精品解析：福建省厦门市梧桐实验学校2025-2026学年上学期九年级数学学科期中考卷

厦门市梧桐实验学校2025-2026学年第一学期九年级数学学科期中考卷 试卷满分：150分；考试时间：120分钟； 注意事项： （1）答题前填写好自己的班级、姓名、座号． （2）所有答案需写在答题卡指定区域，答在框外一律不得分． （3）选择题用2B铅笔填涂，其余一律用黑色水笔作答；不得使用涂改液/带． 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1. 方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项．找出一元二次方程的一次项系数即可． 【详解】解：， 即， 方程的一次项系数是． 故答案为：B． 2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据二次函数图象的平移规律“上加下减”，向上平移时，在整个函数表达式后加上平移单位，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线 向上平移2个单位长度， ∴新解析式为， 故选：B． 4. 方程的根为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 0或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ 或， 故选：D． 5. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：A． 6. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．根据圆周角定理可得即可求解． 【详解】解：， ， 故选：C． 7. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 抛物线经过点，记该抛物线的对称轴为，若，则下列推断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 根据点和纵坐标相同，得出抛物线对称轴为：，结合，得出，再分为和分别求解即可． 【详解】解：∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为：， ∵， ∴， 解得：， 当时，，即抛物线与y轴交点坐标为， 当时，抛物线开口向上，函数值随距离对称轴的水平距离增大而增大． ∵点和到对称轴的距离相等，均为2， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵，故，距离大于2 ， ∴点到对称轴的距离最大，其次是点，， ∴， 当时，抛物线开口向下，函数值随距离对称轴的水平距离增大而减小． 同理可得，， 故选：A． 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的对称性，关于原点对称的两个点的各个坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的对称，熟记点的对称的坐标特征是解决问题的关键． 10. 已知是方程的一个根，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将已知解代入方程，求解参数m即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 11. 抛物线经过点和，则它的对称轴为_____________． 【答案】直线 【解析】 【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称轴为该两点横坐标和的一半，由此得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴它的对称轴为直线， 故答案为：直线． 12. 如图，在中，，，，D是的中点，点B，E关于点D成中心对称，则的长为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再根据中心对称的性质可得，最后证明即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点B，E关于点D成中心对称， ∴， ∵D是的中点， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，中心对称的定义，中点的定义以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握对应点到对称中心距离相等． 13. 如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质勾股定理，所对直角边是斜边的一半，由是等边三角形得，，又可得，，再通过勾股定理，旋转性质，线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由旋转性质可知：， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形两个锐角互余求出相应角度． 根据求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：． 故答案为：． 15. 如图，是的直径，弦，垂足为，如果，，那么线段的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理计算即可； 【详解】连接， 在中， ，， 由勾股定理，得， 即线段的长为3． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确计算是解题的关键． 16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系；过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可． 【详解】如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， 在和中， ， ， ， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 根据公式法求解即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质得，结合，证明，即． 【详解】略． 20. 中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到14.4万人．求参观人数的月平均增长率． 【答案】参观人数的月平均增长率为． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握关于增长率的公式是解答此题的关键．根据公式：（其中表示增长前的量，表示增长后的量，表示月平均增长率，表示月份数），列方程求解即可． 【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：或（舍去） 答：参观人数的月平均增长率为． 21. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动， 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中，________，________； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号） （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由． 【答案】（1）3.75，2.0 （2）② （3） 这片树叶更可能来自荔枝，理由如下： 这片树叶长，宽 ，长宽比大约为2.0， 根据平均数这片树叶可能来自荔枝树． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义，方差越小，形状差别越小，根据树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，即可判断荔枝树叶的长宽比； （3）计算该树叶的长宽比即可判断来自哪颗树． 【小问1详解】 芒果树叶的长宽比中数据从小到大排序处在第5、6位的两个数的平均数为，因此中位数m=3.75； 荔枝树叶的长宽比中数据出现次数最多的是2.0，因此众数n=2.0； 故答案为：3.75，2.0； 【小问2详解】 合理的是②，理由如下：从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的长宽比的方差较小，所以芒果叶形状差别更小；从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长宽比为2，所以荔枝树叶的长约为宽的两倍； 故答案为：②； 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查了统计图中中位数、众数、平均数、方差的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的关键． 22. 如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴设，则有， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 23. 如图，在中，， （1）尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质； （1）先以为圆心，为半径画弧与的交点即为，再分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交点即为； （2）由（1）可得，，，，即可求出，再根据的平分线结合等腰三角形的三线合一得到，最后根据斜边中线得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 由（1）可得，，，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点F，， ∴， ∴． 24. 如图1，排球场长为18，宽为9，网高为，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即，这时水平距离，以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．如图    （1）若球向正前方运动即x轴垂直于底线 ①求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式不必写出x取值范围 ②判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点如图1，点P距底线1m，边线，则发球点O在底线距离右边线______米参考数据：取 【答案】（1）①； ②这次发球过网，但出界了，理由如下： 当时，， 当时，， 这次发球过网，但出界了； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的应用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义． （1）①求出抛物线表达式；②确定和时，对应函数的值即可求解； （2）当时，求出或舍去，然后由勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：①设抛物线的表达式为：， 将代入上式，则 解得：， 抛物线的表达式为：； ②略 【小问2详解】 解：如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q， 在中，， 当时，， 解得：或舍去， ， 而， 故， ， 发球点O在底线上且距右边线米处． 故答案为： 25. 在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点 、点 均在这个抛物线上（点 在点 的左侧），点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ． 将此抛物线上 两点之间的部分（含 两点）记为图象 ． ①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为6时，求 的值； ②设点 ，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，连接 ，当 （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个公共点时，求 的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②或； 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式及二次函数最值、与线段交点问题： （1）将对称轴及点代入求解即可得到答案； （2）①先求出二次函数与轴交点，分点在对称轴左边，对称轴右边两类讨论，根据最高与最低点的距离列式即可得到答案；②当点在点上方，用含的代数式表示出点，当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点，当点在点下方，根据，得出解析式，与抛物线解析式联立，求出时对应的的值，当时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交点坐标为， ∴，， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：①当时， ，解得：，， 当点在对称轴左边时，即时， ∵， ∴此时最高点为对称轴所在点，最低点为点， ∵最高与最低点的纵坐标差为6， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 当点在对称轴右边时，即， ∵， ∴此时最高点为A点，最低点为点， ∵最高与最低点的纵坐标差为6， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上所述：； ②当点在点上方，，即：时， ，点，即， 当点在抛物线上时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点， ∴，解得：，（舍）， 当点在点下方，，即：时， ，点，即， 设解析式为：，则：，解得：， ∴解析式为：，与抛物线解析式联立： ，整理得：， 当直线与抛物线只有一个交点时，，解得：， 当时，（不含内部）和二次函数在范围上的图像有且仅有一个公共点， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市梧桐实验学校2025-2026学年第一学期九年级数学学科期中考卷 试卷满分：150分；考试时间：120分钟； 注意事项： （1）答题前填写好自己的班级、姓名、座号． （2）所有答案需写在答题卡指定区域，答在框外一律不得分． （3）选择题用2B铅笔填涂，其余一律用黑色水笔作答；不得使用涂改液/带． 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1. 方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 0或3 5. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 如图，在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线经过点，记该抛物线的对称轴为，若，则下列推断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是______． 10. 已知是方程的一个根，则m的值为_______． 11. 抛物线经过点和，则它的对称轴为_____________． 12. 如图，在中，，，，D是的中点，点B，E关于点D成中心对称，则的长为____________． 13. 如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 14. 小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则________． 15. 如图，是的直径，弦，垂足为，如果，，那么线段的长为________． 16. 如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为___________． 三、解答题（共9小题，满分86分） 17. 解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 20. 中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到14.4万人．求参观人数的月平均增长率． 21. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动， 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 m 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 n 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中，________，________； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是________（填序号） （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树?并给出你的理由． 22. 如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，， （1）尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 24. 如图1，排球场长为18，宽为9，网高为，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即，这时水平距离，以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．如图    （1）若球向正前方运动即x轴垂直于底线 ①求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式不必写出x取值范围 ②判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点如图1，点P距底线1m，边线，则发球点O在底线距离右边线______米参考数据：取 25. 在平面直角坐标系中为，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点 、点 均在这个抛物线上（点 在点 的左侧），点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ． 将此抛物线上 两点之间的部分（含 两点）记为图象 ． ①当点 在 轴上方，图象 的最高与最低点的纵坐标差为6时，求 的值； ②设点 ，点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 后得到线段 ，连接 ，当 （不含内部）和二次函数在 范围上的图像有且仅有一个公共点时，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $