精品解析：福建省厦门市湖里实验中学2025--2026学年八年级上学期期中数学试卷

厦门市湖里实验中学2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 命题人：付英、林新明、张语桐 审核人：吴慧娇 班级：________姓名：________座号：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，在中，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，根据进行计算即可得出答案，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 故选：B． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算性质，如同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等．需根据运算法则逐一判断． 【详解】解：∵选项A：不是同类项，不能合并，故错误； ∵选项B：，故正确； ∵选项C：，故错误； ∵ 选项D：，故错误． ∴故选B． 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 6. 已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、三角形三边关系等知识点，确定第三边的范围是解本题的关键． 根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，再表示在数轴上即可． 【详解】解：已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围为，即，表示在数轴上为： ． 故选C． 7. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 与的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴平分，即是的角平分线，故A不符合题意； B．∵，， ∴平分，即是的角平分线，故B不符合题意； C．根据不能判断是的角平分线，故C符合题意； D．∵与的周长相等， ∴， ∴， ∵， ∴平分，即是的角平分线，故D不符合题意． 故选：C． 8. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 9. 如图，已知中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若在的中垂线上，N在的中垂线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据三角形的内角和得到，根据线段的垂直平分线的性质得到，，由等腰三角形的性质得到，，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，，推出 ，从而由平角定义得到结论． 【详解】解：， ． 在的中垂线上，在的中垂线上， ，． ，． ，， ，． ． ． 故选：C． 10. 如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题． ②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题． ③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可． ④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP． ⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可． 【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC ∵∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90° 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC ∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45° ∴∠APB=135°，故①正确 ∴∠BPD=45° 又∵PF⊥AD ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF 在△APH和△FPD中 ∴△APH≌△FPD（ASA） ∴PH=PD ∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确 ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD ∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD ∵∠HPD=90° ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP ∴S△EPH=S△EPD ∴S△APH=S△AED，故⑤正确 ∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD =S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD =S△ABP+S△APH+S△PBD =S△ABP+S△FPD+S△PBD =S△ABP+S△FBP =2S△ABP，故④不正确 若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH ∵DH∥BE ∴∠CDH=∠CBE=∠ABE ∴∠CDE=∠ABC ∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．利用等边对等角直接求解即可． 【详解】解：如图： ，， ， 故答案为：． 12. 如图，已知，添加________条件，使得能够用，判定． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．添加，可用判定两个三角形全等． 【详解】解：添加， 在和中， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，BD平分，若，，则点到的距离是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离：过直线外一点作直线的垂线，则垂线段的长叫这个点到直线的距离，掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于，根据与得到的长，由平分，根据角平分线的性到即可得到答案． 【详解】解：如图，作于， ，， ， 平分， 而， ， 点到的距离是． 故答案为：． 14. 已知，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，逆用同底数幂的乘法公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：10 15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，三角形的面积公式等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键． 由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，利用矩形的性质可求得，然后可求得的边上的高，最后利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，， ，，，， ， 四边形是长方形， ， ， 的边上的高， ， 故答案为：． 16. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 三、解答题（本大题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识， （1）根据乘方运算，绝对值，立方根等知识进行化简，再进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法进行计算，再合并同类项即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，某海岸沿线有，两个码头，在该海域内有两座小岛，，航线与相交于点，经测量，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， , ∴, ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）画出关于x轴对称的； （2）、、的坐标分别为______，______，______； （3）的面积是______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； AI    （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，找到的对应点，顺次连接即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （3）根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据坐标系可得、、的坐标分别为，，， 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，写出坐标系中点的坐标，根据网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，是边上的高，是的平分线，于F． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理先求解 再结合角平分线的定义可得答案， （2）利用垂直的定义结合三角形的内角和定理先求解 再求解 再结合垂直的定义三角形的内角和定理可得答案． 【小问1详解】 解：∵ ∴． ∵是的平分线， ∴． 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义等知识，在三角形中求角度时，通常需利用三角形内角和定理和外角的性质． 21. 如图，四边形ABCD中，，，，，，求CD的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．延长交于点E，证明是等边三角形，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 22. 如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点． （1）在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点． 【答案】（1） 解：如图，点G为所求． （2） 解：连接， 由作图可得平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴是中点． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质． （1）作出的角平分线，交于点G，则根据角平分线的性质得到点G到的距离等于； （2）连接，证明，得到，证明，从而得到，因此，根据等腰三角形的“三线合一”即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线” （1）如图1，在中，，请写出图中两对“等角三角形”． （2）如图2，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线． （3）在中，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 【答案】（1）与；与，与 （2） 证明：在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， 则， ∵，，，， ∴为的等角分割线． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意和三角形内角和定理即可求得“等角三角形”； （2）根据三角形内角和定理求出，根据为角平分线和“等角三角形”的定义即可证明； （3）当，，求得；当，有，得，即可求得；当，，则，不合题意舍去即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴， 则与是“等角三角形”， ∵，， ∴与是“等角三角形”． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，， ∵是的等角分割线， ∴， ②当时，， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，，则 那么（舍去）， 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线性质、“等角三角形”以及“等角分割线”，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． 24. 如图，在中，为三角形的角平分线，于点交于点． （1）若，，直接写出________； （2）若 ①求证：； ②若，，直接写出________． 【答案】（1）62 （2） ①如图所示，过A作，交的延长线于H， 则， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）求出，证明，即得； （2）①如图所示，过A作，交的延长线于H，证明，得，证明，，得，即得；②证明，得，可得，，由，得，即得． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：62． 【小问2详解】 ①略 ②在和中， ， ∴， ∴， ∵， 由①得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，线段垂直平分线性质，等腰三角形判定和性质，全等三角形及相似三角形判定和性质，作出正确的辅助线，是解题的关键. 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，点，且、满足． （1）________，________； （2）以为边作，点在直线的右侧且，求点的坐标； （3）若（2）的点在第四象限（如图2），与交于点，与轴交于点，连接，过点作交轴于点． ①求证：； ②直接写出点到的距离． 【答案】（1） （2）或 （3） ①证明：如图3，由（2）知点, 过点作轴于点,, 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ②1 【解析】 【分析】（1）通过解方程组求解即可； （2）分类讨论直角位置：若 ，通过构造全等三角形求解；若，利用求解； （3）①先证明得到, 再结合推导出, 最终利用完成证明；②构造垂线和, 并证明, 得到对应高相等，即. 【小问1详解】 解：， 得，， 把代入得，， 故答案为：； 【小问2详解】 由（1)知， ， ， 是直角三角形，且， 或， 当时，如图1， ， ， 过点作于, ， ， ， 在和中， ， ， ， ， Ⅱ、当时，如图2， 轴于，则， ， ， ， ， ， ， 综上，点或， 【小问3详解】 ①略 ②点到的距离为1，理由如下： 如图4，过点作于点, 过 点作于点, 由①知, ， ， ， ， ， ， ， ． 点到的距离为1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、平面直角坐标系中点的坐标确定、直角三角形与全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的不同情形分类讨论，构造全等三角形实现边角关系的转化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市湖里实验中学2025-2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 命题人：付英、林新明、张语桐 审核人：吴慧娇 班级：________姓名：________座号：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（ ） A. B. C. D. 与的周长相等 8. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 9. 如图，已知中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、．若在的中垂线上，N在的中垂线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在中，，则___________． 12. 如图，已知，添加________条件，使得能够用，判定． 13. 如图，在中，，BD平分，若，，则点到的距离是___________． 14. 已知，，则______． 15. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______． 16. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，某海岸沿线有，两个码头，在该海域内有两座小岛，，航线与相交于点，经测量，，，求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）画出关于x轴对称的； （2）、、的坐标分别为______，______，______； （3）的面积是______． 20. 如图，在△ABC中，是边上的高，是的平分线，于F． （1）求的度数； （2）求的度数． 21. 如图，四边形ABCD中，，，，，，求CD的长． 22. 如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点． （1）在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点． 23. 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线” （1）如图1，在中，，请写出图中两对“等角三角形”． （2）如图2，在中，为角平分线，，求证：为的等角分割线． （3）在中，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 24. 如图，在中，为三角形的角平分线，于点交于点． （1）若，，直接写出________； （2）若 ①求证：； ②若，，直接写出________． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，点，且、满足． （1）________，________； （2）以为边作，点在直线的右侧且，求点的坐标； （3）若（2）的点在第四象限（如图2），与交于点，与轴交于点，连接，过点作交轴于点． ①求证：； ②直接写出点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $