安徽省合肥市第十中学2025-2026学年高二上学期数学限时训练2试题

合肥十中2025-2026学年高二上学期数学 限时训练2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线1的一个方向向量为(-1，√3)，则它的倾斜角为() A.30 B.60 C.120 D.150 【答案】C 解：依题意，(-1，√3)是直线1的一个方向向量，所以直线1的斜率k=-√5，所以直线1的倾斜角为120°， 故选C. 2.已知点A(2,1,-1)关于y轴的对称点为B,则|AB|等于() A.3√2 B.2W6 C.2 D.2W5 【答案】D 解：由题意，点A(2,1,-1)关于y轴的对称点为B(-2,1,1), 由两点间的距离公式可得AB1=V/(-2-2)2+(1-1)2+(1+1)2=2V5.故选：D. 3.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,5),B(1,1,2),C(0,a,b),若A,B,C三点共线，则a+b的值为() A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】A 【解析】解：由于AB=(-1.-2,-3).BC=(-1,a-1,b-2),由于A,B,C三点共线，所以a-1=-2,b-2=-3, 解得a=-1,b=-1,故a+b=-2,故选：A 4.若如图中的直线，12，的斜率分别为k,k,飞，则() A.k<k2<k3 B.k<k<k C.k<k2<k D.k<k<k 【答案】D 解：设直线l1,l2,l的倾斜角分别为a,2,%,则由图知0°<<2<90°<<180°， 所以tano<0,tana2>tana>0,即k<0,k2>k>0.故选：D. 5.已知=(1,9,1)，2=，-3,2)，2=(0,2,1)，若{，2,2}不能构成空间的一个基底，则m=() A.3 B.1 C.5 D.7 【答案】B 第1页，共14页 解：{，，八，}不能构成空间的一个基底，则存在实数元，4，使得：n,=+n, =-入 [1=-1 即(，-3,2)=2(-1,9,1)+(0,2,1)，所以 -3=9元+2μ，解得： u=3,故选B. 2=元+4 m=1 6.直线1经过A(0,0),B(3,1)两点，直线2的倾斜角是直线1的倾斜角的2倍，则1，的斜率为() A B. 2W3 3 C.1 D.5 3 【答案】D 解：：直线经过A(0,0),B(√3,1)两点，直线l的斜率为- 1-0V3 3-03 ，直线！的倾斜角为严 ~直线马的倾斜角是直线（的倾斜角的2倍，则的饭斜角为写，4的斜率为5，放选：D 7.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，A,B,C分别是射线PA,PB, PC上的点，且PA=2,PB=4,PC=3,D,E,F分别为PA,PB,B,C的中点，则点E到直线 DF的距离为(). A.Vi5 B.V②1 c33 D.V39 3 3 6 6 【答案】C 【解析】解：如图所示，M为AB,的中点， A E 则MF-AC-(PC-PA), FD-MD-MF-2PB-(PC-PAi)-(PA-PB-PC), 又FE-PC, 第2页，共14页 FE-FD--PC(PA-PE-PCA) =}PAPC-PEPG-PG的，又FE= s、1 (2x3x-4x3x 4 -39=3 2 FD-(PA-PE-PCI) d adG+d(-HlVd(-OI+aI+1Vd∧×- 号V2+#+39-2x2x4x号2x2x3x+2x4x3x 1 1 2 2 则os(FEFD = FE.FD 34v5 FE.FD 333 9，sim(FE,FD)=8 9 2 2 点B到直线DF的距离为FE卧，sin(FE,FD〉=V3,故选：C 6 8.如图，在正方体ABCD-AB,C,D中，O是AC中点，点P在线段AC上，若直线OP与平面DAC所成 的角为6，则sin0的取值范围是() D C D B 「23 A. 3’3 6别 c.43 n 【答案】A AP 【解析】解：如图，设正方体棱长为1，AC =(0≤入≤1)，则AP=4C, 第3页，共14页 ZA D B 以D为原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,二轴建立空间直角坐标系， 则41.00.ca1.0o(G20, 故A1C=AC=(-1,1,0),A1P=(-入，入.0)， 又400，)，则P0-元2，所以o乎-(（G-XA-号， 在正方体ABCD-AB,C,D中，可知体对角线B,D⊥平面D,AC, 所以DB=(1,L,1)是平面DAC的一个法向量， 3+(-)+1 所以sin0=cos(OP,DB》 xyg+()+1()+ 所以当=二时，s日取得最大值 , 当元=0或1时， 2 3 si8取得最小值y 3 23 所以sin0∈ 3、3 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在下列四个命题中，错误的是() A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线倾斜角的取值范围是[O,π) C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a D.若一条直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tano 【答案】ACD 第4页，共14页 解：对于A,当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，A错误； 对于B,直线倾斜角的取值范围是[O,不)，.B正确： 对于C,一条直线的斜率为tano,此直线的倾斜角不一定为a,如直线斜率为tan 6 ,其倾斜角为5红：C 6 错误： 对于D,一条直线的倾斜角为a时，它的斜率为tano或不存在，D错误. 故本题选ACD 10.已知直三棱柱ABC-AB,C,中，AB=AC=AA=2,AB⊥AC,点E为B,C的中点，则下列说法正 确的是() C A孤西+}c+国 B.AB∥平面ACE C.异面直线AE与AC所成的角的余弦值为 12 D.点A到平面ACE的距离为 2W5 5 【答案】ABD 解：对于4，丽-正+可+2-c+瓜+号西-c++画-49)-c++丽-40 =48+号4C+4,成A正确 第5页，共14页 A E 9 对于B,连接AC,交CA于F,连接EF, ,E为CB中点，矩形ACCA中F为AC中点，.EF∥AB, 又EFc平面ACE,AB丈平面ACE, 故AB∥平面ACE,故B正确： 对于C,由题可知直三棱柱ABC-AB,C,中AB⊥AC,AB⊥AA,AC⊥AA, AB.AC=AB.AA=AC.AA=0, AC=AC+CC=AC-44, 由A知正=}AB+Ac+4, 2 2 故1A亚P}AB+AC+AP -+}4c+4-11+4=6, l4Cr-4C-44P =AC+A4-2AC.A4=4+4=8, 4c证-4c-4-4+4C+44 c-=2-4-2, 故cos<AC,AE= AC.AF -23 |4CAE6xV§-6， 故异面直线AE与AC所成的角的余弦值为 ,故C错误； 6 对于D,方法一：以A为原点，以AC、AB、A4分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 第6页，共14页 B E A 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),A(0,0,2),E(1,1,2), 故AE=1,1,2),AC=(2,0,0),A4=(0,0,2), 设平面ACE的法向量为i=(x,y,z), mAE=x+y+2z=0 则 iAC=2x=0 取y=2,则x=0,二=-1，即i=(0,2,-1), 放点4面4c西的面终为1：是-25.数D正 √5 方法二：取AB,中点为H,连接EH,AH,过A作AM⊥AH于M, A H B / 11 E M C y B 易知EH∥AC,AC∥AC,故EH∥AC, 故平面ACE,即为平面ACEH, 由AC⊥AB,可知EH⊥AB, 第7页，共14页 由直三棱柱可知AA⊥平面AB,C,EHc平面AB,C1,故EH⊥AA, 又AA∩BA=A,AA、BAC平面ABB,A, 故EH⊥平面ABB,A,又AMC平面ABBA,故AM⊥EH, 又AM⊥AH,AHOEH=H,AH、EHC平面ACEH, 故AM⊥平面ACEH,即AM的长即为点A到平面ACE的距离， Rt△AAH中，AA=2,AH=1, 则AH=V5,故4M=2x1_25 5 5 故点4到平面ACB的距离为2√5 故D正确 故选：ABD. 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，点O为线段BD的中点，且点P满足BP=BC+BB1, 则下列说法正确的是() D C B DA B 1 A.若入=1，u=0,则Vp-4BD= 8 B.若元+u=1,则DP∥平面ABD 1 C若元=1，L=2,则OPL平面4BD D.若元=1,0≤u≤1时，直线OP与平面ABD所成的角为0，则si血85] 【答案】BCD 解：连接PD,PA,DP,BP,AC, 以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 第8页，共14页 D P 可8500.c0Lo.A,A0a.oc哈号0 则DP=DB+BP=DB+BC+BB=(1.1.0)+A(-1,0,0)+u(0.0.1)=(1-X,1.), 即P(1-入，14)， 对于A中，若元=1,4=0，则P(0,1,0),则P点与C点重合， 可得pD=B=0D}×x1x)x1-名所以A错误： 对于B中，若元+4=1，则P(4,1.),DP=(h.1.4-1),DA=(1,0,1),DB=(（1,1,0), 设平面ABD的法向量为i=(x,y,z）, 元.DA=x+之=0 则 元.DB1=x+y=0 取=1，可得x=-1,y=1,所以i=(-1,1,1), 由于DP.元=(4.14-1)(-1,1,1)=0，可得DP⊥i, 又因为D1P平面ABD,所以DP∥平面ABD,所以B正确： 对Fc中，若=1，u号则20l,0n=岁 由于=2OP,所以OP⊥平面ABD,所以C正确： 对于n电，若天=1,01时，可得P010,所以0P=(兮行0， 第9页，共14页 1 则sim0= OP.元 1+μ 1+2μ+2 1 2+2+2+2 OP·元 V3X15+i 1 2+2 3 2+2 1 1+ 2μ+2 2+2 ,115 设t=2μ+2'2 圆业2北+，心+0 16 2 16 则sin0=1 1 16 ×1+ 4t2-4t+9V3 1+ 9 4t+ -4 16 由于数=+行》在兮上单调隧说，在上单调始。 13 且4+、 ，42+3124×3+9 39 5.968 4×5+号=204×+ 425=5, 2 所以124+9-20，所以8=4+号-416,16+9 9 1≤11165221+16 -≤3 48, ,9 4t+2-4’ -4 4t+ √2s 16 1+ -4 1 所以333 +91,所以m0E x 16 3 ,],所以D正确 t 故选：BCD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量石=(1.m-2,n+3),万=(3.4m+1,2m-5),且a/6,则1+= 【答案】-21 解：向量a=(1,m-2.n+3).b=(3.4m+1.2m-5),且a/b,则4m+1=3(m-2), 2m-5=3(n+3),解得m=-7,n=-14,故m+n=-21.故答案为：-21. 13.已知直线1经过点P(1,0)且与以A(2,1),B(3,-2)为端点的线段AB有公共点，则直线1的倾斜角的取 值范围是 【答案】0孕u子 第10页，共14页合肥十中2025-2026学年高二上学期数学 限时训练2 考试时间：80分钟试卷分值：100分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线1的一个方向向量为(-1，√3)，则它的倾斜角为() A.30 B.60 C.120 D.150 2.已知点A(2,1,-1)关于y轴的对称点为B,则|AB等于() A.32 B.2W6 C.2 D.25 3.在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,5),B(1,1,2),C0,a,b),若A,B,C三点共线，则a+b的值为() A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.若如图中的直线l,山2，山的斜率分别为k,k2,k3,则() A.k <k<k B.k3 <k<k2 C.k3<k2<k D.k <ks <k2 0 5.己知n=(-1,9,1),n2=(m,-3,2),n3=(0,2,1),若{n,n2,n}不能构成空间的一个基底，则m=() A.3 B.1 C.5 D.7 6.直线l经过A(0,0),B(V3,1)两点，直线l的倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，则12的斜率为() A.3 B.35 C.1 D.3 3 3 7.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，A,B,C分别是射线PA,PB, PC上的点，且PA=2,PB=4,PC=3,D,E,F分别为PA,PB,B,C的中点，则点E到直线 DF的距离为() V15 A. B.V2 39 D. 3 3 6 6 8.如图，在正方体ABCD-AB,C,D中，O是AC中点，点P在线段AC上，若直线OP与平面DAC所成 的角为0，则sin0的取值范围是() D B D B 3’3 周 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在下列四个命题中，错误的是(） A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线倾斜角的取值范围是[O,π) C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a D.若一条直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tana I0.已知直三棱柱ABC-AB,C中，AB=AC=AA=2,AB⊥AC,点E为B,C的中点，则下列说法正 确的是() C A征=)B+)4C+ B.AB,∥平面ACE C异面直线4E与AC所成的角的余弦值为 12 D.点4到平面4CE的距离为2 5 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，点O为线段BD的中点，且点P满足BP=BC+uBB,, 则下列说法正确的是() D B B A.若元=1,4=0，则Vp-ABD=8 B.若入+H=1,则D,P∥平面A,BD C.若入=1,4三)，则OP上平面4BD 0≤丛≤1，直线0P与平面4BD所成的角为0，： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,m-2,n+3),万=(3,4m+1,2n-5),且a∥b,则m+n= 13.已知直线1经过点P(1,0)且与以A(2,1),B(3,-2)为端点的线段AB有公共点，则直线1的倾斜角的取 值范围是一 14.在空间直角坐标系Oz中，过点P(x,o,zo)且一个法向量为i=(a,b,C)的平面a的方程为 a(x-x)+b(y-y)+c(z-o)=0,阅读上面材料，解决下面问题：己知平面a的方程为 2x-y-2z+5=0,直线1是平面：x-y-3=0与平面Y:2x+3y+5z+2=0的交线，则直线1与平面 a所成角的正弦值为一· 四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题12分) 如图，己知以O为圆心，2为半径的圆在平面上，若PO⊥，且PO=4,OA、OB为圆O的半径，且 ∠AOB=90°，M为线段AB的中点.求： B (I)异面直线OB,PM所成角的余弦值； (2)点O到平面PAB的距离. 16.(本小题15分) 在直角梯形ABCD中，AD/IBC,BC=2AD=2AB=2V2,AB⊥BC,如图所示，把△ABD沿BD 翻折，使得平面ABD⊥平面BCD (I)求证：CD⊥AB: (2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离： (3)在线段BC上是否存在点N,使得AW与平面ACD所成的角为60°？若存在，求出 BN 的值：若不存在， BC 请说明理由.