四川省部分学校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.样本数据1,3,5,4,2的中位数是 A.1 B.2 C.3 D.5 2.已知集合A={x∈Nx<3},B={1,2,3,4},则A∩B= A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3》 D.{1,2,3,4} 6一1 3.复数：一干在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.记等差数列{am}的前n项和为Sm,且S6=S3,a1=1,则a2= A司 B子 C.1 D.2 5.若tan(a+3)=-1,tan(a-3)=1,则tan3= A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 6.一种质量为1kg的物质，在化学分解中，经过时间t（单位：min)后，所剩的质量m (单位：kg)与时间t的函数关系为m=a"(a,k均为参数，a>0且a≠1).已知1kg的该物 质，在化学分解中，经过t1min后，所剩的质量为0.5kg,再经过t2min后，所剩的质量为 0.25kg,则 A.t=t2 B.t1=2t2 C.t1=4t2 D.t1=2t2 7.青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现 存于三星堆博物馆.如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个 点，记为A,B,C,D,E,五边形ABCDE为正五边形，AB=25, 则AB·AD= A.312.5 B.625 C.1250 D.625c0s36° B 【高三数学第1页（共4页）】 ·C1· 8已知桶圆C,十Ia>b>0)的左右焦点分别为F1,F,A为C上一点，直线AE,与 C交于另一点B,若AF2=3F2B,|OF1|=|OA|,则C的离心率为 A司 B图 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在下列区间中，函数f(x)=s 2 一单调递增的是 A.(o,）) B(受) c(,3 n(2) 10.已知函数f(x)=√/1-x-x3,则 A.f(x)的定义域为（一∞，1] B.f(x)的值域为R C.Hx∈(-∞，0)，f(x)>1 D.f(x)恰有1个零点 11.如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何 体的棱长均为2，则 A.平面ABD⊥平面BCE B.平面ABE⊥平面BCD C该几何体的体积为402 D.存在球O,使得该几何体的顶点都在球O的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知双曲线C:x2一y2=1的渐近线和圆M:(x一1)2+y2=r2(r>0)相切，则r=▲ 13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,B=号，△ABC的周长为6十 2√3，则△ABC的面积为▲ 14.已知函数f(x)=x2|x一a|,若Vx∈[1,2]，f(x)≥2，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2m=0,S2m-1=2. (1)求{am}的通项公式： (2)求数列{nan}的前n项和. 【高三数学第2页（共4页）】 ·C1· 16.(15分) 对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文 学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的 对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）. (1)求这4联可以凑成甲对联的概率： (2)记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD=AB=2√3，CD=CB=2,PA =PD,∠ADC=∠APD=90°，F是AP的中点. (1)证明：平面PAB⊥平面PCD (2)证明：BF平面PCD. (3)求直线BF与直线PC所成角的余弦值 【高三数学第3页（共4页）】 ·C1· 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:x=8与C在第一象限交于点A,|AF =10. (1)求p的值. (2)设点B,D,E均在第一象限，且点B直线l上，点D,E在C上 ①是否存在点B,D,使得四边形FBAD是以FB,FD为邻边的平行四边形？若存在， 求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由. ②是否存在点B,D,E,使得四边形FBED是以FB,FD为邻边的矩形？若存在，求点 D的坐标；若不存在，请说明理由. 19.(17分) 已知函数fx)=alnz十号x-. (1)讨论f(x)的单调区间： (2)若f(x)≥k(x-1)-2(a≤0)，求a与k的数量关系； (3)设1：(G<x:)是fx)的两个极值点，证明：f)-f(x:)<号 【高三数学第4页（共4页）】 ·C1·高三数学试卷参考答案 题序 1 2 6 8 9 10 11 12 13 14 (-0∞，-1] 答案 C A D 0 A B BC ACD BCD 2 2 23 U[3,+∞) 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分 【3】第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分. 1.C【解析】本题考查中位数，考查逻辑推理的核心素养. 样本数据1,3,5,4,2的中位数是3. 2.A【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养， A={0,1,2},A∩B=1,2. 3.D【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养」 :品得9二昌-=号-子，其在复平面内对应的点为（多一号）位于第四 象限 4.B【解析】本题考查数列，考查数学运算的核心素养， 记等差数列{an}的公差为d.因为S6=S3,所以S6一S3=a4十a5十a6=3a5=0,即a5=0.因 3 为a1=1,a;=a1十4d=0,所以d=-4a2=a1+d= 5.D【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养 因为tama+B)=-1,tam(a-B)=1,所以a十B=3+k1x(k1∈ZDa一B=于+k:xk:∈ Z,相减得月=子+2x,-:cZ,所以m月=am(+)=1或-1 4 6.A【解析】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养 0.5=a, 由题意可得 0250i.025=a=aa”=-0.5a,所以=0.5=a,解得 t1=t2. 7.A【解析】本题考查平面向量，考查直观想象、数学运算的核心素养， 解法一：取AB的中点M,连接DM(图略).因为AD=BD,所以在△ABD中，DM⊥AB,则 AB.AD=AB.(AM+MD)=AB.AM=312.5. 解法二：在正五边形ABCDE中，∠BAE=108°，∠EAD=36°，∠BAD=72°.|AD1=2AE1· 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ·C1· co∠EAD=50c0s36,A信.Ad=25×50c0s36°×c0s72°=1250sin36c0s36c0s72°_ sin 36 625sin72°cos72°_312.5sin144 sin 36 sin 36 =312.5. 8.B【解析】本题考查椭圆，考查数学运算的核心素养！ 由题可知F1(一c,0),F2(c,0).由AF2=3F2B,得|AF2|=3F2B|,由椭圆的定义可得 AF+1AF:=2a,BF+1F:B1=2a,设1AF:=d,则IAF1=2a-d,F:B1=号， BFI-2a-.IABI-IAF:+IF:BI-d. 因为OF,=OA1,即△P,AF,为直角三角形，∠F,AP,=交，所以(2a-号)）广=(2a-d +(专d),解得d=a或d=0(舍去)，又4c2=(2a-d)2+d,代入d=a,整理得c2= 2a, 所以离心率e=C=2 a2· 9.BC【解析】本题考查三角函数，考查逻辑推理的核心素养， 函数y=在(-1,0)，(0,1D上单调递减函数y=sinx在(0，).(，2)上单调递增，在 (受x).(x,)上单调递减，所以f(x)在(0，)，(，2x)上单调递减，在(5)，(x,3) 上单调递增. 10.ACD【解析】本题考查函数，考查逻辑推理的核心素养 f(x)的定义域为（一∞，1]，A正确.因为函数y=√1一x和y=一x3均为减函数，所以 f(x)是减函数，又因为f(1)=一1，所以f(x)的值域为[一1，十∞)，B错误.因为f(0)=1, 所以Vx∈（一∞，0），f(x)>1,C正确.f(x)恰有1个零点，D正确， 11.BCD【解析】本题考查立体几何，考查直观想象、逻辑推理的核心素养. 记AD,CE,AE,CD的中点分别为M,N,K,Q(图略).平面ABD与平 面BCE所成的角为∠MBN.BM=BN=√3，MN=2√2，显然∠MBN ≠90°，所以平面ABD不与平面BCE垂直，A错误.平面ABE与平面 BCD所成的角为∠KBQ.BK=BQ=√2，KQ=2,所以BK2+BQ= KQ,∠KBQ=90°，所以平面ABE⊥平面BCD,B正确.记MN的中点为I(图略)，在 △MBN中可得BI=1,即四棱锥B-AECD的高为1.该几何体可由四个与四棱锥B-AECD 全等的四棱锥和-个正四棱柱AHID-EPGC组成，其体积为4X号×2X22X1+2×2X 22=40 3 ,C正确.记正四棱柱AHJD-EFGC的中心为P(图略)，可得点P到该几何体 各顶点的距离均为2，所以存在球O,使得该几何体的顶点都在球O的球面上，D正确， 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 ·C1· 12② 2 【解析】本题考查双曲线，考查数学运算的核心素养」 双曲线C的渐近线方程为y=士x,圆M的圆心坐标为(1,0).点(1,0)到直线y=土x的距 离为号由题意可得- 21 13.2√3【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养， 因为b2=a2+c2-2 accos B,所以b2=a2+4-2a①.△ABC的周长为a+b十c=6+2√3， 即a+b=4+2W5②.由①②，解得a=4,b=2W3.故△ABC的面积为2 acsin B=2W3. 14.(一∞，一1]U[3,十∞)【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心 素养 =-当a动时r-在 (0,+∞)上单调递增，要使得Hx∈[1,2]，f(x)≥2，则f(1)=1-a≥2，结合a≤0，解得 a≤-1.若a>0,当x≥a时，f'(x)=x(3x-2a)>0,当x<a时，f'(x)=-x(3x-2a), 所以当x∈(0，号)时f(x)>0,当x∈（台a)时f'(x)<0,所以f(x)在(0，号），(a, a>2, +∞)上单调递增，在（号，a)上单调递减要使得Vx∈[1,2]，/(x)≥2，则f)≥2，或 f(2)≥2 0<a<1, 解得a≥3.综上，a的取值范围是(-o,一1]U[3,十∞). f(1)≥2， 15.【解析】本题考查数列，考查数学运算的核心素养 解：(1)因为S2m=0,S2m-1=2,所以a2n=S2m一S2w-1=一2，即{am}的偶数项均为一2.… …2分 因为S2m-2=S2n=0(n≥2)，所以a2m-1=S2-1-S2m-2=2(n≥2). 又因为a1=S2×1-1=2,所以{an}的奇数项均为2.…4分 an=2X(-1)-.…6分 (2)记数列{nan}的前n项和为Tn, 则Tn=2×(-1)°+2×2×(-1)+2×3×(-1)2十…十2n(-1)"-1,…8分 -Tm=2×(-1)1+2X2×(-1)2+2×3X(-1)3+…十2(-1)"，…10分 两式相减得2Tm=2+2×(一1)1十2×（一1）2+…+2(-1)”-1一2n(一1)"=1+(1+2)· (-1)”-1,… …12分 所以7.=}+1+2a(-1)- …13分 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 ·C1· 【评分细则】 【1】第(1)问另解如下： 根据S2n=0,S2m-1=2,得到a1=2,a2=一2， 2分 据此得到{an}为2，一2,2，一2，….… 4分 n=2X(-1)-1.… 6分 2,n为奇数， 【2】第(1)问的结果也可以写成am= 一2，n为偶数 16.【解析】本题考查概率、期望，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 C3 解：1)这4联可以凑成甲对联的概率为。一4 …5分 (2)X的所有取值可能为0,1,2. 248 P(X=0)= C-35 4×C号×2224 P(X=1)= 351 9分 C P(X=2)= C8351 13分 X的分布列为 X 0 2 P 8 24 3 35 35 35 24+3 6 E(X)=35十3X2= ……15分 【评分细则】 第(2)问中，没有求P(X=0),不扣分；没有写出分布列表格，不扣分 17.【解析】本题考查空间向量与立体几何，考查直观想象、数学运算的核心素养， (1)证明：∠ADC=∠APD=90°，即AD⊥CD,AP⊥PD 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面PAD,所以 CD⊥AP.…2分 因为CD∩PD=D,所以AP⊥平面PCD.…3分 因为APC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.…4分 (2)证明：取AD的中点E,连接EF,BE,AC,BD.…5分 在△PAD中，EF∥PD.因为PDC平面PCD,EF平面PCD, 所以EF平面PCD.…6分 在△ACD中，AD=23,CD=2,∠ADC=90°， 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 ·C1· 所以aDAC-0-9,即∠aC=30. 易证△ACD≌△ACB,所以∠BAC=30°，∠BAD=60°，△ABD是等边三角形，所以BE⊥ AD,所以BECD. 因为CDC平面PCD,BE在平面PCD,所以BE平面PCD.… 8分 因为EF∩BE=E,EFC平面BEF,BEC平面BEF,所以平面BEF∥平面PCD 因为BFC平面BEF,所以BF平面PCD.…10分 (3)解：连接PE.以E为原点，EA,EB,EP所在直线分别为x,y,x轴，建立如图所示的空 间直角坐标系则B0,30,F停0，受)，P0,0w5).C(-5,2.,0).…12分 所以球=(，-3，)，P=(2,-. …13分 因为cos(B京，P心)= BF.PC 3√/105 35 14分 BFIPCI √/105 所以直线BF与直线PC所成角的余弦值为 35 …15分 【评分细则】 第(3)问另解如下： 记BE∩AC=O,连接OF(图略). 由(2)得平面BEF平面PCD.因为平面PAC∩平面BEF=OF,平面PAC∩平面PCD= PC,所以OFPC,所以直线BF与直线PC所成的角即直线BF与直线OF所成的角， 而直线BF与直线OF所成的角为∠OFB,所以直线BF与直线PC所成的角为∠OFB, …12分 因为△ABD是等边三角形，所以AE=√3，BE=3. 在△ADP中，PA=PD,∠APD=90°，所以PE=AE=3,EF= 2 在△ACD中，0E为中位线，OE=2CD=1,所以OB=BE-OE=2..13分 由(1)(2)得CD⊥平面PAD,BE∥CD,所以BE⊥平面PAD,BE⊥EF, 则OF=VEF2+OE=10 ,BF-VEF+BBE-V厘 21 …14分 COs/OFB=OF+BF2-OB:3105 2OF·BF 35 所以直线BF与直线PC所成角的余弦值为 √105 35 15分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 ·C1· 18.【解析】本题考查抛物线，考查数学运算、直观想象的核心素养 解：(1)AF|=号十8=10，解得=4，…” 3分 (2)由(1)可得抛物线C:y2=8x,F(2,0). ①由题意得A(8,8).若四边形FBAD是以FB,FD为邻边的平行四边形，则AB∥DF,所 以直线DF的方程为x=2.…5分 =8x得=士4， 由=2 因为点B,D均在第一象限，所以D(2,4),…6分 x=2. 所以川DF|=4=|AB|,则B(8,4). 点A到直线DF的距离为6，平行四边形FBAD的面积为DF|X6=24. 故存在点B,D,使得四边形FBAD是以FB,FD为邻边的平行四边形，平行四边形FBAD 的面积为24.… …8分 ②设D(gm)n>0 若g=2,则D(2,.因为在矩形FBED中，FB1FD,弦+励-应，所以B(8,0),E(8, 4),而E(8,4)不在C上，不符合题意.… …9分 若行≠2，则直线FD的斜率m 8n n2-16 10分 因为在矩形FBED中，FB⊥FD,所以kD·kB=一1，则kFB= 16-n2 8n 所以直线FB的方程为y=16。一n 8m(x-2). …12分 由点B的银全标y-1668-2》=8得B(s,8） 8n ,…13分 所以币=（食-2）i=(6.8） 设E(xE,yE),则FE=(xE-2,yE). 因为在矩形FBED中，FB+FD=F, 所以丽+市-（答+4,48）=(-2yg）.则（答+6,48 4n ）,…15分 4n 将(g+6,8)的坐标代人y=8,得(8)=8(g+), …16分 解得2-9因为>0，所以n-45.即D(号，) 综上·存在点B.DE,使得四边形FBD是以FB,FD为邻边的矩形，此时D(号，4)， …17分 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 ·C1· 【评分细则】 【1】第(2)①问中，没有求出点B的坐标，不扣分 【2第(2)问中，写出结论“存在”，但没有过程，不给分 【3】第(2)②问中，没有讨论直线FD的斜率不存在的情况，扣1分. 19.【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养. 0解：f'x)=+x-1=二十 2,x>0. 1分 令x2-x十a=0,由△=1-4a≤0，得a≥4， 此时f'(x)≥0，f(x)在(0，十∞)上单调递增.… …2分 当△=1-4a>0,即a<}时，方程x2-x+a=0的两根为=1- -,x2= 1+√1-4a e。........。 2 …3分 当u≤0时，x1=1-)-a≤0，所以当x∈0，x,)时，f(x)<0,当x∈(r2,十o∞)时， 2 f'(x)>0, 所以f(x)在(0,1十如)上单调递减，在(+)=4a,十∞)上单调递增.…4分 2 2 当0a<时-1亚>0，所以当x∈(1：)时，fx)<0.当x∈0，U 2 (x2,十∞)时，f'(x)>0, 所以在，1+V)止单润莲诚，在(o,1二)(2+。 2 十∞)上单调递增. 综上，当a<0时，fx)在(0,1+)一a)上单调递减，在(1+)一a,十∞)上单调递增： 2 2 当0<a<时，了(x)在(-证，1+一a)上单调递减，在(0.1-和)和 2 2 (+)一a,十∞)上单调递增：当a≥时f(x)在(0，十∞)上单调递增. 2 …5分 (2解：fx)≥k(-1)-2即aln+号-x-kx-1)+号≥0 令g)=alhx+号2-x-kx-1D+号g1=0, 6分 g'x)=-k+1x+a,g'1=a-k. …7分 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 ·C1· 若g(1)=a-k>0,则存在x0>0,使得当x∈(1-xo,1十xo)时，g'(x)>0,即g(x)在(1 一xo,1十xo)上单调递增，而g(1)=0,所以g(1一xo)<0,不符合题意.…8分 若g'(1)=a一k<0,则存在x'>0,使得当x∈(1-x',1+x')时，g'(x)<0,即g(x)在(1 一x',1十x')上单调递减，而g(1)=0,所以g(1十x)<0,不符合题意. …9分 若g'(1)=a-k=0,即a=k≤0，则g'(x)=-(a+1Dz十a-(x-1)(x-a 2 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减， 在(1，十∞)上单调递增. g(x)≥g(1)=0,符合题意. 综上，a与k的数量关系为a=k.… …10分 (3)证明：结合1)可得，当f(x)有两个极值点时，0<a<4,且x1十x2=1,x12=a,0<x …11分 K(x)-fGr-alzi+jri-x-(alnx:+x-x) …12分 --u--en-D-Gn-D Ealn-22D=2an-ana2D.…3分 h(x)=2aln x-aln a-(2x-1)0<x<2, 则（r）=2g-1=2a-工.…14分 当0<x<2a时，h'(x)>0,当2a<x<2时，h'(x)<0, 所以(x)在(0,2a)上单调递增，在(2a,2)上单调递减， …15分 11 h(x)=h(2a)=2aln(2a)-aln a-2(4a-1)=aln(4a)-2a+ 所以f代-f17分 【评分细则】 【1】第(1)问中，若分类讨论的结果均正确，没有写“综上，当a≤0时…”，不扣分 【2第(2)问中，只是设出g(x),并求出g'(x),没有求出g(1),g'(1),只给1分 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】 ·C1