精品解析：青海省七校2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 5 B. C. D. 17 2. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若一组数据按照从小到大的顺序排列为5，5，7，9，9，11，则该组数据的第55百分位数为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 4. 已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是单调递增的等比数列，若，则正整数（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列区间中，函数单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 该几何体的体积为 D. 存在球，使得该几何体的顶点都在球的球面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，则______． 13. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于 的不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂甲、乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了100件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表． 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 50 10 60 乙生产线 25 15 40 合计 75 25 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．随机从该工厂抽取3件产品，记随机变量为这3件产品中检测结果为“合格”的产品数量，求和的期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）已知，的周长为，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面． （2）证明：平面． （3）求直线与直线所成角的余弦值． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． （1）分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． （2）已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 5 B. C. D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算和模的公式计算即可. 【详解】因为， 则． 故选：A. 2. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由题可知，所以． 故选：C 3. 若一组数据按照从小到大的顺序排列为5，5，7，9，9，11，则该组数据的第55百分位数为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即得. 【详解】因为， 所以该组数据的第55百分位数为按从小到大的顺序排列的第4个数，即9． 故选：C. 4. 已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可. 【详解】椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，结合特殊点运用排除法进行判断即可. 【详解】因为的定义域为， 且， 所以是奇函数，排除 D． 又因为， 所以，排除A． 当时，，排除B. 故选：C 6. 已知数列是单调递增的等比数列，若，则正整数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各项表示成和的形式，即可解出. 【详解】由，可得，即，解得． 故选：C. 7. 已知圆与圆关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆对称可知，两圆圆心关于直线对称，则直线与直线垂直，且的中点在直线上，列方程可得与，再由两圆半径相等可得. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故， 故选：A. 8. 青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为 ，， ，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：取 的中点 ，连接,则求解；解法二：，进行求解． 【详解】解法一：取 的中点 ，连接, 因为，所以在中，， 则． 解法二：在正五边形中，，，． ， ， ． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列区间中，函数单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可. 【详解】令，则在，上单调递减； 对于A，在上单调递增，在上单调递减，A错误； 对于B，在上单调递减，在上单调递增，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增，C正确； 对于D，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 10. 设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由，得的偶数项均为-2，由．又因为，所以的奇数项均为2，即可判断选项． 【详解】因为，，所以，即的偶数项均为-2，B正确． 因为，所以． 又因为，所以的奇数项均为2，A正确． ，C，D错误． 故选：AB 11. 如图，该几何体的表面由8个正三角形和6个正方形构成，已知该几何体的棱长均为2，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 该几何体的体积为 D. 存在球，使得该几何体的顶点都在球的球面上 【答案】BCD 【解析】 【分析】该几何体可由正方体切去八个角得到，结合正方体性质逐个选项判断即可. 【详解】作棱长为的正方体，取各个棱的中点，连接即可得符合题意的几何体. 取中点M，中点N，连接，可得， 由正方体性质可得，则可证平面， 则平面与平的交线，，则 则平面与平所成角为， 其中，则，A错误； 由正方体性质可得平面平面，B正确； ，C正确； 球心为正方体中心，半径为2，则该几何体的顶点都在球的球面上，D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，则______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】已知，解得． 故答案为： 13. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点 到焦点的距离等于点 到准线的距离，即， 所以，当且仅当， ， 三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是． 故答案为：. 14. 已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于 的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，接着由题设得到，令，得到为偶函数，且在上递增，在上单减，结合，把不等式转化为，得到不等式组，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得， ，且，则， 又因为，所以， 所以，则， 令，则，故在上单调递增， 因为为上的偶函数，所以为上的偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即为， 即，则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某工厂甲、乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了100件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表． 生产线 检测结果 合计 合格 优良 甲生产线 50 10 60 乙生产线 25 15 40 合计 75 25 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？ （2）用样本估计总体，频率估计概率．随机从该工厂抽取3件产品，记随机变量为这3件产品中检测结果为“合格”的产品数量，求和的期望． 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）与生产线有关联 （2）， 【解析】 【分析】（1）作出零假设，计算卡方并对比临界值即可得出结论； （2）由二项分布的概率公式、对立事件的概率公式以及二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 零假设为：产品检测结果与生产线没有关联． 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于0.05． 【小问2详解】 由题可知，随机从该工厂抽取1件产品，该产品检测结果为“合格”的概率． 由题可知，则． 的期望． 16. 在中，内角 ，， 所对的边分别为，，，． （1）求； （2）已知，的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再进行三角恒等变换，即可得解； （2）由余弦定理得，结合题设条件求出边,利用三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由可得， 即， 因, 代入上式，可得， 因，则得， 又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，，即① 的周长为，即② 由①②解得，， 所以的面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面 ，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面． （2）证明：平面． （3）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1） ，即，． 因为平面平面 ，平面平面，平面 ， 所以平面，而平面，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） 取的中点，连接 ，，， ． 则在中，．因为平面，平面， 所以平面． 在 中，，，， 所以，即. 而，，则有，所以，， 所以是等边三角形，所以，即． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面． （3）. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，再由线面垂直的性质、判断得平面，最后应用面面垂直的判定证明结论； （2）取的中点，连接 ，，， ，由已知得到，再由线面、面面平行的判定和性质定理证明结论； （3）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，结合（1）（2）易得两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为 ， ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，． 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【小问1详解】 若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线 ：． （1）分别求出曲线 表示椭圆、双曲线时的取值范围． （2）已知曲线 的离心率为，曲线 向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，， ， 是曲线上3个不同的点，，求的面积． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可； （2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可； （ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 表示点到原点的距离，表示点到直线的距离． 若曲线 表示椭圆，则，解得，即的取值范围为； 若曲线 表示双曲线，则，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 （i）因为曲线 的离心率为，所以，即， 即曲线 的方程为， 曲线 向右平移个单位长度得到曲线， 故曲线的方程为，化简可得． （ii）设，，． 因为，所以， 解得，，则， 若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时 在 轴上， 所以 不可能在双曲线上，舍去． 设直线的方程为，由得， 则且，即， 又，， 所以，故， 代入双曲线的方程得， 化简得，又，所以， 点 到直线的距离， ． 故的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $