=0，解得入=4. 13.答案多 命题透析本题考查双曲线的方程与几何性质. 解析设P(x,y),则y2=3x2-12,所以IPF1I=(x+4)2+y2=√4x2+8x+4=21x+11,同理得1PF2|= —3 21x-11,由题意知x≥2或x≤-2，所以x+1和x-1总是同号的，所以1PF11·1PF2|=41x2-1|=4(x2-1), m+1P1-21+1+1-1=41,故：得=11-高≥2-号-号当点P的坐标为 （±2,0)时等号成立 14.答案(-1,0)U(0,+0) 命题透析本题考查导数与函数的性质的综合应用， 解析易得矿()=aha-k若品。<0，此时f()=0无解)在R上单调，由于f0)=1>0(分）=t- 1<0,所以由零点存在定理可知)必有零点，不符合题意若。>0，此时令f(x)=0,解得a=。即 =g品。则人)在(-%)上单调递减，在(%，+)上单调递蜡，所以)=)=a-,品。 b -总-山》方a80设品风-h0.双0描领 b 有1-lau0,即u<e,则0<。<e当a>1时，得0<b<eha,所以0<ab<a(ena）)=ca,易知ga）= e0lha在a>1时单调递增，又(1)=0，所以此时ab的取值范围是(0，+o);当0<a<1时，由0<。<e可 得eha<b<0,所以ealn a<b<0,易知g(a)=ea在0<a<。时单调递减，在。<a<1时单调递增，且 当0<a<1时8(a)<0,又g(日) =-1,所以此时ab的取值范围是(-1,0).综上，ab的取值范围是(-1,0)U (0,+o). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.命题透析本题考查等差数列的性质以及错位相减法的应用. 解析（1)设{an}的公差为d. 由题意得a21-a=(a+1+an)(an+l-aa)=8n, 即[1+nd+1+（n-1)d]d=8n,… (2分) r2d=8, 整理得2dn+2d-d2=8n,所以 解得d=2. (4分) 2d-d=0, 所以an=1+2(n-1)=2n-1. …(6分) (2)由题意知6，受=2 2 (7分) 1.3.5. T=,+22+2京+…+20，@ T.1,3,5 22克+2方+2+…±，回 一4 2+1 所以Tn=3-2n+3 2 (13分) 16.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理、三角恒等变换的综合应用. 解析(1)sinA-cosA=a-b c 由正弦定理得sin Asin C-cos Asin C=sinA-sinB=sinA-sin(A+C)=sinA-sin Acos C-cos Asin C, 所以sin Asin C=sinA-sin Acos C.…(4分) 由于sinA≠0，所以sinC+cosC=l.… …(5分) 两边平方得sin Ccos C=0,又sinC≠0，所以cosC=0, 以C=),即△ABC是直角三角形， (8分) (2)在△HBC中，c0sA=名，放acsA=白=马 c-d (10分) 由基本不等式知6b≤少-，故2=k≤号，即6空4. 2 (13分) 于是a0sA=3兰≤32=2，当且仅当a=b=22,c=4时等号成立， c2≤16 故aC0sA的最大值为2.…（15分)》 17.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质。 解析(1)由题意得f'(x)=e-ax-a+(x-1)(e-a)=x(e*-2a).…(3分) 因为x)在x=1处取得极值，所以f(1)=e-2a=0,解得a=分，…(5分) 经验证，当a=气时，(x)在x=1处取得极小值，符合题意，故a=号 e …(6分) (2)f'(x)=x(e-2a), 若a≤2，则当x≥0时，e-2a≥0，即f(x)≥0恒成立， 所以f八x)在[0，+o)上单调递增，f八x)min=f八0)=a-1,… (8分) 由a-1≥-a,得a≥号，放a=2 1 (10分) 若a>2,令f()=0,得x=-0或x=lh(2a)>0, 当xe(0,ln(2a)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(ln(2a),+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)mm=fln(2a)=-a[ln(2a)-1]2,… (13分) e2 由-a[n(2a)-12≥-a,得2<a≤号 (14分) 综上，a的取值范图是[分，引 0…400…04……0” (15分) —5 18.命题透析本题考查棱台与球的结构特征及相关计算，空间向量的应用. 解析(1)因为CC1⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以CC1⊥AC, 又AC∥A1C1,所以CC1⊥A1C1,A1C1=√22-1=5，AC=2A1C1=25. 同理，B1C1=√5，BC=2√5 又AC⊥BC,所以△ABC与△A,B,C1都是等腰直角三角形， 故三棱台4C-ABG,的体积为V=号×1×[分×(5)2+子×(25)2+子×5x2]-7…(4分) (2)设AB的中点为0，连接0C.由(1)可知AC=BC=2√5，所以0C1AB,故以0为坐标原点，0店，0心的方向 分别为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， (i)设0A=0B=2a(a>0),0C=2b(b>0),由0A2+0C2=AC2,得a2+b2=3. 所以A(-2a,0,0),B(2a,0,0),C(0,2b,0),A1（-a,b,1), 所以AA=(a,b,1),AB=(4a,0,0),A1C=(a,b,-1).…(6分) 设平面ABB,A1的法向量为n=（x,y,z), rn·AB=4ax=0, 则 取n=(0,1,-b).… (8分) n·AA=ax+by+z=0, 设直线A,C与平面ABB,A1所成的角为0， 则sin0= IAc.nl 2b 6 IA,d·1nl√a+b+1x√1+B3’ 所以-号条得6=2，所以a=1,A84如4 (10分) 故cos∠ACB=4C+BC-AB_12+12-16,1 (12分) 2AC x BC 2×12 2。*404。…·。…*……**04*444。（ (ⅱ)因为侧面ACC,A1和侧面BCC,B,都是直角梯形，不存在外接圆，所以其顶点不可能在同一个球面上，又 侧面ABBA1是等腰梯形，存在外接圆，所以其4个顶点可以在同一个球面上，再加上点C或C1,可知同在一 个球面上的点最多有5个.…（14分) 利用平面几何知识计算可知等腰梯形ABB1A1的外接圆圆心即点0，外接圆半径为2.…(15分) 设所求的球面球心为O1,半径为R,则001∥n,设001=n=(0,入，-√2入)（入∈R),即01(0，A,-√2入）. 一6 ①若选A,B,B1,A1,C所在的球面： 因为C(0,2√2,0)，所以R2=00+22=01C2,即2+2x2+4=(2√2-A)2+22, 解得入=号，此时S=4mR=22m✉ (17分) ②若选A,B,B1,A1,C1所在的球面： 因为C(0,22,1),所以R=00+2=0,CG,即2+2x2+4=(22-)2+(1+2)2,解得A=52 4 此时S=4m2-107（07分） 2 注：只有①②两种情形符合要求，其余情形不给分；若计算多个球面，按第一个结果给分；若判断最多顶点个数 错误，但计算结果正确，计算部分也正常给分。 19.命题透析本题考查抛物线与直线的位置关系，圆与直线的位置关系. 解析（1)由题意知，1与x轴不重合，设1：x=my+4, 「x=my+4, 由 得y2-2py-8p=0, Ly=2px, 设A(x1,y1),B(x2,y2）,则y1+y2=2pm,y1y2=-8p, (2分) 因为OA⊥OB,所以OA·0B=0, 22 即x1x2+y1y2= 4p2+1%=16-8p=0, (4分) 所以p=2,即C的方程为y2=4x. …(5分) (2)(i)由题意知圆C1,C,的面积之和S=平(AP+BP12),…(6分) 1AP12+1BP12=(x1-4)2++(x2-4)2+y=(my1+4-4)2+y+(m2+4-4)2+分=(m2+1)(y+2). 7+y2=(y1+y2)2-2y2=(4m)2-2×(-16)=16m2+32, 令n=m2,则n≥0，则S=4r(m2+1)(m2+2)=4m(n+1)(n+2)=4π(n2+3n+2),…(8分) 这是个图象开口向上的二次函数，在n≥0时单调递增， 所以Smm=4m(0+1)(0+2)=8π.… …(9分) (ⅱ)由题意知圆C,C2外切，有一条内公切线4，和两条外公切线2,3 当m=0时，l:x=4,此时圆C1,C2的圆心横坐标均为4，半径均为2，三条公切线分别为1：y=0,l2:x=2, l3:x=6,公切线的交点有两个：(2,0)，(6,0).…(10分) 当m0时，内公切线为过点P且与AB垂直的直线，即1，：x=- m+4. 设2，交于点Q,由对称性可知点Q在直线AB上， 1+4 圆C,G的半径之比为2=-么=10C2-.名+4-22 97为10C,12+4 x2+4-2x0 —7 分话4所以424 又当=名-4 x2+4-2x0x2-4 记4-2x0=t,上式化简得2x,x2+(t-4)(x1+x2)-8t=0, 又6-g=16,+=m(+为)+8=4m2+8, 16 代人，整理得4m2(t-4)=0,因为m是任意的，所以t=4,即x。=0, 故点Q在直线x=0上运动，又点Q不可能为原点，所以点Q的轨迹方程为x=0(y≠0).…(13分) 如图，设l1与L2的交点为M,l1与l3的交点为N,1与y轴交于点R,下面探究点M和N的轨迹， 易知MC1⊥MC2, 故Mp2=PG,1PC,I=APIB1=4+m1,·+m方=4(1+m2). 由4x=+4可得R0,4m,所以IPRP=0PP+ORP6(1+m 所以1MP=之PR1,即M为PR的中点，所以点M的轨迹方程为x=2.… (16分) 由对称性可得INP=MP=2PR1,所以点V的轨迹方程为x=6. 综上，圆C1,C2的公切线的所有交点的运动轨迹是3条直线，方程分别为x=0(y≠0)，x=2,x=6. …(17分)》 一8