河南省2025-2026学年高三上学期顶尖计划（二）数学（A）试卷

绝密★启用前 试卷类型：A 2025一2026学年（上）高三年级顶尖计划（二） 数 学 r 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 p 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 郑 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 r 是符合题目要求的. 报 6 1.已知集合A=2eN}B=1,234,5,则AnB= A.{2,4} B.{3,5} C.{1,3,5} D.{2,3,4} 2.复数z= -的虚部为 3+i 救 搬 B c- 1 D 2 黛 3.已知a,B∈(0，T),则“cosa=cosB”是“sina=sinB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 荞 4.已知函数f(x)=ke*-1+x+1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=3x+a,则a= A.-2 B.-1 C.1 D.2 5.已知{an}是递增的等差数列，a3=7,若a1,a4,a13成等比数列，则a5= A.10 B.11 C.12 D.13 数学(A卷)试题第1页（共4页） 6.已知0(2，且sm0=3,则sm9+cs号 A.6 B.23 C.-23 3 3 3 D.、6 7.已知函数fx)=2sinx+acos2x+）,若升-）=2，则f(x)在区间0，]上的值域为 a[-2 B0, c-引 Do,引 8.已知直四棱柱ABCD-AB,C,D1的棱长均为2，∠ABC=120°，设棱AD1,BC的中点分别为 M,N,若菱形ABCD内（含边界）的动点P满足PM·PV=0,则点P的运动轨迹的长度为 B.√3 c D.W3+1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.在如图所示的正方体中，已知A,B,C,D,E,F分别是所在棱的中点，则 子 E A.AB∥平面CDF B.BC∥平面AEF C.BC⊥DF D.AD⊥BE 10.已知函数x)的定义域为(-1,1)，满足)+f)=车)-1，当e(0,1)时， f)>-1,且f分)=0，则 A.f0)=1 Bf)=1 C.f(x)+1是奇函数 D.f(x)是增函数 11.在正项数列{an}中，已知a1=1,an+1=ln(an+1),则 A.an+1<an B.an -an+1>anan+1 C.a1+a2+a3+…+an<2 D.a+a+a+…+a2<4 数学(A卷)试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(2,3),b=(0,1),若(a+b)⊥(a-b),则入= 13.已知圆锥与圆柱的母线长相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆锥的母线与 底面所成角的正弦值为 14.若函数f(x)=a*-bx(a>0且a≠1，b≠0)没有零点，则ab的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 设等差数列{an}满足a1=1,an+1=a,+8n. (1)求{an}的通项公式； (2)设6.=2，求数列6，}的前n项和7 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA-cosA=a-b (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)若abc=32,求acos A的最大值. 17.(15分) 已知函数f(x)=(x-1)(e-ax-a),a∈R (1)若f(x)在x=1处取得极值，求a; (2)若当x≥0时，f(x)≥-a,求a的取值范围. 数学(A卷)试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AA1=A1C=BB1=B,C=2,CC1=1. (1)若AC⊥BC,求三棱台ABC-AB,C1的体积. (2)若直线4，C与平面4BB,A所成角的正弦值为，了 (i)求cos∠ACB. (ⅱ)三棱台ABC-A,B,C,的顶点中，同在一个球面上的点最多有几个？请任选一个 包含最多顶点的球面，计算该球的表面积S. (注：若选择多个球面分别计算，按第一个结果给分). 19.(17分) 已知函数f(x)=2(a+1)n(x+1)+22-(a+2)x,aeR (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a>0,且f(a)<f1)f'(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2,证明：x好-x1>2alna; (3)若a>0,当-1<≤0时，asn-)+n(x+1)+字-生子≥0恒成立，求a 的取值范围. 数学(A卷)试题第4页（共4页） 2025一2026学年（上）高三年级顶尖计划（二） 数学(A卷)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.答案B 命题透析本题考查集合的表示与运算， 解析A表示大于1的奇数组成的集合，故A∩B={3,5}. 2.答案C 命题透析本题考查复数的四则运算 解折由题套可得：侣：3侣二}-5的-}-号放其度福为-子 3.答案A 命题透析本题考查充分条件与必要条件的判断： 解析y=cosx在(0，π)上单调递减，所以cosa=cosB→a=B台sina=sinB,故充分性成立，反过来则不一定， 如sin号=sin,但cas子≠eas号，即必要性不成立 4.答案C 命题透析本题考查导数的几何意义. 解析由题知f'(x)=e-1+1,∴.f'(1)=ke-1+1=3,解得k=2,则f(x)=2e-1+x+1,.f(1)=4,代入切 线方程得4=3×1+a,∴.a=1. 5.答案B 命题透析本题考查等差数列与等比数列的性质， 解析设an}的公差为d,则d>0.因为a1,a4,as成等比数列，所以a匠=a,as,即(7+d)2=(7-2d)(7+ 10d),化简得-2d=0,解得d=2或d=0(舍去)，所以as=7+2d=7+2×2=11. 6.答案B 命题透析本题考查二倍角公式的应用. 解折当0e(受时，号e(俘)(s如号+os=m号+s号+2如2s号-1+血0=手， 所以如号+号-2（负值合去）， 2 3 7.答案D 命题透析本题考查三角恒等变换与三角函数的性质 一1 解析由(-号）=2sim(-号）+a0(-哥）=2×(-}+号=2，解得a=1,所以)=2sinx+ o(2x+号）)其中2ix-1-m2x,om2z+7）-7s2x-停m2,所以)=1-之ms2x-9n2a 1-sim(2x+),当xe[0,引时，2x+君e[吾，，所以sm(2x+君）e[-2小，放f()在 [0,]上的值域为[0，引 8.答案A 命题透析本题考查棱柱与球的结构特征及相关计算 解析由P.P=0,知点P在以MW为直径的球面与底面ABCD的交线上.以B为坐标原点，垂直于向 量BC的方向，向量BC,BB的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则N(0,1,0),M(5,0,2),故球 的直径MW的长为2，万，球心为N的中点（停，，小 因为球心到底面ABCD的距离为1，所以底面ABCD截 球所得我面圆的半径为√2P-下=1，圆心为（停，子，0），则点P在以BD为直径的圆与菱形ABCD的交线 上，如图，由平面几何知识得，交线长为圆周长的}，故点P的运动轨迹的长度为受 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查空间平行、垂直关系的判断. 解析对于A,由AB∥CF,AB￠平面CDF,可知AB∥平面CDF,故A正确； 对于B,由BC∥EF,AB∥CF,可知A,B,C,E,F五点共面，BCC平面AEF,故B错误； 对于C,易知DF⊥平面BCD,所以BC⊥DF,故C正确； 对于D,如图，BE∥B'E',而AD⊥B'E,所以AD⊥BE,故D正确. B 10.答案BCD 命题透析本题考查抽象函数的性质。 解析对于A,令x=y=0,得2f(0)=f(0)-1,所以f(0)=-1,故A错误； 对于B,令x=y=3,得2)+2)=号)1=0，所以)=1，故B正确： 对于C,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f0)-1=-2,即f代x)+1+f-x)+1=0,所以fx)+1是奇函数，故C 正确； 对于D,设-1<名<名<1，则）-)=)+-)+2=（作+1，因为-1无1，所以 0<名-出<2，-1<南<L,且1-名-(-)=(1+)(1-名)>0，从而0<-*头<1，所以 (作+1>0，即)-)>0，所以)是猫西数，故D正确 11.答案AD 命题透析本题考查递推数列，数列与函数、导数的综合 解析对于A,a。1-an=ln(an+1)-a,易知当x>0时，ln(x+1)<x,所以a+1-an<0,故A正确； 对于B,假设a-a>aa则a<1a即n(a.+)<1a构意函数)=n(x+1)-g则当 >0时()=z>0)>0)=0,即h(红+1)>千所以h(a,+1)>1中2故B错误： 对于C,在a(x+1)>年中，用替换，得n(+小+所以=ln(1+)>2,4>n(分+1小> 号，a>h(1+小>所以++西+…+a>1+++…+片，1++号+好> 2,故C错误； 对于D,由对A的分析知，当n≥2时，0<a,<1,构造函数g()=la(x+)-+苦，则当0<x≤1时，g'() 省x=1时取等号)，g(x)<g(0)=0,所以当0<x≤1时，n(x+1)<x-4 整理可得a2<4(an-an+1),所以a+a+a+…+a2<4(1-a2)+4(a2-a3）+4(a3-a4）+…+4(a.- an+1)=4-4an+1<4,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案4 命题透析本题考查平面向量的坐标运算. 解析由题意可得a+b=(2,4),a-入b=(2,3-入)，由(a+b)⊥(a-Ab),得2×2+4×(3-入)=0，解得入=4. 3 13.答案子 命题透析本题考查圆锥与圆柱的结构特征及相关计算， 解析设圆锥的母线长为l,高为，则圆柱的母线长和高均为1，设圆锥与圆柱的底面半径分别为r和R,则它 们的体积比为 号斋侧面限之北为品京出酒惠知时合京化简得子-子即圆维的 母线与底面所成角的正弦值为？ 14.答案(-1,0)U(0,+∞) 命题透析本题考查导数与函数的性质的综合应用， 解析易得了()=0ha-6若。<0，此时f()=0无解x)在R上单调，由于0)=1>0（分）=a 1<0,所以由零点存在定理可知)必有零点，不符合题意若品。>0，此时令∫()=0，解得a”品。 ，即 ,=1g品。则)在(-)上单调递减，在(，+0)上单调递增，所以)咖=x,)=-饭=品。 二产起有a有零a0品周1b汉0旅氨 b 有1-lnu>0,即u<e,则0<na<e,当a>1时，得0<b<elna,所以0<ab<a(elna)=ean,易知g(o三 单调递增，又g()=0,所以此时b的取值范围是(0，+∞)：当0<a<1 得elha<b<0,所以ealn a<ab<0,易知(a)=在0<a<。时单调递减，在。<a<1时单调递增，且 当0<a<1时g(a)<0,又合)=-1，所以此时ab的取值范围是(-1,0).综上，b的取值范围是(-1,0)U (0,+) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查等差数列的性质以及错位相减法的应用. 解析(1)设{an}的公差为d. 由题意得a1-a=(a+1+an)(a+1-an)=8n, 即[1+nd+1+(n-1)d]d=8n,…(2分) r2=8, 整理得2dn+2d-d=8n,所以 解得d=2. …(4分） 2d-d2=0, 所以an=1+2(n-1)=2n-1. (6分) 4 (2)h题意知6受-2 2 …(7分) +2++…+22@ 1.35， T=- =+3++… 222+ 士+， 1 2n-1-32n+3 2-1- +) 2n1=2 2n+1, 所以T.=3-2n+3 2· (13分) 16.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理、三角恒等变换的综合应用. 解析(1)sinA-cosA=a-b 由正弦定理得sin Asin C-cos Asin C=sinA-sinB=sinA-sin(A+C)=sinA-sin Acos C-cos Asin C, 所以sin Asin C=sinA-sin Acos C.…(4分) 由于sinA≠0，所以sinC+cosC=1.…(5分) 两边平方得sin Ccos C=0,又sinC≠0，所以cosC=0, 所以C=7,即△ABC是直角三角形.…(8分) (2)在B△ABC中，osA=名，放acsA=b=32 2 (10分) cc 由基本不等式知h≤“+-c2 2=2故32=abc≤)，即c≥4.… (13分) 于是a4:3≤器=2，当且仅当a=6=22,4时等号宽立， 故aC0A的最大值为2.…(15分) 17.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)由题意得'(x)=e-ax-a+（x-1)(e-a)=x(e-2a).…(3分) 因为)在x=1处取得极值，所以f(1)=e-2a=0,解得a=分， …(5分)》 经验证，当a=时)在x=1处取得极小值，符合题意，故a=气 (6分) (2)f'(x)=x(e-2a), 若a≤7，则当x≥0时，。-2a≥0，即f(x)≥0恒成立， 所以f(x)在[0，+∞)上单调递增f代x)min=f(0)=a-1,…(8分) 由a-1≥-a,得a≥7，故a=分 (10分) 若a>2,令f()=0,得x=0或x=ln(2a)>0, 当xe(0,ln(2a))时f'(x)<0,f(x)单调递减， 5 当xe(ln(2a),+o)时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x）mm=f1n(2a)）=-a[ln(2a)-1]2,… (13分) 由-ah(2a)-12≥-a,得分<a≤ …004044。t04000+0004400 (14分) 综上4的取值范围是[}，引 (15分) 18.命题透析本题考查棱台与球的结构特征及相关计算，空间向量的应用. 解析(1)因为CC1⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以CC1⊥AC, 又AC∥A1C1,所以CC1⊥A,C1,A1C1=V√22-1=√3，AC=2A,C,=25. 同理，BC1=√3，BC=23. 又AC⊥BC,所以△ABC与△A,B,C1都是等腰直角三角形， 故三棱台AC-ABG,的体积为V=号×1×[分×(5)2+7×(25)2+7×5x25]=子4分) (2)设AB的中点为0，连接0C.由(1)可知AC=BC=2√3，所以0C1AB,故以0为坐标原点，0成，0C的方向 分别为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， (i)设0A=0B=2a(a>0),0C=2b(b>0),由0A2+0C2=AC2,得a2+b2=3. 所以A(-2a,0,0),B(2a,0,0),C(0,2b,0),A1(-a,b,1), 所以AA=(a,b,1),43=(4a,0,0),A1元=(a,b,-1).…(6分) 设平面ABBA1的法向量为n=(x,y,z), rn·AB=4ax=0, 则 取n=(0,1,-b).…(8分） n·AM=ax+by+z=0, 设直线A1C与平面ABB1A1所成的角为0， 则sin6= IA1t·nl 2b 6 ,.ln√a+B+1xV1+6 3 所以号解得6=，所以a=1,4B=4a=4 (10分) 故cos∠ACB=4C+BC2-AB=12+12-16-1 (12分) 2ACx BC 2×12 3 (ⅱ)因为侧面ACC1A1和侧面BCC,B,都是直角梯形，不存在外接圆，所以其顶点不可能在同一个球面上，又 —6 侧面ABB,A1是等腰梯形，存在外接圆，所以其4个顶点可以在同一个球面上，再加上点C或C1,可知同在一 个球面上的点最多有5个.…(14分) 利用平面几何知识计算可知等腰梯形ABB1A1的外接圆圆心即点0，外接圆半径为2.…(15分) 设所求的球面球心为01，半径为R,则00∥n,设00=An=(0,A,-√2入)（入∈R),即01(0，A,-√2入）. ①若选A,B,B1,A1,C所在的球面： 因为C(0,2√2,0)，所以R2=002+22=0C2,即λ2+2λ2+4=(2√2-A)2+2A2, 解得A=2,此时S=4mR2=2m…… (17分) ②若选A,B,B1,A1,C1所在的球面： 因为C(0,22,1),所以R=00+22=0,C,即2+22+4=(22-)2+(1+2)2，解得A=52 4， 此时S=4mR2=107 21 …（17分）》 注：只有①②两种情形符合要求，其余情形不给分；若计算多个球面，按第一个结果给分；若判断最多顶点个数 错误，但计算结果正确，计算部分也正常给分 19.命题透析本题考查函数与导数的应用. 解析（1)f(x)的定义域为(-1，+∞)， f)0+x-a-2-（++a.-- …(1分) x+1 x+1 若a≤-1，当-1<x<1时，f'(x)<0,当x>1时f'(x)>0, ∴.f(x)在区间(-1,1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增； (2分) 若-1<a<1,当-1<x<a或x>1时，f'(x)>0,当a<x<1时∫'(x)<0, ∴f(x)在区间(-1,0)，(1，+∞)上单调递增，在区间(a,1)上单调递减；…(3分) 若a=1,则f"(x)≥0，∴fx)在区间(-1，+∞)上单调递增；…(4分) 若a>1,当-1<x<1或x>a时f'(x)>0,当1<x<a时，f'(x)<0, f代x)在区间(-1,1)，(a,+∞)上单调递增，在区间(1，a)上单调递减.…(5分) (2)由(1)知，当0<a<1时fa)>f1),当a=1时，f(a)=f(1),当a>1时，fa)<f1),∴.a>1. …(6分) 令f(x)=x--0=0,得x=1,=a, x+1 x-x1=a2-1. (7分) 要证x号-x1>2alna,即证a2-2alna-1>0. 设g(a）=a2-2alna-1,a>1,则g'(a)=2(a-lna-1),…(8分） 设s(a)=a-lha-1,a>1,则s'(a)=a1>0, a 一7 ∴.s(a)在区间(1，+∞)上单调递增， .s(a)>1-ln1-1=0,则g'(a)>0, ∴.g(a)在区间(1，+o)上单调递增， ∴g(a)>12-2ln1-1=0,原不等式得证. (10分) （3)设m()=an-式)+h(+1)+2-2生是(-1<e0, 则m(x)=asinx-n(x+1)(-1<x≤0)， ..m'(x)=acos x-1 f-1<x≤0）…（12分 令ae)=am中-1<a<0). 1 则h'(x)=-asin x+(x+1户>0， .h(x)即m'(x)在区间(-1,0)上单调递增，且m'(0)=a-1.…(13分) 若0<a≤1，则m'(x)≤m'(0)=a-1≤0， ∴.m(x)在区间(-1,0]上单调递减，则m(x)≥m(0)=0,符合题意； (14分) 若a>1,则m㎡(0)=a-1>0,-1<石-1<0，m'(日-l=a(日-小-a<a-a=0, “存在∈（合-1,0，使得m'()=0, 即当-1<x<xo时，m'(x)<0,当x0<x<0时，m'(x)>0, ∴.m(x)在区间(-1，x)上单调递减，在区间(xo,0)上单调递增， .当xo<x<0时，m(x)<m(0)=0,不符合题意. (16分) ∴.a的取值范围为(0,1]. (17分) 一8