精品解析：湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

衡阳市八中2026年高二下学期期末考试试题 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案写在试题卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的实部大于0，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. 10 B. C. D. 4. 已知函数与函数在区间上的图像交于A，B，C三点，则的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知.则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ） A. 20种 B. 19种 C. 18种 D. 17种 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，且，则 D. 若，，则至少与，中一个平行 10. 已知抛物线过点，焦点为，点为抛物线上不同的两点，则（ ） A. B. 存在直线，使得当直线过点时，有成立 C. D. 若，则 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，，下列结论正确的是（    ） A. B. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 C. D. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则__________． 13. 已知椭圆C:，若不过原点且斜率为的直线与相交于，两点，且线段的中点为，则=____. 14. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了研究某地居民的性别和是否喜欢京剧的关联性，某机构调查了当地200位居民，得到如下列联表： 单位：人 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 140 女 20 合计 200 （1）将列联表中数据补充完整，依据的独立性检验，能否认为居民是否喜欢京剧与性别有关？ （2）从被调查的女性居民中按是否喜欢京剧采用分层随机抽样的方法选取6人参与游戏，游戏规则如下：第一轮从6人中随机选取1人，若选中的居民喜欢京剧，则游戏结束；若选中的居民不喜欢京剧，则从剩下的人中进行下一轮选取，以此类推，直至选中的居民喜欢京剧，游戏结束．记游戏结束时选取的人数为X，求X的分布列与期望． 附：，n＝a＋b＋c＋d． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 在中，，． （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，，求的面积． 17. 已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. （1）求的方程. （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 18. 如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 19. 已知函数，其中，. （1）求的单调区间； （2）若的极小值点为1，且， （ⅰ）证明：，； （ⅱ）设函数，若有唯一零点，证明：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2026年高二下学期期末考试试题 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案写在试题卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将选项代入逐一判断即可. 【详解】因为集合， 所以，所以A，B，C错误. 因为，所以，正确. 故选：D. 2. 若复数的实部大于0，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出的代数形式，再利用复数乘法运算及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得， 则，因此，而，解得， 所以. 故选：A 3. 已知向量，若，则的值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系求出，再结合向量的坐标运算和模长公式求解. 【详解】由，可得，解得， ， ，则. 故选：D. 4. 已知函数与函数在区间上的图像交于A，B，C三点，则的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出于A，B，C三点坐标，得出是等腰三角形，进而求出面积. 【详解】，则，令，即或或，解得：，，，不妨设，，，则为等腰三角形， 故选：A 5. 已知直线与圆：相交于两点，其中点为圆心，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可求的取值范围. 【详解】化为，所以的圆心为，半径为2. ，其中为圆心到直线的距离. 因为，所以，因为，所以. 故选：B 6. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过将沿翻折至与共面，把空间中求最小值的问题，转化为平面内三点共线时的线段最短问题，结合已知边长与正方形性质，计算出相关线段长度，利用勾股定理求得等腰 的高，进而算出其面积. 【详解】如图，将沿着翻折，使其与共面， 可知当三点共线时，取得最小值. 过作，因为，侧面是正方形， 所以， 因为在直三棱柱中，，，，所以平面， 又平面，所以，翻折之后两者的垂直关系不变， 则为的中点，则， 则的边上的高为， 则的面积为. 7. 已知.则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，分别构造和， 利用其单调性，比较的大小关系，进而得到的大小关系. 【详解】因为， 所以， ， 令， ，令， 则，所以在单调递减， 所以，所以在恒成立， 所以在单调递减，所以， 所以，即，所以. ， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以在恒成立，所以在单调递减 所以，所以，即， 所以，即. 综上，. 故选：B. 8. 如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ） A. 20种 B. 19种 C. 18种 D. 17种 【答案】D 【解析】 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】第一行全蓝（蓝蓝蓝）： 第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1(全蓝)+3(1个红)+1(2个不相邻红)种； 第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）： 第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为(蓝 X Y)， 要求X、Y不都红，共3种合法染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； 第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）： 第二行中间格子不能为红，第二行格式为(X 蓝 Y)， X、Y无相邻限制，共种合法染色； 第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）： 和第一种情况对称，共3种合法染色； 第一行两个红（红蓝红）： 第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为(蓝 X 蓝)， X可红可蓝，共2种合法染色. 所以总染色方法数：种，故选D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，且，则 D. 若，，则至少与，中一个平行 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：若，则内存在直线满足，又，故垂直内所有直线，即，因此，A正确； 选项B：若，，则可能平行于，也可能在平面内，并非一定有，B错误； 选项C：若且，可得，又，根据“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”，可知，C正确； 选项D：为不同直线，若，结合、，可得； 同理若则； 若不在内，则由，同时在内，可得且， 综上至少与中一个平行，D正确. 10. 已知抛物线过点，焦点为，点为抛物线上不同的两点，则（ ） A. B. 存在直线，使得当直线过点时，有成立 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A.将代入抛物线方程求解即可.选项B.分析过焦点的弦长的最小值与题干比较求解即可.选项C.设出坐标，利用向量内积得到，再利用二次函数最值求解即可.选项D.根据题意分析，再利用焦半径公式得到，进而得到，利用三角函数的最值求解即可. 【详解】对于A，将点代入可得，得，故A正确； 对于B，若直线过点，则为抛物线的焦点弦长. 因为抛物线最短焦点弦长为其通径长，为，故B错误， 对于C，显然直线不与轴平行，设直线与轴交于点，， 设直线方程为.联立方程，化简得， 根据韦达定理，，故. 当时，取得最小值，故C正确； 对于D，设为以射线为始边，射线为终边的角，由在抛物线上运动，不妨取. 因为，所以. 设，则，进而. 根据抛物线定义，，解得，故或. ①当时，， 当时，取得最小值 ②当时，， 当时，取得最小值. 综上，，故D正确. 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，，下列结论正确的是（    ） A. B. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 C. D. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件概率计算公式和全概率计算公式可判断AC，由贝叶斯公式可判断BD. 【详解】奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A正确； 奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故C正确； 对于B、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 （2）当甲更改选择时 若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 又甲更改选择时，选号箱或号箱的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故D正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故B错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】设公共点的横坐标为，由导数的几何意义可得或，再分别代入，求解即可. 【详解】设公共点的横坐标为，对求导，得； 对求导，得， 由题意可得，即， 解得或，又， 当时，则有，解得； 当时，则有，解得. 13. 已知椭圆C:，若不过原点且斜率为的直线与相交于，两点，且线段的中点为，则=____. 【答案】 【解析】 【分析】分别设，，然后再利用点差法即可求解. 【详解】设，， 因为，两点都在椭圆上， 则，两式相减可得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 【答案】1150 【解析】 【分析】根据给定条件，确定不大于的集合中元素个数，不大于的集合中元素个数，再列出方程并确定其整数解，利用等差数列、等比数列前n项和公式求解. 【详解】依题意，，由，令，显然集合中小于的元素有个， 集合中不大于的元素有个，因此， 由，令， 同理，于是，， 令，则， 由，得，则， 又数列单调递增，而，因此， 当时，，解得；当时，，无整数解； 当时，，无整数解；当时，，无整数解， 则，， 集合中小于的元素有32个，它们的和为， 集合中不大于的元素有6个，它们的和为， 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了研究某地居民的性别和是否喜欢京剧的关联性，某机构调查了当地200位居民，得到如下列联表： 单位：人 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 140 女 20 合计 200 （1）将列联表中数据补充完整，依据的独立性检验，能否认为居民是否喜欢京剧与性别有关？ （2）从被调查的女性居民中按是否喜欢京剧采用分层随机抽样的方法选取6人参与游戏，游戏规则如下：第一轮从6人中随机选取1人，若选中的居民喜欢京剧，则游戏结束；若选中的居民不喜欢京剧，则从剩下的人中进行下一轮选取，以此类推，直至选中的居民喜欢京剧，游戏结束．记游戏结束时选取的人数为X，求X的分布列与期望． 附：，n＝a＋b＋c＋d． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 60 140 女 40 20 60 合计 120 80 200 不能认为居民是否喜欢京剧与性别有关 （2）X的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望 【解析】 【小问1详解】 不喜欢京剧的男生数量为：(人)；合计女生数量为：(人)； 不喜欢京剧的男女生数量和为：(人)； 喜欢京剧的男女生数量和为：(人)； 喜欢京剧的女生数量为：(人). 列联表补充如下： 性别 京剧 合计 喜欢 不喜欢 男 80 60 140 女 40 20 60 合计 120 80 200 零假设为：是否喜欢京剧与性别独立，即：是否喜欢京剧与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立， 认为居民是否喜欢京剧与性别无关. 【小问2详解】 按分层抽样抽取喜欢京剧的女生数量为：(人)，不喜欢京剧的女生数量为：(人) 记游戏结束时选取的人数为，则可能取值为 ,,, 所以的分布列为： X 1 2 3 P 数学期望. 16. 在中，，． （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理即可求得结果. （2）利用同角三角函数的平方关系先求出的值，再正弦定理即可求得， 进而求得,利用三角形的面积公式即可求的结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，在中，由正弦定理得， 而，，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 在中，因为，所以， 由正弦定理得，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以 ， 所以的面积． 17. 已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. （1）求的方程. （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）知，， 设，，直线， 代入，整理得， ，且，得， ，， ∴直线，， ∴直线，， ，， ， . （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）（i）设直线，代入双曲线方程，利用韦达定理证明即可； （ⅱ）利用面积公式结合韦达定理把表示成的函数，通过解析式判断最小值. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为. 由题知，，，， 的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii） ， 其中， ， ， ∴当时，. 18. 如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点. （1）证明：平面平面； （2）设，，点F在线段BD上， （i）求二面角的余弦值； （ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 由于， 故，则， 由于E为AC的中点，所以， 因为平面， 故平面，又平面， 故平面平面. 【小问2详解】 （i）因为， 所以为边长为2的等边三角形，则， ， ， 又平面， 故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （ii）设则， 所以， 则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 19. 已知函数，其中，. （1）求的单调区间； （2）若的极小值点为1，且， （ⅰ）证明：，； （ⅱ）设函数，若有唯一零点，证明：，. 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）（ⅰ）根据题意，求得，，得到，令，求得为偶函数， 转化为当时，恒成立，结合二项展开式和组合数的性质，即可得证； （ⅱ）根据题意，得到，设，利用导数求得单调性和最小值，得到，进而分别证得和，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 可得其定义域为，且， 当时，可得，所以在和上单调递减； 当时，令，可得或， 令，可得或 因此，当时，无单调递增区间，单调递减区间为和； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 【小问2详解】 解：（ⅰ）因为的极小值点为1，可得，即，解得， 又因为，可得，即，符合题意， 设， 因为函数的定义域关于原点对称， 且 ，所以函数为偶函数， 只需证明时，不等式恒成立， 因为 所以， 又因为， 所以 ， 因为， 所以， 则， 即， （ⅱ）由函数，且函数有唯一零点， 可得，即， 设，可得， 当，，单调递减；当，，单调递增； 所以在取最小值， 即，即，当且仅当时等号成立， 先证， 因为，可得，即， 因为，所以，可得， 当，， 可得， 当时也满足，所以， 再证： 由，可得， 又由，所以，即， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以，所以，则， ， 综上可得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $