精品解析：河南省郑州市创新实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

郑州市创新实验学校2025-2026学年九年级上期期中调研 数学试卷 注意：①答案写在答题卡上，写在试卷上无效，此卷不装订．②满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图. 根据主视图是从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A.主视图是三角形，故本选项符合题意； B. 主视图是矩形，故本选项不符合题意； C. 主视图是矩形，故本选项不符合题意； D. 主视图是正方形，故本选项不符合题意. 故选：A． 2. 下面方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程．据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、是一元二次方程，本选项符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 一个不透明的布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　　） A. 4个 B. 8个 C. 10个 D. 14个 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了利用频率估计概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可求解． 【详解】解：∵小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右， ∴黄色乒乓球的概率为0.4， ∴（个）， 答：估计盒子中黄色乒乓球的个数有8个， 故选：B． 4. 已知是，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据可得，，代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， 故选：D． 5. 根据下表中x与的对应值判断一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） x … 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 … … 0.0044 0.0269 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，找到相邻的两个的值，使的值分别大于0和小于0，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，； 当时，； ∴当时，存在一个的值使， 故一元二次方程的一个解的取值范围是； 故选C． 6. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键． 根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：由题意，，， ， ，， ，即 ， 故选：． 7. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．根据题意表示出种草部分的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：把小路平移后，如图所示， 设小路宽为x，则种草坪部分的长为，宽为， 由题意建立等量关系得： 故选：D 9. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，应用相关知识求解即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即，当点P运动到点D处时，，所以，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，，即，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形的周长为，故C正确，不符合题意； 当时，点P在中点处，如图， 此时的面积是面积的一半， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，故D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．连接，，由正方形的性质得出是直角三角形，再根据勾股定理求出，最后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：连接，，如下图， ∵和都是正方形， ∴，，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：C． 二、填空（共5题，每题3分，共15分） 11. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为______（精确到0.1）． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利用频率估计概率可判断该结果发生的概率为． 【详解】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为， 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零再进行计算，即可作答． 【详解】方程 是一元二次方程，因此二次项系数 ， 判别式 由于方程有两个不相等的实数根，故 ，即 ，解得 ， 故答案为且． 13. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有________名同学． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及传播问题的变式、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设全组共有名同学，则， ，即，解得或（舍弃）， 故答案为：． 14. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，得出是等边三角形是解题关键．根据正方形的性质，利用勾股定理可求出，根据菱形的性质，结合得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为： 15. 如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在的延长线上．连接，延长交于点，则 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，设，四边形和四边形都是正方形，得，，，根据勾股定理得，又四边形是平行四边形，则，再证是等腰直角三角形，根据性质得，设，则，再证明，从而根据相似三角形的性质得，即，最后求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 设， ∴， ∵的中点是， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 用你喜欢的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 17. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）补全调查结果的条形统计图； （2）小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息识别，用树状图或列表求概率，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据条形统计图和扇形统计图的信息得到总的人数，再根据圆心角的所占比例算出结果即可补全条形统计图； （2）审清题意可知，列出树状图得到结果即可； 【小问1详解】 解：由题意可得： 总的人数为：（人） 选厨艺的人数为：（人） 选园艺的人数为；（人） 【小问2详解】 解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A，B，C，D，E，画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种， ∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根互为倒数，求的值． 【答案】（1） 证明：整理原方程，得. ∵， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式与一元二次方程根的情况的关系，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）整理方程，由根的判别式列式得出，即可得证； （2）整理方程，由根与系数关系得出方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个根互为倒数， ∴，即 解得，． 19. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接，． （1）请判定与的数量关系； （2）当D在的中点，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 略 20. 塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 【答案】探索活动：北寺塔的高度为； 解决问题：①如图， ②塔刹的高度为 【解析】 【分析】本题考查了图形的相似和尺规作图，解题的关键在于读懂题意，正确作图． [探索活动]由题意知，，，可知∽，进而求解； [解决问题]①根据题意作图即可； ②根据题意可知，∽，利用相似求解． 【详解】解：[探索活动]由题意知，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 故北寺塔的高度为； [解决问题]①略 ②由[探索活动]同理得，， ∴， 解得， ， 故塔刹的高度为． 21. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？请说明理由； （3）设墙长为米若要确保能建面积为平方米的两种长宽不同的长方形鸡场，则的最小值是          （直接写出结果）． 【答案】（1）长为米，宽为米 （2）不能 （3）20 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【小问1详解】 解：设鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则鸡场的宽是，长为； 【小问2详解】 解：设鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成鸡场的面积不能达到； 【小问3详解】 解：由（1）的计算结果可知 当时，不能围成一个长方形鸡场； 当时，可以围成一个长方形鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形鸡场． 故的最小值是20. 22. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，=_______． （2）如图②，在线段上找一点，使． 【答案】（1） （2） 下图点即为所求作： 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易知，，，然后问题可求解； （2）同（1）的方法构造相似三角形，根据相似三角形的性质与判定可直接进行作图． 【小问1详解】 解：由图可知：，，， ； 故答案为： ； 【小问2详解】 略 23. 问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． （1）填空：①________；②的度数为________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）1， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得，于是有； ②先根据正方形的性质得出，再根据，得出，从而可利用求得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，同时得出，再根据，得出，从而可求得； （3）先求出，再设，从而可得，然后分两种情况解答，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 解：①∵将绕点B顺时针旋转到处， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； ②∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，． 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴ ∴， ∵，M为的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或(不合题意，舍去)， 当或时，点M不存在； 当E在延长线上时，如图，设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质综合，已知正切值求边长等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市创新实验学校2025-2026学年九年级上期期中调研 数学试卷 注意：①答案写在答题卡上，写在试卷上无效，此卷不装订．②满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　　） A. 4个 B. 8个 C. 10个 D. 14个 4. 已知是，那么（ ） A. B. C. D. 5. 根据下表中x与的对应值判断一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） x … 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 … … 0.0044 0.0269 … A. B. C. D. 6. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. 平行四边形的周长为44 D. 当时，的面积为20 10. 如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空（共5题，每题3分，共15分） 11. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为______（精确到0.1）． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 13. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有________名同学． 14. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为______． 15. 如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在的延长线上．连接，延长交于点，则 ________ ． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 用你喜欢的方法解下列一元二次方程： （1）； （2） 17. 某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展．为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： （1）补全调查结果的条形统计图； （2）小刚和小强分别从五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根互为倒数，求的值． 19. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接，． （1）请判定与的数量关系； （2）当D在的中点，四边形是什么特殊的四边形?请说明理由． 20. 塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度． 【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角； 【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度； 【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部． ①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）； ②经测量，，求塔刹的高度（精确到）． 21. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ （2）围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？请说明理由； （3）设墙长为米若要确保能建面积为平方米的两种长宽不同的长方形鸡场，则的最小值是          （直接写出结果）． 22. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，=_______． （2）如图②，在线段上找一点，使． 23. 问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． （1）填空：①________；②的度数为________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $