精品解析：四川省泸州市古蔺县丹桂初级中学校2025-2026学年上学期期九年级数学期中考试题

丹桂中学校2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题 1. 常见的五角星绕中心旋转一个最小的角度α后，即可与自身重合，则α等于（ 　） A. 90° B. 72° C. 60° D. 180° 2. 一元二次方程配方后得到的方程（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是【 】 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 菱形 5. 如图①所示，小明将四张牌放在桌上，然后蒙上眼睛，请一位同学上前，将某一张牌旋转180°，小明解开蒙具，看到四张牌如图②所示，他很快就确定被旋转的牌是（ ） A. 方块4 B. 黑桃5 C. 梅花6 D. 红桃7 6. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为1 10. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（ ） A. 样本容量是 B. 样本中C等级所占百分比是 C. D等级所在扇形的圆心角为 D. 估计全校学生A等级大约有人 11. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 3 12. 按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1x2=_________． 14. 如图，是的直径，是上一点，，则的度数为___________． 15. 分解因式：3a2﹣12=___． 16. 如图是一个圆锥形冰淇淋外壳不计厚度，已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______（结果保留）． 三、解答题 17. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出图中点A和点C的坐标； （2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△DEF 18. 如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且AE=EC，求证：AD=BC． 19. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知抛物线，经过点和点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 21. “双减”政策颁布后，学校开展了延时服务，并增加体育锻炼时间．某体育用品商店抓住商机，购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其进价和售价如表所示． 进价 售价 乒乓球拍（元套） 羽毛球拍（元套） 某班甲体育小组购买套乒乓球拍和套羽毛球拍共花费元，乙体育小组购买套乒乓球拍和套羽毛球拍共花费元． （1）求出，的值； （2）根据销售情况，商店决定再次购进套球拍，且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，若这批球拍的进价和售价均不变，且能够全部售完，如何购货才能获利最大？ 22. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围． 23. 已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹桂中学校2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题 1. 常见的五角星绕中心旋转一个最小的角度α后，即可与自身重合，则α等于（ 　） A. 90° B. 72° C. 60° D. 180° 【答案】B 【解析】 【分析】该五角星被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，从而得出最小旋转角． 【详解】解：该五角星被平分成五部分，最小旋转角为＝72°． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 2. 一元二次方程配方后得到的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先移项变形成x2+8x=9的形式，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】 解：∵x2+8x-9=0， ∴x2+8x=9， ∴x2+8x+16=9+16， ∴（x+4）2=25． 故选A． 3. 一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是【 】 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵a=1，b=1，c=﹣2， ∴b2﹣4ac=1+8=9＞0． ∴方程有两个不相等的实数根．故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5. 如图①所示，小明将四张牌放在桌上，然后蒙上眼睛，请一位同学上前，将某一张牌旋转180°，小明解开蒙具，看到四张牌如图②所示，他很快就确定被旋转的牌是（ ） A. 方块4 B. 黑桃5 C. 梅花6 D. 红桃7 【答案】A 【解析】 【分析】根据图①与图②一模一样，可知旋转的牌是一个中心对称图形，由此进行求解即可 【详解】解：∵图①与图②一模一样， ∴可知旋转的牌是一个中心对称图形， 在这四张牌中，只有方片4是中心对称图形， 故选A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够判断出旋转的牌是中心对称图形． 6. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断． 【详解】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确． 故选：B． 7. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念和轴对称图形的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念与轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 8. 一个多边形的内角和是其外角和的6倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】已知多边形的外角和为，结合题意，利用多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 则， 解得：， 即这个多边形的边数是14． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和，利用方程思想将外角和与内角和建立等量关系是解题的关键． 9. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练记忆根的判别式是解题的关键． 通过计算判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：∵在方程中，，，， ∴ ， ∴方程没有实数根． 故选：C． 10. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（ ） A. 样本容量是 B. 样本中C等级所占百分比是 C. D等级所在扇形的圆心角为 D. 估计全校学生A等级大约有人 【答案】C 【解析】 【分析】用B等的人数除以B等的百分比即可得到样本容量，用C等级人数除以总人数计算样本中C等级所占百分比，用乘以D等级的百分比即可计算D等级所在扇形的圆心角，用全校学生数乘以A等级的百分比即可得到全校学生A等级人数，即可分别判断各选项． 【详解】解：A．∵，即样本容量为200，故选项正确，不符合题意； B．样本中C等级所占百分比是，故选项正确，不符合题意； C．样本中C等级所占百分比是，D等级所在扇形的圆心角为，故选项错误，符合题意； D．估计全校学生A等级大约有（人），故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，读懂题意，准确计算是解题的关键． 11. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，直接将点的坐标代入关系式，计算求值即可． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得． 故选：A． 12. 按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的式子，分别找出分式的分母和分子的规律，从而求出第n个单项式. 【详解】解：，，，， 第n个单项式是. 故选：C. 【点睛】本题考查的是探索数字规律，解题的关键要利用已知式子找出所存在的规律. 二、填空题 13. 已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1x2=_________． 【答案】1 【解析】 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】解：根据题意得x1x2=1． 故答案为1． 14. 如图，是的直径，是上一点，，则的度数为___________． 【答案】22°##22度 【解析】 【分析】根据圆的性质得到OA=OC，则∠A=∠C，再由三角形外角的性质得到∠BOC=∠A+∠C=44°，由此即可得到答案． 【详解】解：∵OA=OC， ∴∠A=∠C， ∵∠BOC=∠A+∠C=44°， ∴∠A=∠C=22°， 故答案为：22°． 【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 16. 如图是一个圆锥形冰淇淋外壳不计厚度，已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：底面圆的半径为， 底面圆的周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为， 这个冰淇淋外壳的侧面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图为扇形是解决本题的关键． 三、解答题 17. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出图中点A和点C的坐标； （2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△DEF 【答案】（1）A（1，3），C（5，1）； （2）所作图形如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标系的特点写出各点的坐标； （2）分别将点B、C绕点A按逆时针方向旋转90°后得到点E、F，然后顺次连接； 【详解】略 【点睛】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接． 18. 如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且AE=EC，求证：AD=BC． 【答案】 证明：在△AED和△CEB中， ∠A=∠C，∠D=∠B，AE=CE， ∴△AED≌△CEB（AAS）． ∴AD=BC． 【解析】 【分析】由圆周角定理很快确定∠A=∠C，∠B=∠D，进而得出△AED≌△CEB，问题就迎刃而解了． 【详解】略 19. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）4800元；（2）60元；（3）售价326元时，总利润最大为10580元． 【解析】 【分析】（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． （2）求出关于利润的二次函数关系式，通过配方求得即可. 【详解】（1）由题意得60×(360－280)＝4800(元)． 即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）设每件商品应降价x元,由题意得(360－x－280)(5x＋60)＝7200, 解得x1＝8，x2＝60．要更有利于减少库存,则x＝60． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价60元． （3）设总利润为W元， 则W=（360-x-280）（5x+60）=-5（ x-34）2+10580， 360-34=326， 则当降价34元， 即售价326元时，总利润最大为10580元． 【点睛】本题考查二次函数的应用.正确理解题意是解题的关键. 20. 已知抛物线，经过点和点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析，二次函数的性质； （1）利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决． （2）利用配方法求顶点坐标即可； 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点和点 所以， 解得， 所以，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为． 21. “双减”政策颁布后，学校开展了延时服务，并增加体育锻炼时间．某体育用品商店抓住商机，购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其进价和售价如表所示． 进价 售价 乒乓球拍（元套） 羽毛球拍（元套） 某班甲体育小组购买套乒乓球拍和套羽毛球拍共花费元，乙体育小组购买套乒乓球拍和套羽毛球拍共花费元． （1）求出，的值； （2）根据销售情况，商店决定再次购进套球拍，且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，若这批球拍的进价和售价均不变，且能够全部售完，如何购货才能获利最大？ 【答案】（1）、的值分别是、 （2）购进乒乓球拍套，羽毛球拍套，获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据购进套乒乓球拍和套羽毛球拍需花费元，购进1套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费元，列出方程组，解方程组即可； （2）根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 答：、的值分别是、； 【小问2详解】 解：设购进乒乓球拍套，则购进羽毛球拍套．总利润为元， 由题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 当时，最大，且最大值为：， 此时， 答：购进乒乓球拍套，羽毛球拍套，获利最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查一次函数，一元一次不等式，二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组． 22. 在直角坐标系中，设函数（a，b，c是常数，）． （1）当时， ①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：； （2）已知该函数的图象经过点，．若，，求a的取值范围． 【答案】（1）①； ②∵该函数解析式为，且其图象与x轴有且只有一个交点， ∴方程有且只有一个实数解， ∴，整理，得：，即， ∴． ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值，再将代入该二次函数的解析式即可求出c的值，即得出该函数的表达式；②根据该函数的图象与x轴有且只有一个交点，即说明其相关一元二次方程有且只有一个实数解，再利用其根的判别式即得出，整理为，进而可求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解； （2）将，代入该二次函数解析式，得，，两式相减并整理得．结合题意可求出，根据，说明，即．最后利用，求出a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴该函数解析式为． ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴， 解得：． ∵该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为； ②略 【小问2详解】 解：∵该函数的图象经过点，， ∴，， ∴， 整理，得：， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即． ∵， ∴， 解得：． 23. 已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 【答案】 （1）证明：连接，则： ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵轴 ∴ ∴ ∴直线为的切线. （2）①，；② 的最大值为. 【解析】 【分析】（1）连接，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作于点，证明，得，从而得解. 【详解】（1）略 （2）①如图1，当位于上时： ∵ ∴ ∴设，则 ∴ ∴，解得： ∴ 即 如图2，当位于的延长线上时： ∵ ∴设，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 即 ②如图，作于点， ∵是直径 ∴ ∴ ∴ ∵半径 ∴ ∴的最大值为. 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $