精品解析：广西壮族自治区崇左市江州区那隆镇中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

那隆中学2026年秋季学期九年级数学10月月考试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列函数中，是的二次函数的为( ) A. y=-3x2 B. y=2x C. y=x+1 D. y=x3 【答案】A 【解析】 【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可. 【详解】解：A：是二次函数，故A正确； B：是正比例函数，故B错误； C：是一次函数，故C错误； D：是三次函数，故D错误. 故选A. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 3. 当时，的函数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 4. 已知二次函数的开口向上，则□可能是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】解：设□表示的数为，则二次函数解析式为， ∵ 函数图象开口向上， ∴ ， 选项中仅为正数. 5. 抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线y=2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的顶点坐标，再根据关于x轴对称开口大小不变，开口方向相反求出a的值，即可求出答案. 【详解】抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣2）2+1． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的轴对称变换，此图形变换包括x轴对称和y轴对称两种方式.二次函数关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 二次函数关于y轴对称的图像，其形状不变，开口方向也不变，因此a值不变，但是顶点位置改变，只要根据关于y轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 6. 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 7. 赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴、竖直向上的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，设抛物线的解析式为；把“水面宽”的一半作为横坐标，把“水面相对原点的竖直位移”作为纵坐标，用正常水位（半宽为6，点的纵坐标为）与警戒水位（半宽为4，点的纵坐标为）两组数据列出关于a、h的方程组，两式相减消去h先求出a，再回代即可求出拱顶离正常水面的高度． 【详解】解：如图，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴，竖直向上的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，抛物线开口向下． 设抛物线的解析式为，设正常水位时拱顶离水面的高度为． 正常水位时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、；水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、． 把、分别代入，得，． 两式相减，得，解得． 把代入，得，所以． 故正常水位时拱顶离水面的高度为． 【点睛】抛物线形拱桥、隧道类问题，一般都以顶点（拱顶）为原点建立平面直角坐标系，设，只含一个待定系数，计算最简；两个已知条件列出两个方程后，通常用两式相减先消去，再回代．易错点：一是横坐标要用水面宽的一半，不能用水面宽本身；二是水面在原点下方，点的纵坐标要用表示，水位上涨多少，纵坐标就相应增加多少． 8. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．将点代入二次函数解析式，得出，再代入代数式得到关于的二次函数，再求最值即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ， ， ， 代数式有最大值2， 故选：D． 9. 二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质，结合二次函数图像确定的取值范围，然后结合一次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数，由题意可知， 其图像开口向下，则， ∴， 该二次函数图像的对称轴在轴左侧， 则， 结合可得， ∴， ∴对于一次函数，可知随的增大而减小， 当时，则，即该一次函数的图像与轴交于正半轴， ∴选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 10. 李明同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图象．当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的顶点坐标，然后结合图象即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为， 函数图象中抛物线的顶点为 ∴函数与直线有三个交点， 观察图象，当方程有两个实数根时，常数k满足的条件是或． 11. 如图，已知二次函数向右平移2个单位得到抛物线的图象，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和平移的特点，可以得到四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，然后根据题意，可以求得四边形AMNB的面积，从而可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点， 连接MA、NB， 则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等， ∵AB∥MN，AB=MN=2， ∴四边形AMNB是平行四边形， ∵二次函数y1=（x+1）2-3， ∴该函数的顶点M的坐标为（-1，-3）， ∴点M到x轴的距离为3， ∴四边形AMNB的面积是2×3=6， ∴阴影部分的面积是6， 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12. 已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A. 1或-3 B. -3或-5 C. 1或-5 D. 1或-1 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法可得出：当x=m时，y的最小值为1．分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况考虑：当m＜-3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；当m＞-1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解． 【详解】∵y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1， ∴当x=m时，y的最小值为1． 当m＜-3时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而增大， ∴9+6m+m2+1=5， 解得：m1=-5，m2=-1（舍去）； 当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去； 当m＞-1时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而减小， ∴1+2m+m2+1=5， 解得：m1=-3（舍去），m2=1． ∴m的值为-5或1． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况求出m的值是解题的关键． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 关于的函数与轴有唯一交点，则的值是________． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【分析】对分情况进行讨论，当和两种情况，分别求解即可． 【详解】解：当时，函数为，为一次函数，与轴有唯一交点，符合题意； 当时，函数为，为二次函数，与轴有唯一交点 则判别式，解得 故答案为0或1 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键，易错点是容易忽略的情况． 14. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 15. 如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，由抛物线与轴的交点为，对称轴为，得到当或时，，据此可得出答案，会利用二次函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为，对称轴为， ∴当或时，， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 16. 如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是_______________． 【答案】a＜﹣5． 【解析】 【分析】函数图象经过四个象限,需满足3个条件:①函数是二次函数；②二次函数与x轴有两个交点；③两个交点必须要在y轴的两侧，即两个交点异号． 【详解】解：函数图象经过四个象限,需满足3个条件:①函数是二次函数；②二次函数与x轴有两个交点；③两个交点必须要在y轴的两侧，即两个交点异号． ∴ 解得 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函教与x轴的交点，二次函数与y轴交点等知识点，解题关键是确定函数图象经过四个象限所满足的条件：①函数是二次函数；②二次函数与x轴有两个交点；③两个交点必须要在y轴的两侧，即两个交点异号． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 已知抛物线． （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）x取何值时，？ 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了顶点式，熟练掌握函数的图形和性质是解题的关键． （1）用配方法变成顶点式即可得到答案； （2）令，确定函数图像与轴的交点，结合开口方向即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标， 对称轴； 【小问2详解】 解：令，即， 解得或， 由于抛物线开口向下， 故当或时，． 18. 已知关于的二次函数（是常数）． （1）求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：令，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有2个不相等的根， 即二次函数的图象与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟练掌握以上知识点并可以灵活运用是解答本题的关键． （1）令，即，根据根的判别式恒大于0即可求解； （2）由题意得：和是方程的两个根，即，，再根据，得到，变形得到，然后分别代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 19. 已知抛物线经过点． （1）直接写出这个函数的解析式为 ，并写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标 ； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）8 【解析】 【分析】（1）先把点A坐标代入抛物线表达式求出a，得到解析式，再利用y轴对称点的特征写出B点坐标． （2）先算出的长度，以为底，对应高是点A的纵坐标，最后用三角形面积公式求出面积． 【小问1详解】 已知抛物线经过点， 则，解得， 所以这个函数的解析式为． 点关于y轴的对称点B的坐标为． 【小问2详解】 解：∵点，， ， ． 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 21. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标． （1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可； （3）求出点的坐标，利用求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过点， ，解得， 一次函数表达式为， 过点， ，解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得或 ∵， ∴； 【小问3详解】 解：在中，令，得， ， ∴， ∴． 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动1米射门 【解析】 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式 ． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ （3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案） 【答案】（1）； （2）70元时，最大总利润是6000元； （3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可； （2）利用总利润＝总销售额﹣总成本，进而得出w与x的函数关系式，进而得出最值； （3）利用二次函数的增减性得出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：（1）设y与x的函数关系式为：， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得出： ， 自变量取值范围：． ∵，． ∴函数图象开口向下，对称轴是直线． ∵，此时y随x的增大而增大， ∴当时，； 故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元； 【小问3详解】 解：由， 当时，， 解得：， ∵， ∴， 又∵； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式和二次函数增减性等知识，利用函数增减性得出是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 那隆中学2026年秋季学期九年级数学10月月考试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列函数中，是的二次函数的为( ) A. y=-3x2 B. y=2x C. y=x+1 D. y=x3 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 当时，的函数值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的开口向上，则□可能是（ ） A. B. C. D. 5 5. 抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为（ ）. A. B. C. D. 6. 公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象经过点，则代数式有（ ） A. 最小值 B. 最小值2 C. 最大值 D. 最大值2 9. 二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 10. 李明同学在探究函数的性质时，作出了如图所示的图象．当方程有两个实数根时，常数满足的条件是（ ） A. 或 B. C. D. 11. 如图，已知二次函数向右平移2个单位得到抛物线的图象，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A. 1或-3 B. -3或-5 C. 1或-5 D. 1或-1 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 关于的函数与轴有唯一交点，则的值是________． 14. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 15. 如图是二次函数的图像，则不等式 的解集是_______． 16. 如果函数y=（a﹣1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是_______________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17. 已知抛物线． （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）x取何值时，？ 18. 已知关于的二次函数（是常数）． （1）求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 19. 已知抛物线经过点． （1）直接写出这个函数的解析式为 ，并写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标 ； （2）求的面积． 20. 某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 21. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 23. 国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式 ． （2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？ （3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $