湖北省华中科技大学附属中学2025-2026学年高一13班上学期数学周测5

高一13班数学周测5 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知（是虚数单位），则 的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可求解． 【详解】因为，所以， 所以 的虚部为. 故选：B. 2．已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A 3．已知向量满足，且，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助向量垂直数量积为零及向量夹角公式可得，再借助二倍角公式计算即可得. 【详解】由，则， 故，则， 故. 故选：D. 4．在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理可得余弦值，进而利用同角三角函数关系求解正弦值，由面积公式即可求解. 【详解】由以及正弦定理可得，设， 由余弦定理可得, 由于 则，解得， 又最小的边长为，故， 故选：B 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数单调性、二次函数单调性列式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6．在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕翻折至与共面，当共线时，最小，再由余弦定理求解即可. 【详解】连接，如图， 由正方体的性质可得为等腰直角三角形，故， 为直角三角形，， 将图中绕翻折至与共面，如图， 所以由图可知，共线时，最小， 此时， 由余弦定理可知， 所以最小值为. 故选：B 7．已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则△ABC为等腰三角形 B．在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立 C．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 D．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 【答案】C 【分析】A选项，由余弦定理角化边判断三角形形状；B选项，由，判断和的大小关系；C选项，由角平分线的性质结合三角形面积得，利用基本不等式求的最小值；D选项，由正弦定理解三角形有两解的条件，求的取值范围. 【详解】选项A，因为，由余弦定理得， 所以有，整理可得， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，钝角△ABC中，A，B为锐角，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B错误； 选项C，的平分线交于点，，有， 由角平分线性质和三角形面积公式，得， 即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故C正确； 选项D，如图，若有两解，则，所以， 则b的取值范围是，故D错误． 故选：C.    8．在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据外心的性质得到，设，根据数量积的运算律得到，再由数量积的定义及几何意义求出，从而得解. 【详解】因为是的外心，为的中点，设的中点为，连接，    所以，，设， 则 ， 又是的外心，所以 ， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将转化为，再一个就是利用数量积的几何意义求出. 二、多选题 9．（多选题）下列说法中不正确的是（      ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【分析】根据圆台的定义可判定A，根据棱柱的定义判定B，根据正棱锥的定义可判定C，根据棱台的定义可判定D. 【详解】对于A，如图所示，若以腰旋转则形成的几何体不是圆台， 是圆锥与圆柱形成的组合体，故A项不正确； 对于B，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故B不正确； 对于C，如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心， 这样的棱锥叫正棱锥，故C不正确； 对于D，由棱台的定义知各侧棱延长线交于一点，故D正确. 故选：ABC 10．已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有（    ） A．xy的最大值为18 B．的最小值为1 C．的最小值为13 D．的最小值为 【答案】CD 【分析】利用基本不等式，结合等式求最值可判断A，B；令，换元后再利用均值不等式求最小值，即可判断C，D. 【详解】对于A，， 所以 所以，又， 则，当且仅当，时取等号，即的最小值为，故A错误； 对于B，由选项A知，所以，故的最小值为，则B错误； 对于C，， 由得，故， 令，则，，所以， 则， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故C正确； 对于D，由选项C，得 ， 当且仅当，，即，时取等号， 即的最小值为，故D正确. 故选：CD. 11．已知的面积为，若，，则（ ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．的内切圆半径为 【答案】CD 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式等逐项分析即可得出结果. 【详解】设的外接圆半径为，内切圆的半径为， 选项A，由正弦定理，可得，，， 又，所以， 则.因为，所以， 则，又，解得，所以A错误； 选项B，由已知得，即， 又，，所以，则， 又，所以，，则， 所以，， 则，所以B错误； 选项C，由已知，又， 所以，，所以，所以C正确； 选项D，由已知为直角三角形，斜边长，则， 又，即，解得，所以D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．设，其中为实数，则 ． 【答案】 【分析】利用两复数的相等求出的值，再根据复数的模的公式计算即可. 【详解】由，可得， 因为实数，则， 故 故答案为：. 14．如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则 ．    【答案】/ 【分析】根据题意设，可证，得到，继而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可． 【详解】设，则， 又为正三角形，所以， 则，又， 所以，则， 故，则，即，所以，即， 所以， ，即， 在中，，即， 解得，又，则为锐角， 所以． 故答案为：． 四、解答题 15．已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由实系数一元二次方程的解的特点易得另一个根，由韦达定理即得； （2）应用向量的加减法化简得出，最后结合（1）应用复数的加法计算求解. 【详解】（1）由已知得，也是方程的一个根， 由韦达定理得，，， 即，； （2）因为，所以， 则，故. 16．已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先求出，再结合函数为奇函数求出即可； （2）换元，在同一平面直角坐标系中作出函数在区间的图象与直线的图象，解得即可进一步求解. 【详解】（1）函数相邻两个零点间的距离为函数的最小正周期. ， 又为奇函数，，解得. ， . （2）由（1）得. 设. 函数在区间上的大致图象如图所示. 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 由图可得，整理得， . 17．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是边上异于端点的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)最小值为2. 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）设，则，在和中分别根据正弦定理结合三角恒等变换求得，，再根据三角形内外角关系求出，利用正弦函数的性质求最值即可. 【详解】（1）根据正弦定理，可得， 所以， 因为，所以． 又因为，所以. （2）由（1）可知，， 因为，所以. 设，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理，得， 所以. 由,可得，则， 所以当，即时，为最小值. 所以，的最小值为2. 18．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【详解】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 19．已知函数，. (1)若在上单调，求实数的取值范围； (2)求的最大值； (3)对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）求得的对称轴，结合条件可得或，求解即可； （2）利用基本不等式可求的最大值； （3）求得函数的值域，设在的值域为，的值域为，由题意可得，进而分类讨论可求得的取值范围. 【详解】（1），对称轴为直线， 因为在上单调，所以或，解得或或， 所以的取值范围为. （2），当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是. （3）因为，，所以，又时，，所以的值域为. 设在的值域为，的值域为， 因为对，，使得，即，所以. 由（1）知的对称轴为直线， ①当，即时，在上单调递增，所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以满足题意的不存在； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 令和中的最大值为，所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以； ③当，即时，在上单调递减， 所以在上的值域为， 因为，所以，即，解得， 又，所以. 综上所述，，即的取值范围是. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一13班数学周测5 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知（是虚数单位），则 的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，且，设的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，若，且该三角形的面积为，则的最小边长等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在棱长为2的正方体中，M为线段上一动点，求的最小值（   ） A． B． C． D． 7．已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，则△ABC为等腰三角形 B．在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立 C．若，的平分线交于点，，则的最小值为9 D．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 8．在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 二、多选题 9．（多选题）下列说法中不正确的是（      ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 10．已知正实数x、y满足，则下列说法正确的有（    ） A．xy的最大值为18 B．的最小值为1 C．的最小值为13 D．的最小值为 11．已知的面积为，若，，则（ ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．的内切圆半径为 三、填空题 12．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 13．设，其中为实数，则 ． 14．如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则 ．    四、解答题 15．已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 16．已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 17．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是边上异于端点的动点，且，求的最小值． 18．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 19．已知函数，. (1)若在上单调，求实数的取值范围； (2)求的最大值； (3)对，，使得，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $