精品解析：江苏省天一中学2025-2026学年高一领军班12月适应性检测数学试卷

2027届高一领军班数学12月适应性检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8. 设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（ ） A. 0 B. 1012 C. 2024 D. 4048 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”.下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的“衰减函数” B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为1 C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为 D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 13. 已知二次函数满足，则函数的单调递增区间为________. 14. 若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记函数的定义域为的定义域为. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 16. 设函数，为第四象限角． （1）化简； （2）若，求的值． 17. 已知，对任意都有， （1）求的值： （2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数和， （1）若，求的值； （2）若存在实数，使得成立，试求的最小值； （3）若，对任意的，，都有成立，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高一领军班数学12月适应性检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， ，则． 故选：B． 2. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 3. 如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【详解】设，由，得，即， 所以 故选：D 4. 已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当和分别对函数的单调性进行讨论. 【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数， 当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则； 当时， 要使（，且）在区间上单调递增， 则，则，综上，. 综上，实数的取值范围为. 故选：D 5. 已知函数的定义域为，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得不等式的解集为，然后利用根与系数的关系表示出，再由可得的最大值小于等于9，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式的解集为， 所以和1是方程的两个根，且， 所以，得， 所以， 因为恒成立， 所以，解得. 故选：B 6. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性逐一代入判断即可. 【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 根据周期性可知，其余重合点与上述点重合. 故选：D 7. 已知函数，满足为正实数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知构造函数，探讨函数的单调性、奇偶性，进而求得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令，由，得定义域为， ，即函数是奇函数， 而， 当时，函数是减函数，又是增函数，于是函数在上单调递减， 由奇函数的性质知，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，由， 得，即， 所以，则，即，又， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：B. 8. 设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（ ） A. 0 B. 1012 C. 2024 D. 4048 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，利用赋值分别求出，，，并得到的图象关于点对称，得到函数的周期，进而通过分类讨论求解即可. 【详解】令，则，∴． 令，则， 又，． 令，则， ∴函数的图象关于直线对称． 令，则， ∴ ∴的图象关于点对称． ∴， ∴是周期的函数． 又，，，， ∴当为偶数时，． 当为偶数时，也为偶数，此时； 当为奇数时，令，，则． ． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题解题关键是通过对抽象函数关系进行赋值法求出特殊函数值，发现函数的周期，利用函数周期性结合分类讨论思想来求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 函数图象的对称中心为（） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数周期求解判断A，根据余弦型函数的对称性判断B，根据余弦型函数的单调性判断C，根据对称中心结论求解判断D. 【详解】由题意可知，解得，故A错误； 由上得， 令，，解得，， 当时，直线是图象的一条对称轴，故B正确； 当时，， 因为函数在上单调递减， 易得在上单调递减，且， 所以，故C正确； 令，，解得，， 所以的对称中心为（），故D错误. 故选：BC. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性推导出，结合对数函数的单调性可判断A选项；利用换底公式可判断B选项；利用指数函数的单调性可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，因为，则， ，则，所以，，故，A对； 对于B选项，因为，则，， 所以，，，则， 所以，，可得，B对； 对于C选项，因为，则，C错； 对于D选项，因为，所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 事实上，， 所以，等号不成立，故，D对. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“衰减函数”.下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的“衰减函数” B. 若函数是上的“衰减函数”，则的最大值为1 C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为 D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义验证判断A，根据新定义转化为恒成立求得的范围得最大值判断B，作出函数的图象，再向左平移1个单位得的图象，根据新定义，在区间上，的图象在图象的下方，由此分别根据特殊点确定的范围判断CD． 【详解】选项A，定义域是，，时，， ，即，满足，A正确； 选项B，，是上的“衰减函数”，在上是减函数，在上是增函数， ，则， ，即，， 时，恒成立，而，所以，即的最大值是2，B错； 选项C，是偶函数，当时，，作出的大致图象，如图， 把它向左平移1个单位得的图象， 是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方，原点必须平移到点左侧， 因此，解得，的最大值是，C正确； 选项D，函数为奇函数，且当时，， 作出的大致图象，如图， 把它向左平移1个单位得的图象， 是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方， 原点平移到点，该点不能在左侧， 图中点所在上的表达式为，在上表达式为, 由得，点横坐标不大于， 因此有，解得，即的最小值是，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：本题考查生的创新意识，理解新定义并能应用是解题关键，在函数较为复杂的选项CD中，作出函数图象，再进行图象平移，由新定义转化图象的关系得出参数范围． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由同角关系可得，再代入，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 13. 已知二次函数满足，则函数的单调递增区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知，求得，则，根据二次函数、对数函数性质求定义域并研究单调性，结合复合函数单调性确定单调递增区间. 【详解】设， 则 ， 所以，，，则， 故， 由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性可知，的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 若存在，使得函数在区间上有零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得存在，使得函数在区间上有零点，分情况讨论，若不是函数的零点则转化为在的值域与有交集，然后分，和三种情况求的值域，然后由值域与有交集可求得a的取值范围. 【详解】存在，使得函数在区间上有零点， 若为函数的零点，则， 若不是函数的零点，则，由， 得，则在的值域与有交集， ①若，则由对勾函数的性质可知在上递增，在上递增， 所以其值域为，此时无交集，舍去； ②若，则由对勾函数的性质可知在和上递减，在和上递增， 所以其值域为，则，故； ③若，则在和上递减， 所以其值域为，则，故． 综上． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查对勾函数的性质的应用，考查余弦函数的性质，解题的关键是将问题转化为函数在的值域与有交集，考查分类思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记函数的定义域为的定义域为. （1）求集合； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)利用根号内大于等于0解不等式即可. (2)根据(1)中的可分当与两种情况进行分析. 【小问1详解】 由题意. 即，解得：或. 所以 【小问2详解】 因为,则根据子集与推出关系, 即当时,可以使得恒成立,可知 当时，恒成立，所以必有恒成立，即恒成立， 所以； 当时,恒成立，所以必有； 综上：， 16. 设函数，为第四象限角． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数性质及所在象限去除根式并将正切化为正余弦，化简即可； （2）由（1）化简，令，求出的取值范围，进而化成一元二次方程解出即可. 【小问1详解】 由， 因为为第四象限角，所以，所以. 【小问2详解】 ， 令，所以，因为为第四象限角，所以， 所以，所以， 所以，所以或（舍） 所以. 17. 已知，对任意都有， （1）求的值： （2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由可得函数的图象关于直线对称，再利用正弦函数的对称性求出的值. （2）由（1）求出，再变形给定的不等式，换元分离参数得，然后利用基本不等式求解即得. 【小问1详解】 对任意都有，则函数的图象关于直线对称， 于是，而，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， ，， 当时，，，令， 显然， 不等式， 依题意，，不等式恒成立， 显然， ，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 18. 已知函数和， （1）若，求的值； （2）若存在实数，使得成立，试求的最小值； （3）若，对任意的，，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质计算； （2）根据题意，得，利用换元法求最值； （3）设，根据题意，转化为在上恒成立，由函数定义域先得，再由函数单调递增，可得，从而得解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 由得：，即， ， 令，则， ，， 在上单调递增 ． 【小问3详解】 函数在的最小值为0， 设，则由任意，， 都有成立， 可得在上恒成立， 只需在上恒成立即可． 因为，在上恒成立， 所以．因为，所以，，所以， 由可得， ．因为单调递增， 所以，即在上恒成立． 在上恒成立． 因为，在上恒成立，在上恒成立， 所以，在上恒成立． 因为在上为减函数，所以在处取得最大值1，所以，． 综上所述，． 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 19. 已知函数. （1）若，求； （2）设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且. 【答案】（1） （2）由题意得. ①当时，，所以单调递增. 又，由于，而， 所以.又， 所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得. 当时，，所以，则在上无零点； 当时，，所以，则在上无零点. 综上，在上有且仅有一个零点. ②由①得，且， 则. 由函数的单调性得函数在上单调递增， 则， 故. 【解析】 【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得. （2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立. 【小问1详解】 由，则， 所以 . 【小问2详解】 略 【点睛】求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $