精品解析：黑龙江省大庆市靓湖教育集团 2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

6学科网 命组卷网 大庆市靓湖学校九年级学情检测 数学试题 答题时间：120分钟总分：120分 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.） 1.下列2024年巴黎奥运会项目标志中，是轴对称图形的是( 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别.根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重 合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可. 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意： C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选D, 2.有理数a,b对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是() 0 b a A.la> B.-(a-b)<0 D.b <0 C.-a-b>0 【答案】D 【解析】 第1页/共38页 学科网命组卷网 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴可得a<0<b,|ab 据此即可求解，掌握有理数的运 算法则是解题的关键. 【详解】解：由数轴可得，a<0<b|ab1 :.a-b<0a+b>0 a-j>0,a-6<0.80 选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D (ns) 3.某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15 次基本运算，所用时间用科学记数法表示为() A.1.5x109 B.15x109 秒 c1.5×108 秒 D.15x108 秒 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为x10”, ，与较大数的科学记数法 不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定， 【详解】所用时间=15×0.000000001=1.5×103（秒）. 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，一般形式为a×I0”,其中1≤410， ”为由原数左边起第 一个不为零的数字前面的0的个数所决定。 4.几何体的三视图如图所示，这个几何体是() 第2页/共38页 6学科网命组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可. 【详解】解：根据A,B,C,D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项， 故选：C 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键. 5.下列说法正确的是() A.要了解某公司生产的1O0万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法 B.4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100 C.甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62，则 乙的表现较甲稳定 D.某次抽奖活动中，中奖的概率为50表示每抽奖50次就有一次中奖 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、方差，根据概率的意义、全面调查与抽 样调查、中位数、方差的意义逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 【详解】解：A、要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法，原说法正确， 符合题意： B、4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为 第3页/共38页 命学科网组卷网 100+105 =102.5 故原说法错误，不符合题意； C、甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62，则 甲的表现较乙稳定，故原说法错误，不符合题意： 1 D、某次抽奖活动中，中奖的概率为50表示每抽奖50次就有一次中奖说法错误，不符合题意： 故选：A -2 6.如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象交于A0,m、B两点，当 xs 时，x的取值 范围是() VA A.-1≤x<0x≥1 或 Bx≤-10<xs1 或 cx≤-1x≥1 或 D.-1≤x<00<x≤1 或 【答案】A 【解析】 kx≤ 【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点B的坐标，然后根 x的解集即为反比例函数在一 次函数上方的部分可得答案. 【详解】解析：·正比例函数y=x与反比例函将少s专 x的图像交于A,m)、B两点， 第4页/共38页 6学科网 组卷网 ∴.B(-1,-m 由图像可知，当 x时，x的取值范围是-1≤x<0或x≥1， 故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点B的坐标的坐标 是解本题的关键。 7.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算anl5。时，如图.在Rt△ACB中， ∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15。,所以tn15° =AC 2-V5 =2-V3 CD2+V3(2+3)2- 类比这种方法，计算tan22.5°的值为（) A 30° 15° B 0 A.V2+1 B.V2-1 c.v2 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC,使∠C=90°，∠ABC=45。,延长CB到D,使BD=AB,连接AD,根据构造的 直角三角形，设AC=x,再用x表示出CD,即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC,使∠C=90°，∠ABC=90°，∠ABC=45°，延长CB到D,使BD=AB, 连接AD,设AC=x,则：BC=x,AB=V2x,CD=（tV2)x am2.5-am∠D=AC-￥-N2-1 CD(1+2)x 第5页/共38页 6学科网命组卷网 A B D 故选：B 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到 22.5°的直角三角形 8.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径I是5，则该圆锥的体积是( 72 311 11 2V6 A8π B.8 C.2√6m D. 3π 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧 长相等是解题关键，设圆锥的半径为”，则圆锥的底面周长为2π”，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长， 进而得出”=1，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可 【详解】解：设圆锥的半径为”，则圆锥的底面周长为2πr, 72° 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 72π×5 =2π ∴.扇形的弧长为180 ·圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， .2πr=2π 第6页/共38页 6学科网命组卷网 r=1, ·圆锥的高为V5-P=26 圆锥的体积为3xP×2V6=26元 3 故选：D 9已知二次函数y=r-2ar+2(a>0且-1≤x≤1-1)，当=-1时，函数取得最大值：当x=1 时，函数取得最小值，则t的取值范围是() A.0<1s2 0<t≤4 2≤t≤4 B. D1≥2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键. 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题. 【详解】解：因为y=r2-2ar+2=a(x-l+2-a(a>0) 所以抛物线的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为（，2- 因为1-()=3-1 所以x=-1和x=3时的函数值相等， 因为-1≤x≤t-1,当x=-1时，函数取得最大值， 所以t-1≤3， 又因为当x=1时，函数取得最小值， 所以t-1≥1， 所以1≤t-1≤3， 第7页/共38页 学科网丽组卷网 解得2≤t≤4， 故选：C I0.如图，正方形ABCD中，点M是边BC上一点（异于点B、C),AM的垂直平分线分别交AB、 CD、BD于五，R太连K、K.下列结论：DF=AM,e4E=DF+BM,G ③ BK=V2AK,④∠AKM=90°.其中正确的结论个数是() B M A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线 构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解决问题的关键。 作FG⊥AB于G,根据三角形的全等得出△ABM≌△FGE,进而得出EF=AM,再利用矩形的性质 可得出AE=DF+BM;再利用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质，判断出线段之间的关系 即可得出正确答案 【详解】如图，作FG⊥AB于G,则AD=GF=AB, 第8页/共38页 6学科网命组卷网 GP E B M :AM⊥EF, :.∠BAM+∠AEF=∠GFE+∠AEF=90°. .∠BAM=∠GFE, ∠BAM=∠GFE,∠ABM=∠EGF,GF=AB .△ABM≌△FGE, .EF=AM, 故①正确； AG=DF,GE=BM 由题可得： .AE=AG+GE=DF+BM. 故②正确： 如图，过K作KO1MB于e.KT1BC手T. ,ABCD是正方形， ∠KBQ=45° 第9页/共38页 6学科网命组卷网 M OB=OK .BK=BO2+K02=2K0<2AK 故③错误； DB平分 ∠ABC,KQ⊥ABKT⊥BC ∴.KQ=KT 又，AM的垂直平分线交BD于K, .KA=KM, ∴.RtAAOK≌RtAMTK ∴.∠AKQ=∠MKT .∠QKT=∠MKT+∠MKQ=90° 又 ∴.∠AKQ+∠MKQ=90° 即∠AKM=90 故④正确： 正确的为①②④， 故选C. 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分.） 11.函数y=Vx-2 中，自变量x的取值范围是。 第10页/共38页 6学科网 组卷网 【答案】x≥2 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可： 【详解】解：依题意，得x-2≥0， 解得：x≥2， 故答案为x≥2 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函 数解析式是整式时，字母可取全体实数：②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数 解析式是二次根式时，被开方数为非负数.④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达 式有意义外，还要保证实际问题有意义. a2-9= 12.因式分解： (a+3)(a-3) 【答案】 【解析】 【分析】-9可以写成32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可. 【详解】解：a-9(a+3)(-3), 故答案为：(+3)(a-3). 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键. 13.在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别.若从袋中随 机摸出一个球是白球的概率为3，则袋中黄球的个数为 【答案】7 【解析】 第11页/共38页 6学科网 命组卷网 5=5+3+x) 【分析】设黄球个数为x个，根据概率公式得： 3 解得x的值即可 【详解】解：设黄球个数为x个， 5-53+到 解得x=7, 故答案为：7. 【点睛】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 14.若tam(-10°)=1，则锐角a= 【答案】55°拼55度 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数tan45°=1即可求解. 【详解1解：an（a-109-1,am45°-1. .a-10°=45°， .a=55°， 故答案为：55° 【点晴】本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值an45°=1是解题的关键. 15.已知P是 0内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距 ⊙0 离是关于x的一元二次方程r-12m-20=0 ⊙0 的两个实数根，则的半径为 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大距 第12页/共38页 6学科网可组卷网 离的和等于圆的直径是解题关键，由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的 直径 【详解】解：设最小距离为，最大距离为n, m+n=- -12a=12 由根与系数的关系得 a .P⊙0 是 内一点， ∴·点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径， 即圆的直径是12，圆的半径是6 故答案为：6 2x-a_1=3 16.关于x的分式方程x-11-x的解为非负数，则a的取值范围为 【答案】a≤4且a≠3 【解析】 2x-a-1=3 【分析】根据解分式方程的方法和方程x一11-x的解为非负数，可以求得a的取值范围. 2x-a1 -=3 【详解】解：x-11-x, 方程两边同乘以x-1,得 2x-a+1=3(x-1) 去括号，得 2x-a+1=3x-3 移项及合并同类项，得 x=4-a, 第13页/共38页 6学科网列组卷网 2x-a_1=3 .关于x的分式方程x-11-x的解为非负数，x-1≠0， 4-a≥0 l(4-a)-1≠0， 解得，a≤4且a≠3， 故答案为a≤4且a≠3. 【点睛】本题主要考查根据分式方程的根求解参数，难度系数稍微有点大，但是是必考点： 17.新定义：关于x的一元二次方程4(-c+k=0与4，(x-d2+k=0 称为“同族二次方程”·例如： 5x-6}2+7=0与6(x-6+7=0是“同族二次方程”·现有关于x的一元二次方程 (m+20x+3-m2)+n+5=0与2x-+1=0是“同族二次方程”，则代数式mr+心+2029 的最小 值是 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的C和 k,由第二个方程确定c=1,k=1,令第一个方程中的c相等，解出m=2(舍去m=-2),再令k相 等，解出”=4，代入代数式mr+x+2029,结合配方法求最小值，即可作答.」 【详解】解：：关于*的一元二次方程m+2x+3-m+n+5=0与2-+1=0是“同族二次方 程”， :m+2≠0.3-m2=-1n+5=1 解得m=2,n=-4, 则mr2+x+2029 第14页/供38页 6学科网命组卷网 =2x2-4x+2029 =2(x2-2x)+2029 =2(x2-2x+1-2+2029 =2(x-1)2+2027 当x=1时，则2(x-+2027=2×0+2027=2027 :2(x-1)+2027≥2027 即代数式mr2+x+202 的最小值是2027， 故答案为：2027. 18如图，正方形ABCD中，AB=4,M是CD边上一个动点，以CM为直径的圆与BM相交于点O, D上月一个动点，连接4P,PQ,则4P+PO的最小省是 P为 A 2W13-2 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，轴对称，正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理. 安C,以CD为一条边在右侧作正方形CDBF,由MC是直径可 ∠MQC=90° 连接 从而 ∠BOC=90°，因此点O在以BC为直径的OO上运动.易证△MDP≌aBDP(SAS),得到AP=EP, 第15页/供38页 6学科网 命组卷网 AP+PQ=EP+PQ≥EQ≥EO-QO=EO-NO=EN 从而根据三角形的三边关系有 ,而 EN=EO-ON EO 利用正方形的性质和勾股定理即可求得的长，从而解决问题. COCD 【详解】连接 之，以 为一条边在右侧作正方形CDEF D .MC是直径， ∠MQC=90° ∠BQC=180°-∠MQC=90° BC 0 ∴点Q在以 为直径的圆上运动，设该圆为 ,四边形ABCD和四边形CDEF是边长相等的正方形， .AD=ED,∠ADP=∠EDP=90°， .DP=DP :△ADP≌aEDP(SAS) ∴.AP=EP 连接B2.O0,OE,0E交O0于点N AP+P9=EP+PQ≥EQ≥EO-Q0=EO-NO=EN .AB=4, 第16页/供38页 6学科网6组卷网 BC-CF-EF=4B=4,B0-CO-IBC-2 .在Rt△EF0中，OF=OC+CF=2+4=6,EF=4, :E0=VOF2+EF2=V6+4=2I3 .ON =OC=2. :EN=EO-ON=2V13-2 :AP+Pe≥EW=2√13-2 即P+Po 213-2 的最小值为 2V13-2 故答案为： 三、解答题：（本题共10小题，共66分) 19计算： (2021-x°+（分'-2cos45° 【答案】3-V2 【解析】 【分析】先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可. (2021-π)°+()1-2c0s45° 【详解】解： =1+2-2xV2 , =3-V2 【点睛】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握零指数幂和负整数指数幂的运 算法则，特殊角锐角三角函数值是解题的关键 第17页供38页 6学科网 组卷网 1）.x2-1 20.先化简，再求值： x+2°x+2,其中x=V2+1 12 【答案】x-1;2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先通分括号内，再运算除法，最后化简原式等于 1 x-1,再代入x=√2+1，进行分母有理化，即可作答. 【详解】解： =+2-1 x+2 x+2（x+1)(x-1) s七+1 x+2 x+2（x+1)(x-1 =1 x-1 1V2 当x=√2+1时，原式2+1-12. 2x-312 21.解方程：x2-1x+1x-1. 【答案】x=-4 【解析】 【分析】本盟考查解分式方程.将方程两边同乘x+1(x-,转化为整式方程，求解后检验即可。 2x-312 【详解】解：x2-1x+1x-1两边同乘（x+1(x-)得：2x-3-(x-1)=2(x+1), .2x-3-x+1=2x+2, 第18页/共38页 命学科网命组卷网 解得：x=-4, 检验：当x=-4时，(x+(x-)≠0 原分式方程的解为x=一4 22.2019年4月18日，台湾省花莲善线发生里氏级6.7地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物 废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距6米，探测线与地面的夹角 分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到01米，参考数据 √2≈1.41，V3≈1.73) 309 60° 【答案】生命所在点C的深度约为5.2m 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB交AB于点D,则∠CAD-30,∠CBD-6O,在Rt△BDC中，CD=V5BD, 在Rt△ADC中，ADV5cD,然后根据AB=AD-BD6,即可得到CD的方程，解方程即可. 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D, 第19页/共38页 6学科网列组卷网 H 309 609 B ,探测线与地面的夹角为30°和60°， .∠CAD=30°，∠CBD=60°， CD 在Rt△BDC中，tan60°=BD, CD ∴.BD=iam60°V33 CD 在Rt△ADC中，tan30°=AD, CD CD=3CD AD=am30°V 3 .AB=AD-BD=6, .icD-5cD=6 3 :0D3552(米) 所以生命所在点C的深度大约为5.2米. 第20页/共38页 学科网命组卷网 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键， 23.某校为庆祝建校80周年，开展四项活动：A项：猜谜语，B项：校史宣讲，C项：经典诵读，D项： 艺术展示，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加一项活动.该校从全体学生中随机抽取部分学生， 调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后绘制成如下两幅不完整的统计图 个人数 18 18 16 中年年 14 A项 12 12 30% 10 B项 D项m% 8 6 45% C项 4 4 15% 2 A项 B项 C项 D项 项目 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是 条形统计图中C项活动的人数是，并补全条形统计图； (2)B项活动所在扇形的圆心角的大小为一，扇形统计图中m的值为 (3)若该校约有1800名学生，请估计其中意向参加“校史宣讲”活动的人数. 【答案】(1)40,6人， 补全条形统计图如下： 个人数 18 18 16 14 12 12 10 8 (2) ,10 6 0 A项 B项 C项 D项项目 162° (3)估计其中意向参加“校史宣讲”活动的人数810人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体、样本容量等知识，熟练掌 第21页/供38页 6学科网列组卷网 握统计调查的相关知识是解题关键。 (1)利用A项的人数除以其所占的百分比即可得样本容量；利用样本容量乘以C项的人数所占的百分比 即可得C项的人数，据此补全条形统计图即可得； (2)利用360°乘以B项的人数所占的百分比即可得其圆心角的度数：利用D项的人数除以样本容量可得 mo ,由此即可得的值； (3)利用该校学生的总人数乘以意向参加“校史宣讲”活动的人数所占的百分比即可得. 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是12÷30%=40 条形统计图中C项活动的人数是40×15%=6（人）. 故答案为：40,6人： 【小问2详解】 解：B项活动所在扇形的圆心角的大小为360°×45%=162°， 4 m%= ×100%=10% 40 则m=10 故答案为：162°，10. 【小问3详解】 解：1800×45%=810（人）， 答：估计其中意向参加“校史宣讲”活动的人数810人. 24.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点 F作FG/CD交BE于点G CG 交于点，连接 第22页/共38页 6学科网 命组卷网 (1)求证：四边形CEFG是菱形： AB=6,AD=10 CEFG (2)若 ,求四边形 的面积。 B 【答案】(1)证明：由题意可得， .ABCE≌ABFE ∠BEC=∠BEF,FE=CE ·FGICE .∠FGE=∠CEB. .∠FGE=∠FEG, .FG=FE, :FG=EC, .四边形CEFG是平行四边形， CE=FE, 又 .四边形CEFG是菱形： 20 (2)3 【解析】 【分析】(1)根据题意可得△BCE≌aBFE,因此可得FG=EC,又FGIICE,则可得四边形CEFG 第23页/供38页 学科网 组卷网 CE=FE, CEFG 是平行四边形，再根据 可得四边形 是菱形 (2)设EF=x,则9 CE=x,DE=6-x CEFG ,再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形 的面积 【详解】(1)略 (2)矩形1BCD中，AB=6,AD=I0,BC=BF 中， ∠BAF=90°，AD=BC=BF=10 AF=8, DF=2. 设BF=X,则CE=xDE=6-x .∠FDE=90°. :22+(6-x=x, 10 解得，x= 3， .CB=10 3, CE.DF=10×2=20 .四边形CEFG的面积是： 3 3. 【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可 k v=- 25.如图，反比例函数)=x上的图象与一次函数y=mc+n的图象相交于A(a,-),B(-1,3)两点. 第24页/共38页 6学科网命组卷网 B N M (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2②)设直线1B交轴于点C,点M,0是正半轴上的一个动点，过点N作MM上轴交反比例函数 .N(t,0)」 x的图象于点M,连接CW,OM.若S边形Ow>3,求t的取值范围. 【答案】1)y=~3 3 t> x,y=-x+2;(2)2. 【解析】 【分析】(1)先根据点B的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点A的坐标，再根 A,B 据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式： (2)先根据一次函数的解析式求出点C的坐标，根据反比例函数的解析式求出点M的坐标，再根据 S四边形Coww=S.CON+SMON>3 建立不等式，解不等式即可得， 【详解1解：（4)将点B(-1,3)代入y元得：k=-1x3=-3, 第25页/供38页 6学科网6组卷网 少、3 则反比例函数的解析式为x; 3 =-1 当y=-1时，x,解得x=3,即A(3,-l), 3m+n=-1 m=-1 将点A3,-1),B(-1,3)代入y=mx+n得： -m+n=3,解得n=2, 则一次函数的解析式为y=-x+2； (2)对于一次函数y=-x+2, 当x=0时，y=2,即C0,2) ,即 ∴.0C=2. NM1x轴，且 N(L,0)t>0) :Mu3.oN=t ·MN=3 t, 5c0.o+S-OC-ON+ON.MN>3 2 2 1 13 -×2t+-t.2>3 2 t 3 t>- 解得2. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键， 26.网络销售已经成为一种热门的销售方式·为了减少农产品的库存，某商家在网络平台上进行直播销售板 第26页/供38页 6学科网命组卷网 栗.为了提高大家购买的积极性，该商家每天在直播中拿出2000元现金作为红包发给购买者.已知该板栗 的成本价格为6元'kg,每日销售量以单位：k8》与销售单价（单位：元kg〉的关系满足 y=-100x+5000 销售单价不低于成本价且不高于30元/， 元kg·设该商家销售板栗的日获利为一单位： 元. (山)求日获利州单位：元）与销售单价（单位：元kg》之间的函数表达式. (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大日获利为多少元？ (3)当≥4000时，网路平台将向该商家收取“元kga<4 29-/ 的相关费用，若把销售单价定为元 kg时日获利最大，求a的值. 【答案】(1)w=-100r2+5600x-32000,6≤x≤30、 (2)当销售单价定为28元kg时，日获利最大，最大日获利为46400元. (3)F2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键。 (1)根据日获利w=每千克获利×销售量即可列出函数关系式： (2)根据题意，利用二次函数的顶点式求得(1)中的函数最大值即可： (3)根据题意列出此时的w与x的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值时x=29，进而求得a, 【小问1详解】 解：W=(x-6-100x+500)-2000 =-100x2+5600x-320006≤x≤30)， .w=-100x2+5600x-32000(6≤x≤30) 第27页/供38页 6学科网列组卷网 【小问2详解】 解：w=-100x2+5600x-32000 =-100(x-28)2+46400 a=-100<0 =28 对称轴为 x=28 46400 时，取得最大值，最大值为 元， 答：当售价为28元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元. 【小问3详解】 解：当w≥4000 元时，网络平台将向商家收取“元k84<4 )的相关费用， w=(x-6-a)(-100x+5000)-2000 此时 =-100x2+(5600+100a)x-32000-5000a X=- 5600+100a=28+,a 1 此时对称轴为： 2×(-100) a<4. 1 ∴.28+。a<30 依题意把销售单价定为29元，日获利最大， 1 28+20=29 即 解得a=2 27.如图，AB是O0的直径，点D是BC的中点，∠PAC=∠ADC,且CD=5,AD与BC交于点 E 第28页/供38页 6学科网组卷网 D E B (1)求证： PM是O 的切线： (2)若 an∠CAD=' 3,求DE的长： (3)延长CD,MB交于有，若OB=BF,求O0 的半径 【答案】(1) 证明：，AB为直径，点C在圆上， .∠ACB=90°， .∠P+∠PAC=90° 又∠PAC=∠ADC, :ac-C .∠ADC=∠ABC, ∴.∠P+∠ABC=90°， :∠PMB=90°，即P11MB.又点A在O0 上 :PA是O0 的切线： 5 (2)3 (3)10 【解析】 第29页/共38页 命学科网 命组卷网 【分析】(1)先证明∠ACB=90°，再证明∠P+∠PAC=90°，∠ADC=∠ABC,证明 ∠P+∠ABC=90° ,从而可得结论： (2)连接BD,证明∠CMD=∠BAD,可得CD=BD=N5由∠CAD=∠CBD,可得在 DE 1 Rt△BDE中，BD3,从而可得答案： DF OF 2 (3)连接OD,证明△DOF∽ACAF,可得CDAO1,而CD=V5,可得DF=2V5,证明 0D25 △FDBAFOD,可得√5BF,而OD=OB=BF,从而可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BD,“点D是BC的中点， B .∠CAD=∠BAD CD=BD=5 ,AB为直径，点D在圆上， 第30页/共38页 6学科网6组卷网 .∠ADB=90°， 而∠CAD=∠CBD, :tan/CBD=tan/CAD=I 3, DE 1 在Rt△BDE中，BD3, .DE= 3 【小问3详解】 连接OD, .∠DOB=2∠DAB=∠CAB. 又.∠DFO=∠CFA, .△DOF∽aCAF, 又，OB=BF=OA, DF FO 2 ∴.FCFA3, DF OF 2 .CDA01,而CD=V5, 第31页/供38页 命学科网命组卷网 DF=2V5 CD=BD. .∠DCB=∠DBC, .∠BDF=2∠DCB 又BD=BD ∴.∠DCB=∠DAB. .∠DOB=2∠DAB=2∠DCB, .∠BDF=∠DOB. 又：∠DFB=∠DFO. .△FDB△FOD. OD DF DB BF, :0D25 √5BF,而OD=OB=BF, .OD=10 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定 与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键 28、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=心+br-3与x轴交于A-,0）,B两点，交y轴于点C, 5 X= 抛物线的对称轴是直线2· 第32页/供38页 6学科网命组卷网 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D,作 PELRC于点E,求PD+ PE 的最大值及此时点P的坐标： 3)将抛物线沿射线BC方向平移5个单位，在PD+V5 PE取得最大值的条件下，点F为点P平移 2 后的对应点，连接AF交y轴于点M,点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF-∠ABC=45°，请直 接写出所有符合条件的点N的坐标. 125 【答案】1)少= 2x2-3 (2)PD+V 15 PE最大值为2；P(5,-3列： 【解析】 【分析】(1)直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可： (2)如图，延长PE交x轴于G,过P作PH∥y轴于H,求解BC=V32+6=35,可得 第33页/共38页 6学科网 命组卷网 sin∠BCO= C355,证明PE=25 0B62W5 PD=2x-5 ,再建立二次函数求解即可： (3)由抛物线沿射线BC方向平移V5个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可 每限物我为P7F6如图，当N在y的东，过w作少于K 证明M(0,-）,可得∠AM0=∠OAM-45°=∠FMK,证明∠NMK=∠ABC,如图，当N在y轴 的右侧时，过M作y轴的垂线，过N'作N'T⊥过M的垂线于T,同理可得：∠NMT=∠ABC,再进 一步结合三角函数建立方程求解即可. 【小问1详解】 解：：抛物线y=心+h-3与x轴交于A(-1,0),B两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴是直线 J X= 2 a-b-3=0 2a2 1 a= 2 解得 b=- 5, 2 .y=x2 x-3 2 2 【小问2详解】 第34页/供38页 6学科网命组卷网 解：如图，延长PE交错于G,过P作PH∥ 轴于H 1 当 2x-3=0 时， x=-1x2=6 解得： B(6,0) 时，s3 当*= :C(0,-3) :BC=V32+6=35 :sin∠Bc0=OB-625 BC3V55· PDx轴 .∠PHE=∠BCO, :sin∠PHE=-PE2V5 PH 5, PE-25 PH 第35页/供38页 6学科网6组卷网 B(6,0).C(0,-3) 设BC为'=mr-3 6m-3=0,解得，m 2, 1 2t3 直线BC为：y f-3) 好 Pl=- 2+3x 2 r-5 抛物线)=22-3 x= 对称轴为直线2， .PD=2x-5 m5E-2x-552543刘 2 =-x+5x-5 2 X= =5 当 2 5PE取得最大值，最大值为 15 时，PD+ 此时P(5,-3), 【小问3详解】 第36页/供38页 6学科网命组卷网 解，抛物线沿射线BC方向平移5个单位，即把糙物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， -x-1x ∴新的抛物线为：y=22-7.F3,4)。 如图，当W在'轴的左侧时，过N作次1 轴于K A(-1,0) 同理可得：直线F为y=一x-1 当=0时，y=1 .M(0,-) .∠AM0=∠OAM=45°=∠FMK, .:∠NMF-∠ABC=45° ∠NMK+45°-∠ABC=45° :∠WMMK=∠ABC :.tan∠NMK=tan∠ABC=-I 2 设-n-7 第37页/共38页 6学科网命组卷网 NK -n MK 1 1 2+ 2 21 n+7 2 5-V735+V73 解得：n= 2或2 (舍去) 如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过N'作N"T⊥过M的垂线于T, 同理可得：∠NMT=∠ABC 段(--7 则T(x,-1), 121 -x- 同理可得：22 x-7+11 x=1+13或l-V13 (舍去)· *- 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的 应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第38页/共38页 大庆市靓湖学校九年级学情检测 数学试题 答题时间：120 分钟 总分：120 分 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．) 1. 下列2024年巴黎奥运会项目标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有理数，对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒，已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 4. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法 B. 4位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位数为100 C. 甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为0.51和0.62，则乙的表现较甲稳定 D. 某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次就有一次中奖 6. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 8. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点M是边上一点（异于点B、C），的垂直平分线分别交、、于E、F、K，连、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 因式分解：_____ 13. 在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别．若从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中黄球的个数为__________． 14. 若tan（a- 10°）＝1，则锐角a=___________ 15. 已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为______． 16. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为_______． 17. 新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 18. 如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________． 三、解答题：（本题共10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解方程：． 22. 2019年4月18日，台湾省花莲善线发生里氏级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点相距6米，探测线与地面的夹角分别为和，如图所示，试确定生命所在点的深度(结果精确到米，参考数据) 23. 某校为庆祝建校周年，开展四项活动：项：猜谜语，项：校史宣讲，项：经典诵读，项：艺术展示，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______，条形统计图中项活动的人数是______，并补全条形统计图； （2）项活动所在扇形的圆心角的大小为______，扇形统计图中的值为______； （3）若该校约有名学生，请估计其中意向参加“校史宣讲”活动的人数． 24. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 25. 如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围． 26. 网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某商家在网络平台上进行直播销售板栗为了提高大家购买的积极性，该商家每天在直播中拿出元现金作为红包发给购买者已知该板栗的成本价格为元kg，每日销售量单位：kg与销售单价单位：元kg的关系满足，销售单价不低于成本价且不高于元kg设该商家销售板栗的日获利为单位：元． （1）求日获利单位：元与销售单价单位：元kg之间的函数表达式． （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大最大日获利为多少元 （3）当时，网络平台将向该商家收取元的相关费用，若把销售单价定为元kg时日获利最大，求的值． 27. 如图，是的直径，点D是的中点，，且，与交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若 ，求的长； （3）延长，交于点F，若，求的半径． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $