精品解析：浙江省乐清市仙溪镇福溪学校2025-2026学年上学期九年级数学期中监测试卷

仙溪镇福溪中学2025年秋期九年级数学期中监测试卷 一、选择题（30分） 1. 从盒子里摸出一个球，一定能摸出白球的是（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 1 6. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，到现在人们也仍将谦谦君子喻为“温润如玉”．如图2，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 10. 如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 11. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（18分） 12. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________． 13. 平面内有两点P，O，的半径为5，若，则点P与的位置关系是______（填写“圆内”“圆外”和“圆上”其中一个） 14. 折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为___________度． 15. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是______． 16. 已知抛物线的顶点为，直线平行于轴，且与抛物线交于、两点，点到直线的距离为，若，则__________． 17. 如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为__________． 三、解答题（52分） 18. 已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在该抛物线上． 19. 在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球． （1）摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？ （2）若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？ 20. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ （2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，且过点． （1）求a的值和点A，点B的坐标； （2）如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交y轴于点D，连结，过点B作交y轴于点E，连结，求面积的最大值． 23. 如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仙溪镇福溪中学2025年秋期九年级数学期中监测试卷 一、选择题（30分） 1. 从盒子里摸出一个球，一定能摸出白球的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性，选项A中盒子里全是白球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球必然是白球；选项B中盒子里全是黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球不可能是白球；选项C、D中盒子里既有白球，又有黑球，所以从这个盒子里摸球，摸出的球可能是白球，也有可能是黑球，据此判断即可． 【详解】解：因为选项A中盒子里全是白球， 所以从盒子里摸出一个球，一定能摸出白球， 故选：A． 2. 把抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移4个单位长度， ∴变为． ∵再向上平移2个单位长度， ∴． 故选B． 3. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4. 抛物线的图像经过点，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 5. 某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷3次，都是反面朝上，则该同学抛掷第4次出现正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是反面朝上， 他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 6. 点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据二次函数的增减性，计算点与对称轴的距离，解答即可 【详解】解：根据题意，二次函数为，开口向下，对称轴为， 故离对称轴越远处的点的函数值越小， 又，，， 距离由近到远依次为、、， 故， 故选：D． 7. 玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，到现在人们也仍将谦谦君子喻为“温润如玉”．如图2，现有一块直径为的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴为的直径，即， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 9. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线， ∴，即，故②正确； ∴，故①错误； 由图象可知：当时，则有，故③正确； 若m为任意值，当时，则， 当时，y有最小值，最小值为， ∴， ∴， ∴，故④错误； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点问题，如图， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数也过点， ∴方程的两个根分别为， ∴；故⑤正确； 综上所述：正确的有②③⑤； 故选：B． 10. 如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，旋转的性质等知识，过F作于G，并反向延长交于H，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，设，则，根据三角形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过F作于G，并反向延长交于H， ∵正方形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为， 故选：D． 11. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点为上点，且，垂足为，点是线段上一点，且，若，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N，根据垂径定理可证，从而证明，得出，，根据圆内接四边形的性质得，设，则， ，，求出，在中，由勾股定理求出，再由勾股定理求出，然后在中根据求出即可求解． 【详解】如图，作，交的延长线于点M，作，交的延长线于点N， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则则， ，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴的半径为． 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 二、填空题（18分） 12. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率求法进而得出答案． 【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6， ∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键． 13. 平面内有两点P，O，的半径为5，若，则点P与的位置关系是______（填写“圆内”“圆外”和“圆上”其中一个） 【答案】圆内 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 根据点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，，且， ∴点P在内部，即点P与的位置关系是圆内． 故答案为：圆内． 14. 折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 15. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴无交点， ∴无实数根， ∴， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 16. 已知抛物线的顶点为，直线平行于轴，且与抛物线交于、两点，点到直线的距离为，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的应用等知识，先求出顶点坐标为，设直线的方程为（平行于轴），与抛物线方程联立，并整理得，设A、B的横坐标为，，根据根与系数的关系得出，，根据完全平方公式的变形求出，则，结合已知可得出，设 ，则，解得或，然后分别检验求解即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 设直线的方程为（平行于轴）， 与抛物线方程联立，并整理得， 设A、B的横坐标为，， ∴，， ∴， ∴， ∵点到直线的距离为，， ∴， 设 ，则，解得或， 当时，，与有两个交点矛盾， 故，则． 故答案为：4． 17. 如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，，根据圆周角定理得出，由三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，根据证明，得出，则点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上，故当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为，即可求解． 【详解】解：以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上， ∴当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为， 故答案为：． 三、解答题（52分） 18. 已知二次函数，当时，函数值是4；当时，函数值是3． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在该抛物线上． 【答案】（1） （2）点不在抛物线上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）把两组x，y值代入解析式得到关于b，c的二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）把代入求出y，再和所给点的纵坐标比较即可得解． 【小问1详解】 解：当时，函数值是4；当时，函数值是3， ， 解得， 这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 点不在该抛物线上． 19. 在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球． （1）摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？ （2）若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？ 【答案】（1） （2）5个 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率求数量，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）设放入个白色乒乓球，根据随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为列方程即可得解． 【小问1详解】 解：从抽奖箱里随机取出一个球有7种等可能结果，其中是黄色乒乓球的有4种结果， 所以从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是． 【小问2详解】 解：设放入个白色乒乓球， 由题意得：， 解得：． 经检验符合题意， 答：放入了5个白色乒乓球． 20. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD. 【答案】 过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【解析】 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】略 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ （2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件售价应定为50元 （2）每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大销售利润450元 【解析】 【分析】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，从而根据题意列出一元二次方程求解，并舍去不合题意的根即可； （2）由每件利润乘以销售量得到利润的函数关系式，化为顶点式，利用函数性质解答． 【小问1详解】 设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每件售价应定为50元； 【小问2详解】 设每天的销售利润为w元． 依题意，得： 整理，得：， 化成顶点式，得， ∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式，并掌握将二次函数化为顶点式，利用函数的性质求最值是解题的关键． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，且过点． （1）求a的值和点A，点B的坐标； （2）如图2，点是抛物线第四象限上的点，且，直线交y轴于点D，连结，过点B作交y轴于点E，连结，求面积的最大值． 【答案】（1），， （2）面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入中，即可求得a的值，从而可得函数解析式；由所求函数解析式即可求得A、B两点的坐标； （2）求出直线的解析式，则可得点D的坐标，再求出直线与的解析式，则可得点E的坐标，从而求得的长，由三角形面积公式得的表达式，由一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得，， ，； 【小问2详解】 解：，是抛物线第四象限上的点， ∴， 设直线的解析式为，把B、P两点坐标分别代入解析式中， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， ， 随m的增大而增大， 又， 当时，有最大值为， 即面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，一次函数的性质，二次函数的图象与性质等知识． 23. 如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． （1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长． （2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P， ①求证：PE＝PF． ②若DF＝EF，求∠BAC的度数． 【答案】（1）； （2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH． ∵∠FGA＝∠ABC＝90°， ∴FG∥BC， ∴△OFH∽△OCB， ∴＝＝， 同理＝， ∴FH＝OE， ∵OE⊥AB．FH⊥AB， ∴OE∥FH， ∴四边形OEHF是平行四边形， ∴PE＝PF． ②∠BAC＝45° 【解析】 【分析】（1）解直角三角形求出AB，再证明∠AFB＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）①过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．想办法证明四边形OEHF是平行四边形可得结论． ②想办法证明FD＝FB，推出FO⊥BD，推出△AOB是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1， ∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝， ∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠C＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∵OF＝FC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°， ∵AE＝EB， ∴EF＝AB＝． （2）①略 ②∵OE∥FG∥BC， ∴＝＝1， ∴EG＝GB， ∴EF＝FB， ∵DF＝EF， ∴DF＝BF， ∵DO＝OB， ∴FO⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°． 【点睛】本题考查了解直角三角形、直径的性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，题目的综合性较强，添加辅助线较多，解题的关键是熟记并且灵活运用有关的性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $