精品解析：河南省漯河市第四高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年漯河市第四高级中学高二期中考试 高二数学试卷 本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.试题范围：选择性必修第一册 2.本试卷共4页四大题19小题，满分150分，考试时间120分钟. 3.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等用黑色字迹的签字笔分别填写在答题卡和试卷指定的位置上. 4.答卷时，须按照试卷上“考生须知”的要求，在答题卡上规定的位置上规范作答，在本试卷上作答一律无效. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线在轴上的截距是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】令并代入直线求对应的，即可得截距. 【详解】令，则，故直线在轴上的截距为. 故选：A 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化为标准方程，根据准线方程的定义求解． 【详解】抛物线的方程为， 则其焦点坐标为，准线方程为． 故选： 3. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 4. “圆截直线所得弦长为2”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，利用圆的弦长公式列方程求参数，结合充分、必要性的定义确定条件间的关系. 【详解】由的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 由，则或， 所以“圆截直线所得弦长为2”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将圆化为标准方程，分别判断两个圆的圆心坐标与半径，计算两圆圆心距离，判断两个圆的位置关系，从而得公切线条数. 【详解】的圆心坐标，半径为；化为标准方程为， 所以圆心坐标，半径为，则， 所以两个圆外切，所以公切线条数为条. 故选：D. 6. 在平行六面体中，与的交点为，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解. 【详解】在平行六面体中，与的交点为，则是的中点， 所以. 故选：B 7. 已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 依题意得点的轨迹是以焦距为直径的圆,因此,进而可求出离心率的取值范围. 【详解】因为, 所以点的轨迹是以焦距为直径的圆, 又满足的点总在椭圆内部, ∴, 故选:B. 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法,结合了向量,轨迹等相关知识,难度不大. 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得点的轨迹方程为， 根据题意可得直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，解得． 故选：D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】依题意，即,解得或. 故选：AB. 10. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断. 【详解】对于选项A：若，则C为双曲线，，故A正确； 对于选项B：若，则是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误； 对于选项C：若，则为双曲线，其渐近线方程为，即，故C正确； 对于选项D：若，则是圆,半径为，故D正确. 故选：ACD. 11. 设抛物线的焦点为，直线交于两点（在不同的象限），交轴于点，且，过作的准线的垂线，垂足为，设点.则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目条件结合抛物线的性质求出抛物线方程判断A选项；利用抛物线上任意一点到焦点与准线的距离相等判断B选项；利用抛物线点的坐标结合两点式直线方程判断C选项；利用两直线垂直的斜率关系与轴对称几何条件判断D选项. 【详解】如图，设与轴的交点为，过点作的准线的垂线，与轴的交点为， 因为，所以， 因为，所以，解得， 所以，A错误； ，B正确； 若在第一象限，由，得，所以， 同理， 所以直线的方程为； 同理若在第四象限直线的方程为 所以直线的方程为，C正确； ，由对称性不妨使在第一象限，由上可知， 所以，所以与垂直， 又因为垂直平分，所以与关于直线对称，D正确. 故选：BCD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线关于轴对称的直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点关于轴的对称点为，利用对称性质，即得坐标之间的关系，将其代入原方程，化简即得所求直线方程. 【详解】在直线上任取点，设点关于轴的对称点为， 由对称的性质，可得，将其代入，可得. 即可得所求直线的方程为. 故答案为：. 13. 已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】，因为平面的一个法向量为， 所以，解得， 则，又， 则点到平面的距离为. 故答案为:. 14. 设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的定义， 所以，， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以， 在中，， 即，即，所以. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程； （2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数的值. 【小问1详解】 直线经过、两点， ， 直线，即：． 【小问2详解】 由，直线，， 得，解得， 即实数的值为． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案. 【小问1详解】 （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. 【小问2详解】 ①由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，且与曲线交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的概念可知曲线为双曲线的一支，进而根据已知数据可求双曲线的方程； （2）由（1）知：，即直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理､弦长公式及三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，得， 所以点的轨迹即的方程为以点为焦点， 实轴为，虚轴为2的双曲线的右支，即. 【小问2详解】 由（1）知：，即直线的方程为. 设，联立，得， 满足且， 由弦长公式得： ， 点到直线的距离， 所以. 18. 在四棱锥中，平面ABCD，，是的中点，在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，取中点， 因为且， 又因为，分别为，的中点， 所以且， 所以且，四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 存在，，理由如下： 设，， 所以，所以， 所以， 因为与平面所成角的正弦值为，所以， 整理得 ，解得 ，（舍）， 所以存在满足条件的点，，则. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解； （3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以，又， 又因为，，所以， 如图2，以为原点，，，所在方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设点坐标为，则，， 由得，则，所以，， 设平面的一个法向量为， 由， 令，得 ， 设平面的一个法向量为，由， 令，得 ， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为.若在轴上方，且，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2） 依题意，直线的斜率必存在，可设其方程为：， 由，消去可得：， 因， 设，则， 由可得. 即，整理得， 将韦达定理代入，可得， 即，化简得，此时经检验符合题意， 故直线的方程为：，恒过定点. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率，及椭圆上的点到焦点的最小距离列式求出，即得椭圆方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，求得韦达定理，利用化简后代入韦达定理，推得，即可证明直线过定点. 【小问1详解】 由题意，即，因点为椭圆上的点，故线段的最小值为， 联立两方程解得，则， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年漯河市第四高级中学高二期中考试 高二数学试卷 本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.试题范围：选择性必修第一册 2.本试卷共4页四大题19小题，满分150分，考试时间120分钟. 3.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等用黑色字迹的签字笔分别填写在答题卡和试卷指定的位置上. 4.答卷时，须按照试卷上“考生须知”的要求，在答题卡上规定的位置上规范作答，在本试卷上作答一律无效. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线在轴上的截距是（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. “圆截直线所得弦长为2”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 圆与圆公切线的条数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，与的交点为，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2 10. 已知曲线，则下列正确的有（ ） A. 若，则曲线的离心率为 B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上 C. 若，则为双曲线，其渐近线方程为 D. 若，则是圆，其半径为 11. 设抛物线的焦点为，直线交于两点（在不同的象限），交轴于点，且，过作的准线的垂线，垂足为，设点.则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线关于轴对称的直线的方程为__________. 13. 已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为______. 14. 设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线经过、两点． （1）求直线的方程； （2）设直线，若，求实数的值． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 17. 在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，且与曲线交于两点，求的面积. 18. 在四棱锥中，平面ABCD，，是的中点，在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． （3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 19. 椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为椭圆上的两个不同的动点，线段的最小值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为.若在轴上方，且，求证：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $