精品解析：云南省昆明市安宁中学2025-2026学年上学期半期阶段检测九年级数学试卷

安宁中学2025-2026学年上学期半期阶段检测 九年级数学试卷 一、单选题（每题2分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 圆内接四边形的对角相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 垂直于弦的直径平分弦 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括等弧的定义、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理等．根据相关知识逐项判断命题的真假． 【详解】解：∵等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，仅长度相等但弧度不一定相同，∴A为假命题； ∵圆内接四边形的对角互补，而非相等，∴B为假命题； ∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少条件，∴C为假命题； ∵垂直于弦的直径平分弦（垂径定理），∴D为真命题． 故选：D． 3. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 4. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值是3 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象开口向下 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，故C不符合题意； 该函数有最小值3，故A符合题意； 该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意； ，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意． 故选：A． 5. 如图，内接于，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，圆周角定理，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得，再结合，以及三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 6. 根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的根．根据表格得到当时，，当时，，即可得到在时，存在一个的值，使，即可． 【详解】解：由表格可知：当时，， 当时，， ∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是； 故选：C． 7. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为， 故答案选：A． 8. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 9. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由题意知，4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，进而可列方程． 【详解】解：依题意得，， 故选：B． 10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个实数根的条件，判别式非负且二次项系数不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程且有两个实数根， ∴且， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围是且． 故选：C． 11. 若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则 ∵， ∴ 故选：B 12. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得，根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13. 用圆心角为，半径为的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用弧长公式计算出的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到，计算即可．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】∵圆心角为，半径为，设所对的弧记作， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ∴， 解得， 故选C． 14. 如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 15. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，与系数有关的代数式的符号的判定，熟记各系数符号与函数图象的关系是解题的关键． 由二次函数图象可得：，，，可判断①；由对称轴，可判断②；将代入函数，求得y值，判断③；抛物线与x轴有两个交点，可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，即，与y轴交在负半轴上， ∴，，，即，故①错误； ∵对称轴为直线，即， ∴，故②正确； 结合图象，当时，，故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故④正确， ∴正确的共有3个． 故选：A． 二、填空题（每题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为， 因此点的坐标为． 故答案为：． 17. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为 _____ ． 【答案】π﹣2 【解析】 【分析】根据∠AOB=90°，OA=OB可知△OAB是等腰直角三角形，根据S阴影=S扇形OAB-S△OAB即可得出结论． 【详解】解：∵∠AOB=90°，OA=OB， ∴△OAB是等腰直角三角形． ∵OA=2， ∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB==π﹣2． 故答案为：π﹣2． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 19. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴时，x的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 三、解答题（共8个大题，共62分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的解法． （1）移项后，利用直接开平方法解题即可； （2）利用公式法解题即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 这里， ∴， ∴ ∴． 21. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． （1）画出以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的． （2）画出关于原点O对称的． （3）直接写出坐标：（______），（______） 【答案】（1） 如图，为所求， （2） 如图，为所求， （3）；． 【解析】 【分析】本题考查作图—旋转变换，作图—中心对称变换，熟练掌握旋转变换，中心对称变换的性质是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转的性质作出点A和点B绕点C顺时针方向旋转后的对应点和，再顺次连接点、和C即可； （2）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数的坐标特征，找出点A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可； （3）直接根据（2）中所作图形写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，，， 故答案为：；． 22. 张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 【答案】2米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程成为解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据题意列出一元二次方程求解并检验即可． 【详解】解：设道路的宽度为米． 由题意得． 解得：（不符合题意，舍去）， 道路的宽度为2米． 23. 如图，已知二次函数的图象经过．若二次函数与y轴相交于点B，且该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结、，求的面积． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先把点坐标代入函数解析式，求出，得到函数解析式，再求出点坐标，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为：， ∴对称轴为直线，二次函数与y轴的交点为：， ∴， ∴，， ∴． 24. 如图，为的直径，弦交于点，且为中点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：根据题意得： 为的直径，， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等，得到，再根据等腰三角形的性质，得到，由此得到证明． （2）根据垂径定理，得到，再利用勾股定理求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得： 为的直径，且为中点， ，， 设半径为，则， 在中， ， ， 解得：， 的半径为． 25. 今年春节期间全国各影院上映多部影片，《哪吒之魔童闹海》以强劲势头打破国内外多项票房纪录，截至2025年2月24日影片总票房突破136亿，登顶全球动画电影票房榜首，成为中国文化与电影工业实力的重要象征．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（运营成本利润票房收入运营成本）为w（单位：元），则该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且x是整数） （2）该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，实际问题与二次函数（销售问题），二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出二次函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法直接求出函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式是， 由表格可得，， 解得， ∴（，且x是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， 即； 整理得：， ∵ ∴抛物线开口向下， ∵，且x是整数， ∴当或41时，w取得最大值，此时， 答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 26. 在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． （1）求此二次函数的解析式（也称表达式）； （2）若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）T为定值2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解以及代数式定值的判断．解题关键是利用二次函数对称轴性质和已知点坐标确定解析式，借助韦达定理分析根与系数关系并分情况化简代数式． （1）利用二次函数对称轴公式，结合已知对称轴及求出．将点代入含值的二次函数表达式求出，从而确定二次函数解析式． （2）先依据韦达定理明确、作为方程两根的关系，即与的值，以及、的值．分和两种情况，对的表达式化简计算，判断是否为定值并求值． 【小问1详解】 解：∵当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：T为定值，理由如下： ∵实数，满足，，由（1）知，，即，是方程的两个根． ∴在方程中，，， ∴，． 同时，由可得；由可得． 当时 ． 当时 ∵；． ∴ ∵， 把，代入： 综上，为定值，的值为或． 27. 【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨． 【教材原题】如图，为的直径，与相切于C，于D．求证：平分． （1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下． 如图，为的直径，C为上一点，于D，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． （2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于E，三条线段有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由． （3）【应用尝试】奇思小组同学提出，若，，则可求出的面积．请你试试看． 【答案】（1） 解：原题证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵与相切于C， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴平分． 这个命题的逆命题是真命题，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴为的切线． （2），理由如下： 如图，在上截取，连接作于点H， ∵平分． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）先证明原命题正确，再证明，又由是半径，则为的切线．即可证明命题是真命题； （2）如图，在上截取，连接作于点H，证明，则，证明，则，证明，则，即可证明结论成立； （3）证明得到，得到，，由勾股定理得到，则，则，得到，解得或，分两种情况分别进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵是的直径， ∴， 由（2）得到，， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴点E在的延长线上， ∴不符合题意，舍去， ∴的面积为． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性较强，难度较大，添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安宁中学2025-2026学年上学期半期阶段检测 九年级数学试卷 一、单选题（每题2分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 圆内接四边形的对角相等 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 垂直于弦的直径平分弦 3. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 4. 已知二次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值是3 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象开口向下 D. 图象与x轴有两个交点 5. 如图，内接于，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x A. B. C. D. 7. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A. B. C. D. 9. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 11. 若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 12. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 用圆心角为，半径为的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面的半径是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 15. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（每题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________． 17. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 18. 如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为 _____ ． 19. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 三、解答题（共8个大题，共62分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． （1）画出以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的． （2）画出关于原点O对称的． （3）直接写出坐标：（______），（______） 22. 张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 23. 如图，已知二次函数的图象经过．若二次函数与y轴相交于点B，且该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结、，求的面积． 24. 如图，为的直径，弦交于点，且为中点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 25. 今年春节期间全国各影院上映多部影片，《哪吒之魔童闹海》以强劲势头打破国内外多项票房纪录，截至2025年2月24日影片总票房突破136亿，登顶全球动画电影票房榜首，成为中国文化与电影工业实力的重要象征．某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（运营成本利润票房收入运营成本）为w（单位：元），则该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 26. 在代数中，一元二次方程的一般形式为，设该方程的两个根为，，则根与系数之间存在以下关系式（也称韦达定理）：， 这些关系在解决一元二次方程相关的问题时非常有用． 已知二次函数的图象过点，当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小．若实数m，n满足，． （1）求此二次函数的解析式（也称表达式）； （2）若，试判断T是否为定值，若为定值，请求出T的值；若不为定值，请说明理由． 27. 【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨． 【教材原题】如图，为的直径，与相切于C，于D．求证：平分． （1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下． 如图，为的直径，C为上一点，于D，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． （2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于E，三条线段有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由． （3）【应用尝试】奇思小组同学提出，若，，则可求出的面积．请你试试看． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $