精品解析：广西壮族自治区贵港市高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学12月月考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 已知，则的最小值为9 10. 设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 三、填空题 12. 某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为，平台二有2万人给出评分，综合好评率为，则这家体育器材店的总体综合好评率为__________. 13. 甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答） 14. 设，函数给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值为0； ②当时，函数是增函数； ③若函数存在两个零点，则； ④若直线与曲线恰有2个交点，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 四、解答题 15. （1）求函数的定义域，以及的定义域； （2）已知函数，求的解析式； 16. AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据． 焦虑 不焦虑 合计 男性 10 女性 20 合计 （1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？ （2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望． 附：为样本容量． 17. 防疫抗疫，人人有责，随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份与订单（单位：万元）的几组对应数据： 月份 1 2 3 4 5 订单 20 24 43 52 （1）求关于的线性回归方程，并估计6月份该厂的订单数； （2）求相关系数（精确到0.01），说明与之间具有怎样的相关关系. 参考数据：，，.，.参考公式：相关系数；回归直线的方程是，其中. 18. 在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1． （1）求曲线的方程； （2）点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学12月月考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法，得到，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以，则， 又，所以， 故选：A. 2. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 3. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 4. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，即． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 所以的系数为． 故选：D. 6. 若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 7. 已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导确定单调区间，即可求解. 【详解】解：由， 整理得： 因为，所以 即对任意，且， 不等式恒成立 设，则，即函数在区间上单调递减 所以在区间上恒成立 所以，即实数的取值范围为， 故选：D 8. 已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】 条件描述 等价最值关系 对任意，存在，使 对任意，任意，使 存在，存在，使 存在，任意，使 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 已知，则的最小值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可； 对于B，根据假命题相关知识求解即可； 对于C，根据充要条件相关知识判断即可； 对于D，根据基本不等式相关知识进行判断即可. 【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故B正确； 对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确. 故选：ABD 10. 设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B错误； 对于C、D项，因为，，， 所以，，.故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 函数有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可. 【详解】为奇函数，故，即①， 又为偶函数，故②， 则由①②可得，， 则，则的一个周期为4， 在①中令有， 又当时，，则，则， 所以， 故A正确； 由②可得，，则， 即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数， 则是上的减函数， 因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误； 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点， 所以有5个零点，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为，平台二有2万人给出评分，综合好评率为，则这家体育器材店的总体综合好评率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式可求解. 【详解】这家体育器材店的总体综合好评率为. 故答案为：. 13. 甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，有种，形成了四个空， 再将甲乙插入四个空，有种， 所以甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种. 故答案为：. 14. 设，函数给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值为0； ②当时，函数是增函数； ③若函数存在两个零点，则； ④若直线与曲线恰有2个交点，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】把和代入解析式，分析单调性即可判断①②， 令，解出零点，判断零点是否在区间内，对含的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，即可判断③，把④转化为恰有两个零点，解出零点，易得取时有3个零点，可判断④错误. 【详解】①当时，， 当时，，当时，，故，故①正确； ②当时，， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，故不是增函数，故②错误； ③当时，只有一个零点， 令函数，解得 当时，函数在上没有零点， 无意义，故函数在上有且只有一个零点为0，即有且只有一个零点，故不符合题意； 当时， 函数在上有1个零点为0， ，不在范围内， 当时，，故函数在上有一个零点，即有两个零点，符合题意， 当时，，故函数在上没有零点，即有且只有一个零点，故不符合题意； 综上所述：当时，有两个零点.故③正确； ④直线与曲线恰有2个交点， 可转化为恰有两个零点. 令函数，解得， 当时，，函数在上有3个零点， 令得，故函数在上没有零点， 即有3个零点，故④错误. 故答案为：①③. 四、解答题 15. （1）求函数的定义域，以及的定义域； （2）已知函数，求的解析式； 【答案】（1）；；（2） 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零、被开方数非负及分母不为零列不等式组求的定义域，再根据复合函数定义域的求法求的定义域； （2）利用换元法求的解析式即可. 【详解】（1），解得， 所以的定义域为， 令，解得，则的定义域为. （2）令，则，代入原式得： ， 所以. 16. AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据． 焦虑 不焦虑 合计 男性 10 女性 20 合计 （1）根据已知条件，填写上面列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？ （2）现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为，求的分布列和数学期望． 附：为样本容量． 【答案】（1）列联表见解析，与性别有关 （2）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）根据表中数据即可完成表格，提出零假设并计算得出的取值，得出结论； （2）根据随机变量的所有可能取值，利用超几何分布求出对应概率可得分布列，计算可得期望值. 【小问1详解】 填写列联表为： 焦虑 不焦虑 合计 男性 40 10 50 女性 20 30 50 合计 60 40 100 零假设：焦虑与否与性别无关． 根据列联表中的数据得， 故依据的独立性检验，可以推断不成立， 即认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关． 【小问2详解】 由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人， 其中男性人数为（人）；女性人数为（人） 由题意可得，随机变量的所有可能取值为1，2，3． ， 随机变量的分布列如下： 1 2 3 则． 17. 防疫抗疫，人人有责，随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增.下表是某口罩厂今年的月份与订单（单位：万元）的几组对应数据： 月份 1 2 3 4 5 订单 20 24 43 52 （1）求关于的线性回归方程，并估计6月份该厂的订单数； （2）求相关系数（精确到0.01），说明与之间具有怎样的相关关系. 参考数据：，，.，.参考公式：相关系数；回归直线的方程是，其中. 【答案】（1），6月份该厂的订单数为59.9万元； （2），与之间具有很强的正相关关系. 【解析】 【分析】（1）求出与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值得答案； （2）由已知数据求得值，可得与的相关系数近似为0.99，故与之间的线性相关程度相当高． 【小问1详解】 解：由题可得：， ， ， 关于的线性回归方程为， 2022年6月对应的变量为6，将代入， 得， 估计6月份该厂的订单数为59.9万元． 【小问2详解】 相关系数. 与之间具有很强的正相关关系. 18. 在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1． （1）求曲线的方程； （2）点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） 将点坐标代入曲线的方程，可得，所以， 因为直线斜率存在并与抛物线交于、两点，所以设直线，且， 设，联立直线和抛物线方程，可得， 由韦达定理可知，所以， ， 因为， 所以， 代入化简得，注意到前三项可以因式分解， 即，最后两项不含，所以将分解为， 原式可以进一步因式分解为 ，解得或， 即直线分别过定点或，因为、异于点，所以舍去， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意可知曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，利用抛物线的定义可知焦点即为点，在轴正半轴，由此可以写出曲线的方程； （2）设直线，与抛物线方程联立，因为，则，代入化简可得关于的方程，因式分解找出定点坐标即可证明. 【小问1详解】 由题干条件曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少， 即曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，此即抛物线的定义， 且焦点为点，在轴正半轴，所以，所以曲线的方程为； 【小问2详解】 略. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数的极值； （2）若任意且，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）不妨令，则问题等价于，令，只需证明在单调递增，问题等价于在时恒成立，参变分离得到，，再构造函数，利用导数求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 解：当时，，． 则，令，解得或， 又因为，所以． 列表如下： x 2 单调递减 极小值 单调递增 因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以有极小值，无极大值． 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 若对任意且恒成立 不妨令，则 ， 令，只需证明在单调递增， 因为，则， 所以在时恒成立，即，， 令，，则， 因为，所以令，解得，令，解得， 从而在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时取到最大值，所以实数的取值范围是． 【点睛】思路点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $