精品解析：辽宁省大连王府高级中学2025-2026学年高二上学期第二学段考试数学试题

大连王府高级中学2025-2026学年上学期第二学段考试 高二数学试题 命题人：李洪岩 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线平分圆，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 5. 椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一动点，则（ ） A. 的最大值为1 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上不存在点，使得 D. 的最小值为2 6. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设圆的圆心坐标为，圆截轴，轴所得弦长分别为和，则圆的圆心到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知圆：，直线：（），则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆上的点到直线的最大距离是 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 双曲线与直线有且只有一个公共点 B. 平面内两个不同定点和，则满足的动点的轨迹为双曲线 C. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D. 若方程表示的曲线为椭圆，则 11. 已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 设点，则的最小值为4 C. 若，设的中点为，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则 D. 若三点共线，则的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与圆交于M，N两个点，O为坐标原点，_____． 13. 已知双曲线右焦点，以为圆心，以为半径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为_____． 14. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为中点，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 18. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 19. 已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． （1）求曲线的方程； （2）设点的横坐标分别为，证明：； （3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连王府高级中学2025-2026学年上学期第二学段考试 高二数学试题 命题人：李洪岩 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据列方程，解方程即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，成立； 当时，，即，，即，成立， 所以或. 故选：C. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程化为椭圆的标准形式后，根据焦点在轴上计算即可. 【详解】将化为， 方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 4. 若直线平分圆，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定直线过圆心，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，直线过圆心， 则，即， ， 当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 5. 椭圆的左、右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一动点，则（ ） A. 的最大值为1 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上不存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式分析判定A错误；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C错误；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于选项A：因为点是椭圆上一点，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故A错误； 对于选项B：由椭圆离心率的定义可得，故B错误； 对于选项C：取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，故C错误； 对于选项D：由椭圆，可得，且， 设，，则， 可得 ， 当且仅当时，等号成立， 所以取得最小值为，故D正确. 故选：D. 6. 若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点坐标，根据条件列出等式，可求出阿氏圆方程，得到半径，从而求出面积. 【详解】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 7. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，由，得到，结合双曲线的定义，求得，再由，得到，即可求解. 【详解】设的内切圆半径为，因为， 所以，可得， 因为点为双曲线右支上一点， 所以，可得，解得， 又因为，可得，整理得， 即，解得或（舍去）. 故选：D. 8. 设圆的圆心坐标为，圆截轴，轴所得弦长分别为和，则圆的圆心到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆的弦长得出，再计算出圆心到直线的距离为换元令，结合一元二次方程的判别式求出的取值范围进而得到答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆截轴所得弦长为，所以，即， 又因为圆截轴所得弦长为，所以，即， 所以，即①， 圆心到直线的距离为， 设，则代入①中有， 即，该方程有实数根的条件为， 即，故，即， 所以，因此圆心到直线的距离， 所以圆的圆心到直线的距离的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知圆：，直线：（），则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆有两个交点 C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 D. 圆上的点到直线的最大距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可求直线恒过定点即可判断选项A；利用直线恒过定点与圆的位置关系可确定直线与圆有两个交点即可判断选项B；计算圆心到直线的距离结合圆的半径可确定选项C；根据当时，圆上的点到直线的距离有最大值，即可判断选项D. 【详解】 对A，由，可得， 令，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对B，设直线直线恒过定点为， 圆心,半径， 则， 所以点在圆内，则直线与圆相交， 所以直线与圆有两个交点，B正确； 对C，时，：，即， 圆心到直线的距离， 因为， 所以圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 且这两个点均位于圆被直线所截得的优弧上，C错误； 对D，当时，圆上的点到直线的距离有最大值， 最大值为，D正确； 故选:ABD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 双曲线与直线有且只有一个公共点 B. 平面内两个不同定点和，则满足的动点的轨迹为双曲线 C. 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则 D. 若方程表示的曲线为椭圆，则 【答案】AC 【解析】 【分析】解方程组判断A，根据双曲线定义判断B，根据双曲线的标准方程判断C ，根据椭圆的标准方程判断D． 【详解】对于A，解方程组，得唯一解，所以曲线与直线有且只有一个公共点，所以A对； 对于，当时，满足的动点的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以错； 对于C，若方程表示焦点在轴上的双曲线，解得，所以C对； 对于D，若方程表示的曲线为椭圆则有，故且 所以D错． 故选：． 11. 已知抛物线的焦点为，点为上两个相异的动点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 设点，则的最小值为4 C. 若，设的中点为，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则 D. 若三点共线，则的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由抛物线的焦点可求出抛物线的准线方程；对于B，过点作垂直准线于，则，从而可求出其最小值；对于C，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，然后在利用余弦定理结合基本不等式可判断；对于D，由抛物线的性质可判断. 【详解】对于A，因为抛物线C：的焦点为，所以抛物线C的准线方程为，所以A正确； 对于B，由题意可得抛物线的方程为，则点在抛物线外，如图，过点作垂直准线于，则，当三点共线时，取得最小值，最小值为4，所以B正确； 对于C，过分别作垂直准线，垂足分别为，则由梯形中位线定理可得，设，则，在中由余弦定理得， 因为，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号，所以C错误， 对于D，由抛物线的性质可得当A，B，F三点共线，且 轴时，弦最短为抛物线的通径，所以D正确； 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与圆交于M，N两个点，O为坐标原点，_____． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程，结合韦达定理求出，根据向量坐标运算可得答案. 【详解】联立，可得，设， 则，， 所以. 故答案为： 13. 已知双曲线右焦点，以为圆心，以为半径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据题意结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】由双曲线可知渐近线方程为，即，且， 由题意可知：点到渐近线的距离为， 则，且，可得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，直线过点． （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可； （2）设点，利用中点坐标公式建立点和点之间的关系式， 再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是2， 显然直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程是，即， 则圆心到直线的距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点， 由点是的中点得 所以①， 因为在圆上运动，所以②， ①代入②得，， 化简得点的轨迹方程是. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为中点，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接交于，连接， 因为底面是矩形，所以是的中点，又因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面.     （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明线面平行. （2）利用空间向量的坐标运算求解线面夹角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 所以， 设平面的法向量为， 则有.所以，取， 记直线与平面所成角为， 则有 ∴直线与平面所成角的正弦值为； 17. 已知抛物线的焦点为，点到抛物线准线距离为2． （1）求抛物线的标准方程； （2）已知的三个顶点都在抛物线上，，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线标准方程中的几何意义进行求解即可； （2）根据三角形重心公式，结合待定系数法、方程联立法、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【小问1详解】 因为焦点到抛物线准线距离为2． 所以，因此抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率为零时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 设直线的方程为，将直线的方程和抛物线方程联立，得 ， 由题意可知， 设，于是有， 焦点的坐标为， 因为重心恰好是抛物线的焦点，所以有 ， 此时， 所以所在的直线方程为. 18. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）（i）， （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. AI 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的斜率和实轴长可求方程； （2）（i）联立方程，结合根与系数的关系式可求范围；（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系式，可得直线恒过点. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）略 19. 已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． （1）求曲线的方程； （2）设点的横坐标分别为，证明：； （3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 证明：由题意，设点、， 直线的方程为，（）， 联立椭圆方程， 消去得， 由，可得， 联立双曲线方程， 消去得， 同理可得， 所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，设双曲线的方程，利用双曲线的离心率为2建立方程即可求解； （2）由题意，设直线的方程为，然后联立椭圆方程，利用韦达定理求出、两点的横坐标，即可证明； （3）利用，结合点是双曲线在第一象限内的一点，可得，结合椭圆和双曲线的方程，利用三角形的面积公式可得，由（2）问结论化简并换元，最后利用函数的单调性即可求解的取值范围，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意，，， 因为曲线是以、两点为顶点的双曲线， 所以设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设点、，则，， 因为，所以，即， 因为点在双曲线上，即，所以，即， 又点是双曲线在第一象限内的一点，所以， 因为，， 所以， 由（2）知，，设，则，则， 令，， 设，则， 因为，故即， 所以在区间上单调递增，当时 ，，， 则，则，所以， 即当时，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $