5.5 一次函数与二元一次方程 同步达标测试 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

《一次函数与二元一次方程》同步达标测试 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•清苑区期末）下列图象中，以二元一次方程2x+y＝﹣5的解为坐标的点组成的图象，可能是（　　） A．； B．； C． ； D． 2．（2024秋•盐湖区期末）如图，直线l1与l2的交点坐标为A（1，3）．根据图象，小敏认为点A坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是3x﹣y＝0，则另一个方程是（　　） A．x+y＝﹣4 B．x+y＝4 C．x﹣y＝﹣4 D．x﹣y＝4 3．（2025春•曲沃县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣2x+4的图象相交于点P（1，m），则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•内蒙古）点P（x，y）在直线yx+4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024秋•贵池区期末）如图，直线y＝ax﹣b与直线y＝mx+1交于点A（2，3），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•芦淞区期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数yx交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．（2025•贵州模拟）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 8．（2024秋•金安区期末）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ． 9．（2025春•新兴县期末）如图，直线y＝kx（k是常数，且k≠0）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 10．（2024秋•金水区期末）如图，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，﹣2），与直线y＝mx+4交于点B，方程组的解为，若点C是x轴上的动点，且S△ABC＝12，则点C的坐标为　 　 ． 11．（2024秋•五华县期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与交于点A，交x轴、y轴分别于B，C两点．若S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 12．（2025春•泌阳县期末）如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝﹣x+a交于点P（1，m）． （1）求m，a的值； （2）关于x、y的二元一次方程组的解为　 　 ； （3）当y1≥y2＞0时，x的取值范围是　 　 ． 13．（2025春•南岗区校级月考）【探究】在平面直角坐标系中，把方程x+y＝4的解中的x和y值分别作为点的横、纵坐标，请完成表格信息，并在平面直角坐标系中描出点A、B、C、D． 点A 点B 点C 点D x … ﹣1 0 1 ①　 　 … y … ②　 　 4 3 2 … 【发现】过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点　 　 （填“在”或“不在”）同一条直线上． 【归纳】以方程x+y＝4的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 【应用】二元一次方程ax+by＝2的图象上有两个点分别为（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）． （1）求a和b的值． （2）请在平面直角坐标系中画出方程ax+by＝2的图象，并直接写出方程组的解是　 　 ． 14．（2025春•茅箭区校级期中）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“亮点”，例如求y＝﹣2x﹣1的“亮点”，联立，得方程组，解得，则y＝﹣2x﹣1的“亮点”为（﹣1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x﹣4的“亮点”为　 　 ； （2）一次函数y＝px+q的“亮点”为（2，q﹣3），求p，q的值； （3）已知直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+3上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 15．（2025春•惠城区期末）【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知A（1，1）、B（﹣3，4）、，则点 　 　 （填“A或B或C”）在方程2x﹣y＝﹣1的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x﹣y＝﹣1的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　 ，由此你得出二元一次方程组的解是 　 　 ； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程nx﹣y＝3的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，请作出符合题意的图形，并求m，n的值． 《一次函数与二元一次方程》同步达标测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B A D D B C 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•清苑区期末）下列图象中，以二元一次方程2x+y＝﹣5的解为坐标的点组成的图象，可能是（　　） A． B． C． D． 解：当x＝0时，则0+y＝﹣5， 解得：y＝﹣5， ∴二元一次方程2x+y＝﹣5的解为坐标的点组成的图象与y轴交于点（0，﹣5）， 当y＝0时，则2x＝﹣5， 解得：， ∴二元一次方程2x+y＝﹣5的解为坐标的点组成的图象与x轴交， 则二元一次方程2x+y＝﹣5的解为坐标的点组成的图象交x轴的负半轴，交y轴的负半轴， 观察函数图象，只有选项B符合题意． 2．（2024秋•盐湖区期末）如图，直线l1与l2的交点坐标为A（1，3）．根据图象，小敏认为点A坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是3x﹣y＝0，则另一个方程是（　　） A．x+y＝﹣4 B．x+y＝4 C．x﹣y＝﹣4 D．x﹣y＝4 解：A．把代入方程x+y＝﹣4，左边＝4，右边＝﹣4，左边≠右边，故A不合题意； B．把代入方程x+y＝4，左边＝4，右边＝4，左边＝右边，故B符合题意； C．把代入方程x﹣y＝﹣4，左边＝﹣2，右边＝﹣4，左边≠右边，故C不合题意； D．把代入方程x﹣y＝4，左边＝﹣2，右边＝4，左边≠右边，故D不合题意； 3．（2025春•曲沃县期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣2x+4的图象相交于点P（1，m），则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 解：由条件可得得m＝﹣2+4＝2，即P（1，2）， 一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝﹣2x+4的图象交于P（1，2）， 所以二元一次方程组的解是， 4．（2024•内蒙古）点P（x，y）在直线yx+4上，坐标（x，y）是二元一次方程5x﹣6y＝33的解，则点P的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：解方程组得：， ∴P（6，）， ∴P在第四象限， 5．（2024秋•贵池区期末）如图，直线y＝ax﹣b与直线y＝mx+1交于点A（2，3），则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 解：由条件可知方程组的解是． ∴在方程组中，， 解得， 6．（2025春•芦淞区期末）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数yx交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：∵点C的横坐标为2， ∴当x＝2时，yx， ∴C（2，）， 把C（2，）代入y＝kx+2得，k， ∴yx+2， 当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3， ∴B（0，2），A（3，0）， ∴①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3，正确； ②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0，正确； ③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2，故③错误； ④∵C（2，）， ∴方程组的解为，正确； 7．（2025•贵州模拟）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．请用这句话提到的数学思想方法解决下面的问题，已知函数，且关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解：∵ax﹣2a﹣y＝0可化简为y＝a（x﹣2）， ∴无论a取何值，恒过（2，0）， ∴该函数图象随a值不同绕（2，0）旋转， 作出题中所含两个函数图象如下： 经旋转可得：当﹣1＜a时，关于x，y的二元一次方程ax﹣2a﹣y＝0有两组解． 二．填空题（共4小题） 8．（2024秋•金安区期末）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　 ． 解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1， ∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2， ∴两直线交点坐标（1，2）， ∴x，y的方程组的解为， 9．（2025春•新兴县期末）如图，直线y＝kx（k是常数，且k≠0）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为 　　 ． 解：由条件可知P（﹣3，1）， ∴直线y＝kx（k是常数，且k≠0）与直线的交点坐标为：P（﹣3，1）； ∴关于x，y的方程组，即的解为：， 10．（2024秋•金水区期末）如图，直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，﹣2），与直线y＝mx+4交于点B，方程组的解为，若点C是x轴上的动点，且S△ABC＝12，则点C的坐标为　（﹣6，0）或（10，0）　 ． 解：由方程组的解为，可知：点B（3，1）， 设点C（t，0），直线AB与x轴的交点为D，如图， 点A（0，﹣2）、B（3，1）在函数y＝kx+b图象上： ，解得：， ∴y＝x﹣2， 令y＝0，则x＝2， ∴CD＝|t﹣2|， ∴， 解得：t＝﹣6或10， ∴C（﹣6，0）或（10，0）； 11．（2024秋•五华县期末）如图，直线y＝kx（k≠0）与交于点A，交x轴、y轴分别于B，C两点．若S△ABO：S△ACO＝1：2，则方程组的解为 　　 ． 解：设点A坐标为（a，b）， 在直线yx+3中， 当x＝0时，y＝3，则C（0，3）， 当y＝0时，x，则B（，0）， ∵S△ABO：S△ACO＝1：2， ∴， ∴a＝﹣3b，则A（﹣3b，b）， 将A（﹣3b，b）代入yx+3中，得，则A（﹣3，1）， ∴方程组的解为． 三．解答题（共4小题） 12．（2025春•泌阳县期末）如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝﹣x+a交于点P（1，m）． （1）求m，a的值； （2）关于x、y的二元一次方程组的解为　　 ； （3）当y1≥y2＞0时，x的取值范围是　1≤x＜3　 ． 解：（1）由条件可得m＝2， 把P（1，2）代入l2：y2＝﹣x+a得：﹣1+a＝2， 解得a＝3； （2）由图象可知二元一次方程组的解为． 故答案为：； （3）∵y1≥y2＞0， ∴1≤x＜3， 13．（2025春•南岗区校级月考）【探究】在平面直角坐标系中，把方程x+y＝4的解中的x和y值分别作为点的横、纵坐标，请完成表格信息，并在平面直角坐标系中描出点A、B、C、D． 点A 点B 点C 点D x … ﹣1 0 1 ①　2　 … y … ②　5　 4 3 2 … 【发现】过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点　在　 （填“在”或“不在”）同一条直线上． 【归纳】以方程x+y＝4的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 【应用】二元一次方程ax+by＝2的图象上有两个点分别为（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）． （1）求a和b的值． （2）请在平面直角坐标系中画出方程ax+by＝2的图象，并直接写出方程组的解是　　 ． 解：探究：由题意，∵x+y＝4， ∴当x＝﹣1时，﹣1+y＝4，则②y＝5；当y＝2时，x+2＝4，则①x＝2． 作图如下： 故答案为：①2；②5． 发现：由题意，对于x+y＝4， ∴当x＝0时，y＝4；当x＝1时，y＝3． ∴过这些点中的任意两点画直线，这些点在同一条直线上． 故答案为：在． 归纳：以方程x+y＝4的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 应用：①∵二元一次方程ax+by＝2的图象上有两个点分别为（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）． ∴，解得； ②画出方程ax+by＝2的图象如图， 方程组的解是． 14．（2025春•茅箭区校级期中）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“亮点”，例如求y＝﹣2x﹣1的“亮点”，联立，得方程组，解得，则y＝﹣2x﹣1的“亮点”为（﹣1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x﹣4的“亮点”为　（1，﹣1）　 ； （2）一次函数y＝px+q的“亮点”为（2，q﹣3），求p，q的值； （3）已知直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y＝kx+3上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标． 解：（1）联立， 解得， ∴一次函数y＝3x﹣4的“亮点”为（1，﹣1）； 故答案为：（1，﹣1）； （2）根据定义可得，点（2，q﹣3）在y＝﹣x上， ∴q﹣3＝﹣2， 解得q＝1， ∵点（2，﹣2）又在y＝px+q上， ∴q﹣3＝2p+q， ∴； （3）∵直线y＝kx+3上没有“亮点”， ∴直线y＝kx+3与y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0），B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， 设P（x，0）， ∵， ， ∴， ∴， 即x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x＝5或x＝1， ∴P（5，0）或（1，0）． 15．（2025春•惠城区期末）【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知A（1，1）、B（﹣3，4）、，则点 C （填“A或B或C”）在方程2x﹣y＝﹣1的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x﹣y＝﹣1的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 　（﹣2，﹣3）　 ，由此你得出二元一次方程组的解是 　　 ； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程nx﹣y＝3的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，请作出符合题意的图形，并求m，n的值． 解：（1）把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边＝1×2﹣1＝1，方程左右两边不相等，则不是方程2x﹣y＝﹣1的解； 把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边＝﹣3×2﹣4＝﹣10，方程左右两边不相等，则不是方程2x﹣y＝﹣l的解； 把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程2x﹣y＝﹣l的解； ∴只有点C在方程2x﹣y＝﹣1的图象上， 故答案为：C； （2）如图所示，函数图象即为所求；有图象可知，两条直线的交点坐标为（﹣2，﹣3）， ∴二元一次方程组的解是； 故答案为：（﹣2，﹣3），； （3）①在﹣x+my＝﹣2中，当y＝0时，x＝﹣4，在nx﹣y＝3中，当x＝0时，y＝﹣3， ∴A（﹣4，0），D（0，﹣3）； ②∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴直线和直线nx﹣y＝3 没有交点，即在这两条直线互相平行， ∵点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，A（﹣4，0）， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝OB＝4，即B（0，4），将点B的坐标代入得，，解得， ∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD＝45°，D（0，﹣3）， ∴∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴OC＝OD＝3，即C（3，0），将点C的坐标代入nx﹣y＝3 得，3n﹣0＝3，解得n＝1，如图所示即为所求： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $