精品解析：云南省昆明市外国语学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

昆明市外国语学校2024-2025学年下学期5月月考 高二数学试卷 注意事项： 1.本次考试时间为120分钟，满分150分. 2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.考生务必将答案写在答题卡指定区域，超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的描述法化简集合，再结合集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，所以由，可得， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简求复数，再求其模长. 【详解】由题设， 所以. 故选：D 3. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】从频率分布直方图中求出各组的频率，判断出50%分位数在第三组内，列式求解即可. 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为，，第3个小组的频率为， 又，， 故50%分位数在内，. 故选：B. 4. 设，则中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，得展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数，再利用二式系数的性质，即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式各项的系数与二项式系数相等或互为相反数， 又由二项式系数的性质知，二项式系数最大的项为第五、第六项，即，， 所以中最大的是. 故选：B. 5. 在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据已知条件求出初始学习率和衰减系数，进而得到学习率关于训练迭代轮数的表达式，最后根据学习率的要求求出训练迭代轮数的最小值. 【详解】因为衰减学习率模型为， 所以根据已知条件可得：① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得：. 将代入①式中可得：. 所以衰减学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得：，所以. 因为为正数，所以最小值取34. 故选：D. 6. 已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 7. 已知、是抛物线上的两点，且线段的中点横坐标为，则的最大值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设、，则，即，可得出，结合抛物线的定义可求得的最大值. 【详解】设、，则，即. 易知抛物线的焦点为，所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， 所以，且， 由韦达定理可得，解得，合乎题意， 即当直线的方程为或时，取最大值. 故选：B. 8. 已知函数 ，则 的极值点的个数情况可能为 （ ） A. 没有极值点 B. 有无穷多个极值点 C. 恰有 2025 个极值点 D. 恰有 2026 个极值点 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，然后令导数为，将问题转化为两个函数图象的交点问题，通过分析交点个数来确定极值点的个数. 【详解】对求导，可得. 令，即，移项可得. 那么的极值点个数就等价于函数与图象的交点（不算切点）的个数. 当时，，与只有一个交点，且在该点两侧导数符号改变变，所以此时有1个极值点； 当时，与都是奇函数，图象关于原点对称， 是周期函数，是过原点的直线， 随着取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（不算切点）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为关于原点对称）. 所以该函数可能恰有2025个极值点. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为， C. 图象的对称轴方程为， D. 的单调递减区间为， 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象变换得到解析式，根据余弦型函数的周期、零点、对称轴、单调递减区间即可计算得到正确选项. 【详解】的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到图象， 再将所有的点向左平移个单位长度得到的图象， 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，令，得，解得，则的零点为，B正确； 对于C，令，得，则图象的对称轴方程为，C正确； 对于D，令，得，的单调递减区间为，D错误. 故选：BC 10. 如图，圆台上、下底面半径分别为1和2，侧面积为，四边形为其轴截面，四边形绕逆时针旋转60°到四边形，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. D. 圆台的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆台侧面积公式计算出母线长，再利用勾股定理计算出圆台的高，即可判断A；利用圆台的体积公式计算可判断B；如图作辅助线，利用余弦定理和勾股定理计算各边长可判断C；分类讨论外接球球心在圆台内和圆台外，通过半径长构建方程，求出符合题意的球心和半径，利用球的体积公式计算即可判断D. 【详解】 对于A，设圆台的母线长为，则圆台的侧面积，所以，即. 过点作于点，则， 在中，，所以圆台的高为，故A正确； 对于B，圆台的体积，故B错误； 对于C，过点作于点，连接，则， 在中，，根据余弦定理，， 在中，，所以，故C正确； 对于D，设圆台的外接球的球心为点，则点在直线上，设外接球半径为， 若球心在线段上，即在圆台内，设到圆台上底面距离为，则到下底面距离为， 则有，整理可得，解得， 所以，则外接球的表面积为. 若球心在线段外，即在圆台外，设到圆台下底面距离为，则到上底面距离为， 则有，整理得，不符合题意，舍去 所以，圆台的外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则的最小值可能为0.38 C. 若，，A，B相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据事件的包含关系结合条件概率公式即可判断A，D；根据事件的和与积求解，即可判断B；根据独立事件的性质即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，由于，则，故A正确； 对于B，因为，，所以， 由于，则，所以的最小值不可能为0.38，故B不正确； 对于C，若，，A，B相互独立，则，则，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，，若，，则前10项的和为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据递推关系式可确定数列为等差数列，设公差为，求得的值，从而得，于是可得前10项的和. 【详解】若，，则， 则数列为等差数列，设公差为， 由，可得，则， 所以， 则前10项的和为. 故答案为：. 13. 已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 在中，由，得， 设，由，得， 由为直角三角形，得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为： 14. 如图，五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】作出图形，结合二面角的定义分别求出，最后利用五面体的体积为2倍的四棱锥的体积加上三棱柱的体积求出结果即可. 【详解】如图，作于，，连接；同理作于，，连接，取中点，连接，再作于， 因为等腰梯形所在平面､等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为， 因为，房顶的底面为矩形，，所以， 又中点，，且，所以， 所以，，所以由二面角的定义可得，正切值均为.则.所以， 因为，，，且底面， 所以底面， 所以该五面体的体积为2倍的四棱锥的体积加上三棱柱的体积， 即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为1，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式化简求解. （2）利用（1），得到当时，由正弦定理得，结合，得出即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，则， 由，得，又， 所以. 【小问2详解】 （2）由（1）求解知，，所以， 由正弦定理得，所以，所以， 又， ∴， ∴. 16. 如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）已知平面， ①求二面角的正弦值： ②点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三棱柱形质以及中位线性质，根据线面平行判定定理证明即可得出结论； （2）①建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的余弦值即可得出其正弦值； ②利用空间距离的向量求法代入计算可得结果. 【小问1详解】 取的中点为，连接，如下图所示： M为棱的中点，的中点为，可得且； 又易知，且，所以，； 又，所以； 由三棱柱性质可得，因此， 所以，可知四边形为平行四边形； 可得，又平面，平面； 所以平面 【小问2详解】 ①由已知平面，可得； 又，可知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 可知， 设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 因此法向量可以为， 又易知平面与轴垂直，所以平面的一个法向量可以为； 则； 因此二面角的正弦值为； ②由（1）可知，平面的法向量可以为， 又， 所以点到平面的距离为. 17. 某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． （1）记李明前两题累计获奖为元，求的分布列及数学期望； （2）记李明第题回答正确的概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 【答案】（1）分布列见解析；数学期望为. （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的可能取值为，结合规定，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，求得其数学期望. （2）若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，回答正确的概率为，若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，回答正确的概率为，得到关系式，结合等比数列的定义，即可得证. 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为， 当时，两道生活类题目都答错，； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错，第2道生活类题目答对， 即； 当时，第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对，， 所以随机变量的分布列为： 0 10 30 所以. 【小问2详解】 若李明第道题目回答正确，则第道回答益智类题目，此时他回答正确的概率为， 若李明第道题目回答错误，则第道回答生活类题目，此时他回答正确的概率为， 所以， 则，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以， 的通项公式是. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）当时，求在处切线方程; （2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，进而得到切线方程； （2）求得，令，得到，分和，两种情况讨论，结合函数在区间上不单调，得出不等式，即可求得的取值范围； （3）根据题意，转化为在区间上恒成立，令，求得，令，得到，得到，得到的单调性和最小值，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 令，则， 若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意； 若，令，可得， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：当时，由恒成立，即， 即恒成立，即在上恒成立， 令， 可得， 令，则且， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为 19. 已知椭圆 的长轴的两个端点分别为 ，短轴的两个端点与 恰构成一个等边三角形的三个顶点. （1）求椭圆 的标准方程； （2）点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，列出满足的等量关系，求得，即可求得椭圆的方程； （2），且，根据已知条件将点坐标以及用表示，求得，由此可将与的面积用表示，构成方程即可求解，即可解答. 【小问1详解】 根据题意可得：，，解得， 故椭圆的方程为：. 【小问2详解】    设，且，则 ， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，得，所以点的坐标为， 因为，所以直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以， 联立直线和直线的方程， 消去得，即， 整理有：， 因为，所以， 所以，解得点的横坐标， ，， 要使得与的面积相等，应有， 整理有，即， 解得，，因为，（舍去），所以， 由可得点P的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市外国语学校2024-2025学年下学期5月月考 高二数学试卷 注意事项： 1.本次考试时间为120分钟，满分150分. 2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.考生务必将答案写在答题卡指定区域，超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的50%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（ ） A. 76 B. 77 C. 78 D. 79 4. 设，则中最大的是（ ） A. B. C. D. 5. 在神经网络优化中，指数衰减学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 6. 已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知、是抛物线上的两点，且线段的中点横坐标为，则的最大值是 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，则 的极值点的个数情况可能为 （ ） A. 没有极值点 B. 有无穷多个极值点 C. 恰有 2025 个极值点 D. 恰有 2026 个极值点 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为， C. 图象的对称轴方程为， D. 的单调递减区间为， 10. 如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为，四边形为其轴截面，四边形绕逆时针旋转60°到四边形，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. D. 圆台的外接球的表面积为 11. 已知A，B为两个事件，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则的最小值可能为0.38 C. 若，，A，B相互独立，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列中，，，若，，则前10项的和为_____________． 13. 已知为椭圆的右焦点，为原点，为上一点，，若，则的离心率为____________． 14. 如图，五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．已知，且等腰梯形所在平面，等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若的面积为1，，求的值． 16. 如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）已知平面， ①求二面角的正弦值： ②点到平面距离. 17. 某电视台为迎接2025年新春佳节的到来，特举办一个有奖竞猜节目，问题有生活类、益智类两类．每位参赛者回答次，每次回答一个问题，每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取，规定：对所有的问题若答对则下一题从益智类题库中随机抽取；若答错，则下一题从生活类题库中随机抽取．已知答对一个生活类题目得10元，答错得0元；答对一个益智类题目得20元，答错得0元．已知李明答对每个生活类题目的概率均为，答对每个益智类题目的概率均为，且每次回答正确与否相互独立． （1）记李明前两题累计获奖为元，求分布列及数学期望； （2）记李明第题回答正确概率为证明：为等比数列，并求的通项公式． 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）当时，求在处的切线方程; （2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆 的长轴的两个端点分别为 ，短轴的两个端点与 恰构成一个等边三角形的三个顶点. （1）求椭圆 的标准方程； （2）点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $